Stein分解
概要
Stein分解（Stein factorization）とは、局所 Noether スキーム $Y$ 上の固有射 $f\colon X\to Y$ を、連接な $\mathcal{O}_Y$ 代数 $f_*\mathcal{O}_X$ の相対スペクトル $Y'$ を経由して $X\to Y'\to Y$ と分ける分解である。$Y'\to Y$ は有限射、$X\to Y'$ は全射な固有射で $\mathcal{O}_{Y'}$ を押し出しとしてもち、そのファイバーは空でなく連結である。とくに $f$ のファイバーの連結成分は有限個で、$Y'$ の点と 1 対 1 に対応する。$X$ が正規な整スキームで $f$ が優越的（$Y$ も整）なら $Y'$ は $Y$ の $X$ の関数体の中での正規化であり、固有射のファイバーが連結かどうかを調べる基本の道具になる。
固有射 $f\colon X\to Y$ のファイバーは一般に連結とは限らない。たとえば節点をもつ曲線の正規化は、節点の上で 2 点に分かれる。Stein 分解は、固有射を「連結なファイバーをもつ固有射」と「有限射」の合成に分ける標準的な方法であり、間に入るスキームは $f_*\mathcal{O}_X$ という連接層だけから作られる。直観的には、$X$ の各ファイバーの連結成分を 1 点につぶしたものが中間のスキーム $Y'$ であり、$Y'\to Y$ は「ファイバーの連結成分がいくつあるか」を記録する有限射である。
この記事では、局所 Noether スキーム上の固有射について Stein 分解を構成し、分解の各因子の性質と、ファイバーの連結成分が $Y'$ の点と 1 対 1 に対応することを証明する。さらに、分解がアフィンな $Y$ スキームへの射の中で普遍的であること、$X$ が正規な整スキームで $f$ が優越的（$Y$ も整）なら $Y'$ が $Y$ の $X$ の関数体の中での正規化になることを示し、$f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ を確かめるための判定法を導く。
定義
以下、スキームの射 $f\colon X\to Y$ と点 $y\in Y$ に対し、$X_y:=X\times_Y\operatorname{Spec}\kappa(y)$ をファイバーという。$X_y$ の台となる位相空間は、$X$ の部分空間 $f^{-1}(y)$ と同相である（Stacks Tag 01K1）。
相対スペクトル：$\mathcal{A}$ を $Y$ 上の準連接な $\mathcal{O}_Y$ 代数とする。$Y$ のアフィン開集合 $V$ ごとに $\operatorname{Spec}\mathcal{A}(V)$ を作り、制限写像で貼り合わせると、アフィン射 $g\colon\mathbf{Spec}_Y\mathcal{A}\to Y$ で $g_*\mathcal{O}_{\mathbf{Spec}_Y\mathcal{A}}=\mathcal{A}$、$g^{-1}(V)=\operatorname{Spec}\mathcal{A}(V)$ をみたすものが得られる。これを $\mathcal{A}$ の相対スペクトルという。$\mathcal{A}\mapsto\mathbf{Spec}_Y\mathcal{A}$ は、準連接な $\mathcal{O}_Y$ 代数の圏と、$Y$ 上アフィンなスキームの圏の反変同値を与え、逆向きは $(h\colon Z\to Y)\mapsto h_*\mathcal{O}_Z$ である（Stacks Tag 01LW・01LX・01SA）。とくに、$Y$ 上アフィンなスキーム $h\colon Z\to Y$ と $Y$ スキーム $t\colon T\to Y$ について、$Y$ 射 $w\colon T\to Z$ は、$\mathcal{O}_Y$ 代数の射 $h_*\mathcal{O}_Z\to t_*\mathcal{O}_T$ と $w\mapsto h_*(w^\sharp)$ により 1 対 1 に対応する（同 Tag 01LQ）。
$f\colon X\to Y$ が準コンパクトかつ準分離なら $f_*\mathcal{O}_X$ は準連接な $\mathcal{O}_Y$ 代数であり、恒等写像 $f_*\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_X$ に対応する $Y$ 射
$$
f'\colon X\longrightarrow\mathbf{Spec}_Y f_*\mathcal{O}_X
$$
がある。$Y$ のアフィン開集合 $V$ の上では、$f'$ は $f^{-1}(V)$ から $\operatorname{Spec}\Gamma(f^{-1}(V),\mathcal{O}_X)$ への標準的な射（大域切断の環への射）である（Stacks Tag 01LY）。
$Y$ を局所Noetherスキーム、$f\colon X\to Y$ を固有射とする。$Y':=\mathbf{Spec}_Yf_*\mathcal{O}_X$、$g\colon Y'\to Y$ を構造射、$f'\colon X\to Y'$ を上の標準的な射とする。$f=g\circ f'$ であり、この分解
$$
X\xrightarrow{\ f'\ }Y'\xrightarrow{\ g\ }Y
$$
を $f$ の Stein 分解（Stein factorization）という。
$f$ が有限射なら $f$ はアフィン射で $X=\mathbf{Spec}_Yf_*\mathcal{O}_X$ なので、Stein 分解は $X\xrightarrow{\mathrm{id}}X\xrightarrow{f}Y$ である。反対に $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ なら $Y'=Y$ で、Stein 分解は $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{\mathrm{id}}Y$ である。一般の固有射はこの 2 つの型の合成になる、というのが次の定理である。
主定理
$Y$ を局所 Noether スキーム、$f\colon X\to Y$ を固有射とし、$X\xrightarrow{f'}Y'\xrightarrow{g}Y$ をその Stein 分解とする。
- $f_*\mathcal{O}_X$ は連接な $\mathcal{O}_Y$ 代数であり、$g$ は有限射である。とくに $Y'$ は局所 Noether である。
- $f'$ は固有射であり、$f'_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{Y'}$ をみたす。
- $f'$ は全射であり、すべての $y'\in Y'$ についてファイバー $X'_{y'}:=f'^{-1}(y')$ は空でなく連結空間である。
- 各 $y\in Y$ について $g^{-1}(y)$ は有限集合であり、$y'\mapsto f'^{-1}(y')$ は $g^{-1}(y)$ から $X_y$ の連結成分全体への全単射を与える。とくに $X_y$ の連結成分は有限個で、その個数は $g^{-1}(y)$ の点の個数に等しい。
- 固有射 の定理「固有射による連接層の押し出し」により $f_*\mathcal{O}_X$ は連接である。$Y$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ について $g^{-1}(V)=\operatorname{Spec}C$、$C:=\Gamma(f^{-1}(V),\mathcal{O}_X)$ であり、$f_*\mathcal{O}_X$ が連接なので $C$ は有限生成 $A$ 加群である。よって $g$ は有限射である。$C$ は Noether 環 $A$ 上有限なので Noether 環であり、$Y'$ は局所 Noether である。
- $g$ はアフィン射なので分離射であり、$f=g\circ f'$ は固有なので、固有射 の定理「合成・底変換・積で閉じること」の 4 により $f'$ は固有である。次に $f'_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{Y'}$ を示す。主張は $Y'$ 上で局所的なので、上の $V$、$C$ をとり、$U:=f^{-1}(V)=f'^{-1}(\operatorname{Spec}C)$ とおく。$c\in C$ に対し、$U$ から $\operatorname{Spec}C$ への標準的な射による主開集合 $D(c)$ の逆像は、$c$ が可逆になる開集合 $U_c$ である。$U$ は準コンパクト（$f$ は準コンパクトで $V$ はアフィン）かつ分離的なので、制限写像は同型
$$ C_c=\Gamma(U,\mathcal{O}_X)_c\xrightarrow{\ \sim\ }\Gamma(U_c,\mathcal{O}_X) $$
を与える（Stacks Tag 01P7）。左辺は $\mathcal{O}_{Y'}(D(c))$、右辺は $(f'_*\mathcal{O}_X)(D(c))$ であり、これらの同型は $D(c)\supset D(cc')$ への制限と両立する。主開集合 $D(c)$ は $\operatorname{Spec}C$ の開基をなすので、$\mathcal{O}_{Y'}\to f'_*\mathcal{O}_X$ は $\operatorname{Spec}C$ 上で同型である。 - 1・2 により、$f'\colon X\to Y'$ は局所 Noether スキーム上の固有射で $f'_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{Y'}$ をみたす。$y'\in Y'$ の Noether なアフィン開近傍 $W$ をとり、$f'^{-1}(W)\to W$ に 形式関数の定理 の定理「Zariski の連結性定理」を当てると、$f'^{-1}(y')$ は空でなく連結である。とくに $f'$ は全射である。
- $g$ は有限射なので、有限射 の命題「ファイバーの点数は有限」により $g^{-1}(y)$ は有限集合で、ファイバー $Y'_y$ は有限次元 $\kappa(y)$ 代数 $R$ のスペクトルである。$R$ は Artin 環なので素イデアルはすべて極大であり、$\operatorname{Spec}R$ の各点は閉で、有限集合なので離散である。$f'$ は $X_y=f^{-1}(y)$ を $g^{-1}(y)$ へ写す連続写像（$X_y\to Y'_y$）なので、各 $y'\in g^{-1}(y)$ について $F_{y'}:=f'^{-1}(y')$ は $X_y$ の開かつ閉な部分集合であり、$X_y=\bigsqcup_{y'\in g^{-1}(y)}F_{y'}$ と交わらない有限個の和に分かれる。3 により各 $F_{y'}$ は空でなく連結である。連結な開かつ閉集合は、それを含む連結成分に一致する（連結成分 $Q\supset F_{y'}$ は $F_{y'}$ と $Q\setminus F_{y'}$ に開かつ閉に分かれるので $Q=F_{y'}$）。よって $F_{y'}$ は $X_y$ の連結成分であり、すべての連結成分はこの形で、$y'\ne y''$ なら $F_{y'}\ne F_{y''}$ である。$\square$
3 の連結性は、$f'$ が射影射なら 形式関数の定理 の記事の中で証明が完結しており、一般の固有射では形式関数の定理そのものを EGA3 4.1.5 に依存する。分解の存在と 1・2・4 の議論はこの依存と無関係である。
定理の内容を図式にまとめると次のとおりである。図式が可換とは $f=g\circ f'$ ということであり、$f'$ は固有・全射でファイバーが連結、$f'_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{Y'}$ をみたし、$g$ は有限射である。
$$
\xymatrix{
X \ar[rr]^{f'} \ar[dr]_{f} & & Y'=\mathbf{Spec}_Yf_*\mathcal{O}_X \ar[dl]^{g} \\
& Y &
}
$$
普遍性と一意性
Stein 分解の $Y'$ は、$X$ から「$Y$ 上アフィンなスキーム」への射の行き先として最も大きいものである。
thm-stein-main の記号のもとで、$h\colon Z\to Y$ をアフィン射、$u\colon X\to Z$ を $Y$ 射（$h\circ u=f$）とする。このとき $Y$ 射 $v\colon Y'\to Z$ で $u=v\circ f'$ をみたすものがただ 1 つ存在する。
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{f'} \ar[dr]_{u} & Y' \ar@{.>}[d]^{v} \\
& Z
}
$$
$t\colon T\to Y$ を $Y$ スキームとすると、$Y$ 射 $w\colon T\to Z$ と $\mathcal{O}_Y$ 代数の射 $\varphi_w:=h_*(w^\sharp)\colon h_*\mathcal{O}_Z\to t_*\mathcal{O}_T$ は 1 対 1 に対応する（定義の節の相対スペクトルの性質）。$T=Y'$ のとき右辺は $g_*\mathcal{O}_{Y'}=f_*\mathcal{O}_X$ であり、$v\colon Y'\to Z$ について
$$
\varphi_{v\circ f'}=g_*(f'^\sharp)\circ\varphi_v\colon h_*\mathcal{O}_Z\to g_*\mathcal{O}_{Y'}\to g_*f'_*\mathcal{O}_X=f_*\mathcal{O}_X
$$
である。$f'$ は恒等写像 $f_*\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_X$ に対応する射なので、$g_*(f'^\sharp)$ は $f_*\mathcal{O}_X$ の恒等写像である。よって $v\mapsto v\circ f'$ は、$\varphi_v$ と $\varphi_{v\circ f'}$ を同じ射として、$Y$ 射 $Y'\to Z$ 全体から $Y$ 射 $X\to Z$ 全体への全単射であり、$u$ に対応する $v$ がただ 1 つある。$\square$
$f=h\circ f''$、$X\xrightarrow{f''}Y''\xrightarrow{h}Y$ を、$h$ がアフィン射で $f''_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{Y''}$ をみたす分解とする。このとき $Y$ 上の同型 $\alpha\colon Y'\xrightarrow{\sim}Y''$ で $\alpha\circ f'=f''$ をみたすものがただ 1 つある。とくに $h$ は有限射である。
$h_*\mathcal{O}_{Y''}=h_*f''_*\mathcal{O}_X=f_*\mathcal{O}_X$ であり、$h$ はアフィン射なので $Y''\cong\mathbf{Spec}_Yh_*\mathcal{O}_{Y''}=\mathbf{Spec}_Yf_*\mathcal{O}_X=Y'$ である。この同型の下で $f''$ は恒等写像 $f_*\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_X$ に対応する射、すなわち $f'$ に一致する。$\alpha$ の一意性は prop-stein-universal の一意性による。$h\cong g$ は有限射である。$\square$
正規なスキームの場合
$X$ が正規なら、$Y'$ は $Y$ と $X$ の関数体だけから決まる。$Y$ が整スキームのとき、$f$ が優越的（像が稠密）なら、関数体の拡大 $K(Y)\subset K(X)$ が定まる。
$Y$ を局所 Noether な整スキーム、$X$ を正規スキームである整スキーム、$f\colon X\to Y$ を優越的な固有射とする。このとき $Y$ の任意のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ について、
$$
\Gamma(f^{-1}(V),\mathcal{O}_X)=(K(X)\text{ における }A\text{ の整閉包})
$$
である。すなわち $Y'$ は、$Y$ の $K(X)$ の中での正規化である。
要点：$C:=\Gamma(f^{-1}(V),\mathcal{O}_X)$ は $A$ 上有限なので整であり、逆に $A$ 上整な関数は正規な局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ のどれにも入るので大域切断になる。
詳細
$U:=f^{-1}(V)$ は $f$ が優越的なので空でなく、整スキーム $X$ の開集合なので整である。$U$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}R$ について $R$ は整域で $R\to\operatorname{Frac}R=K(X)$ は単射なので、生成点の茎への写像 $C\to K(X)$ は単射であり、$C\subset K(X)$ とみなす。同様に $A\subset K(Y)\subset K(X)$ である。
$\subset$：thm-stein-main の 1 により $C$ は有限生成 $A$ 加群なので、$C$ の元は $A$ 上整である（AM69 命題 5.1）。
$\supset$：$a\in K(X)$ が $A$ 上整であるとする。各 $x\in U$ について $A\to\mathcal{O}_{X,x}$ があるので $a$ は $\mathcal{O}_{X,x}$ 上整であり、$\mathcal{O}_{X,x}$ は商体 $K(X)$ の中で整閉なので $a\in\mathcal{O}_{X,x}$ である。$U$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}R$ をとり、$J:=\{r\in R\mid ra\in R\}$ とおく。各極大イデアル $\mathfrak{n}$ について $a\in R_{\mathfrak{n}}$ なので $J\not\subset\mathfrak{n}$ であり、$J=R$、すなわち $a\in R$ である。こうして得られる $\operatorname{Spec}R$ 上の切断はどれも $K(X)$ の同じ元 $a$ なので、重なりで一致し、$U$ 上の切断を定める。よって $a\in C$ である。$\square$
prop-stein-normalization の仮定に加えて、$Y$ が正規スキームで、$K(Y)$ が $K(X)$ の中で代数的に閉じている（$K(X)$ の元で $K(Y)$ 上代数的なものは $K(Y)$ に属する）とする。このとき $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ であり、$f$ は全射で、すべてのファイバー $X_y$ は空でなく連結である。
$V=\operatorname{Spec}A$ をアフィン開集合とする。$A$ 上整な $a\in K(X)$ は $K(Y)$ 上代数的なので $a\in K(Y)$ であり、$A$ は整閉整域（$Y$ が正規な整スキームなので）だから $a\in A$ である。よって prop-stein-normalization により $\Gamma(f^{-1}(V),\mathcal{O}_X)=A$、すなわち $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ で、$Y'=Y$、$f'=f$ である。残りは thm-stein-main の 3 による。$\square$
$f$ が双有理なら $K(X)=K(Y)$ なので cor-stein-connected の仮定はみたされ、形式関数の定理 の系「双有理な固有射に対する Zariski の主定理」の、$X$ も正規な場合が再び得られる（その系自体は $X$ の正規性を仮定しない）。
例
$k$ を体、$X$ を $k$ 上固有なスキームとする。$Y=\operatorname{Spec}k$ なので $Y'=\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ であり、$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ は有限次元 $k$ 代数である。thm-stein-main の 4 により、$X$ の連結成分の個数は $\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ の点の個数に等しい。
- $X=\mathbb{P}^1_k\sqcup\mathbb{P}^1_k$ なら $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k\times k$ で、$Y'$ は 2 点、$X$ の連結成分も 2 つである。
- $k'/k$ を有限次分離拡大、$X=\mathbb{P}^1_{k'}$ を $k$ 上のスキームとみる。$\mathbb{P}^1_{k'}$ を $\operatorname{Spec}k'[x]$ と $\operatorname{Spec}k'[x^{-1}]$ で覆うと、$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k'[x]\cap k'[x^{-1}]=k'$（$k'[x,x^{-1}]$ の中で）であり、$Y'=\operatorname{Spec}k'$ は 1 点で $X$ は連結である。しかし $f_*\mathcal{O}_X=k'\ne k$ であり、$k$ の代数閉包 $\bar{k}$ への底変換 $X\times_k\bar{k}=\mathbb{P}^1_{k'\otimes_k\bar{k}}$ は、$k'\otimes_k\bar{k}\cong\bar{k}^{[k':k]}$ なので $[k':k]$ 個の $\mathbb{P}^1_{\bar{k}}$ の非交和である。
2 は、$f_*\mathcal{O}_X\ne\mathcal{O}_Y$ でもファイバーが連結でありうること、そのとき「連結」が底体を広げると壊れることを示す。$f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ の場合にはファイバーは幾何学的にも連結である（rem-stein-geometric）。
$k$ を代数閉体、$E$ を $k$ 上固有な整スキーム（たとえば楕円曲線）、$q\colon C'\to C$ を非特異射影曲線の間の次数 $2$ の有限射とし、$X:=E\times_kC'$、$f:=q\circ\operatorname{pr}_2\colon X\to C$ とする。このとき Stein 分解は $X\xrightarrow{\operatorname{pr}_2}C'\xrightarrow{q}C$ である。実際、$C'\to\operatorname{Spec}k$ は平坦なので、平坦射 の定理「平坦な底変換とコホモロジーの交換」と 固有射 の系「完備整スキームの大域切断」により $\operatorname{pr}_{2*}\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{C'}\otimes_k\Gamma(E,\mathcal{O}_E)=\mathcal{O}_{C'}$ である。よって $f_*\mathcal{O}_X=q_*\mathcal{O}_{C'}$ で、$q$ は有限射なので $\mathbf{Spec}_Cq_*\mathcal{O}_{C'}=C'$ である。cor-stein-unique によりこれが Stein 分解である。
$y\in C$ が $q$ の分岐点でなければ $q^{-1}(y)$ は 2 点で、$X_y$ は $E$ の 2 つのコピーからなり連結成分は 2 つである。分岐点では $q^{-1}(y)$ は 1 点で、$X_y$ は（重複度 2 の）1 つの $E$ である。重複ファイバー の記事は、このような $f$ では重複度の概念を第 1 因子 $\operatorname{pr}_2$ について考えるべきことを述べている。
$k$ を標数 $2$ でない体、$Y=\{y^2=x^2(x+1)\}\subset\mathbb{A}^2_k$、$f\colon X=\mathbb{A}^1_k\to Y$、$t\mapsto(t^2-1,t(t^2-1))$ をその正規化とする。$f$ は有限射なので Stein 分解は自明（$f'=\mathrm{id}$、$g=f$）であり、原点の上のファイバーは 2 点 $t=\pm1$ からなる。thm-stein-main の 4 のとおり、$X_0$ の連結成分の個数 $2$ は $g^{-1}(0)$ の点の個数に等しい。$f_*\mathcal{O}_X=k[t]\ne\mathcal{O}_Y$ なので、連結性の定理は $f$ 自身には当てはまらない。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $f$ の固有性（$f_*\mathcal{O}_X$ の連接性に効く） | 開埋め込み $\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\}\to\mathbb{A}^1_k$ | $f_*\mathcal{O}_X$ は連接でなく、$g$ は有限射でない（1） |
| $f$ の固有性（普遍閉に効く） | 開埋め込み $\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}\to\mathbb{A}^2_k$ | $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ だが原点の上のファイバーは空（3） |
| 系の $Y$ の正規性 | 尖点曲線 $\{y^2=x^3\}$ の正規化 $\mathbb{A}^1_k\to Y$ | $K(Y)=K(X)$ でも $f_*\mathcal{O}_X\ne\mathcal{O}_Y$ |
| 系の「$K(Y)$ が $K(X)$ の中で代数的に閉じている」 | $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ | $Y$ は正規でも $f_*\mathcal{O}_X=\mathbb{C}\ne\mathbb{R}$ |
表の括弧の番号は thm-stein-main の項目、「系」は cor-stein-connected である。
詳細
1 行目：$f_*\mathcal{O}_X$ の大域切断は $k[t,t^{-1}]$ で、$t^{-1},t^{-2},\dots$ を含むので有限生成 $k[t]$ 加群でない。$f$ は分離的な有限型の射だが普遍閉でない（像 $\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ が閉でない）。$\mathbf{Spec}\,k[t,t^{-1}]\to\mathbb{A}^1$ は有限射でない。
2 行目：$\mathbb{A}^2\setminus\{0\}$ を $D(x)$、$D(y)$ で覆うと $\Gamma=k[x,y]_x\cap k[x,y]_y=k[x,y]$（$k[x,y]$ は UFD で、$g/x^m=h/y^n$ なら $y^ng=x^mh$ から $x^m\mid g$）なので $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ であり、$Y'=Y$、$f'=f$ だが、原点の上は空である（形式関数の定理 の反例「固有でない射」も参照）。$f$ は固有でない（像が閉でない）。
3 行目：$t\mapsto(t^2,t^3)$ は双有理な有限射で $K(Y)=k(t)=K(X)$ である。$f_*\mathcal{O}_X=k[t]$ は $\mathcal{O}_Y=k[t^2,t^3]$ と異なる（$t$ は $k[t^2,t^3]$ に属さない）。$Y$ は原点で正規でない。
4 行目：$\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ は正規で、$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ は正規な整スキーム、$f$ は全射な固有射である。$K(X)=\mathbb{C}(x)$ は $\mathbb{R}$ 上代数的な元 $i$ を含む。ex-stein-over-field の 2 と同じ計算で $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\mathbb{C}$ である。ファイバー $X$ 自身は連結だが、$\mathbb{C}$ への底変換は 2 つの $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ に分かれる。
補足
thm-stein-main の 3 は強めることができ、$f'$ のファイバーはすべて幾何学的に連結である（任意の体の拡大 $\kappa(y')\subset L$ への底変換が連結）。証明は Stacks Tag 03H0 にあり、エタール近傍への底変換と形式関数の定理を組み合わせる。$Y$ が局所 Noether でない一般のスキームでも、固有射 $f$ は $X\to\mathbf{Spec}_Yf_*\mathcal{O}_X\to Y$ と分解し、$f'$ は幾何学的に連結なファイバーをもつ固有射、$g$ は整な射（有限とは限らない）である（Stacks Tag 03H2）。この記事の形の定理は EGA3 4.3.1 に始まる。
$f$ が固有で各ファイバーが有限集合なら、thm-stein-main の 3 により $f'$ のファイバーは連結な有限集合、すなわち 1 点である。このとき $f$ は有限射になる。これは Zariskiの主定理 の定理「固有な準有限射は有限射」の内容であり、証明はそちらにある。
関連項目
参考文献
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