Radóの定理

要点：$\theta(\Delta)$ と $D'$ はどちらも境界が $Z:=\partial D'$ の閉円板である。内部が違う成分なら、$Z$ の各点の近くで 2 つの円板が両側を覆い、和が $M$ 全体になって仮定に反する。

$\gamma\colon S^1\to Z$ を同相写像とする。$Z\cap\theta(\operatorname{int}Q_r)$ は $Z$ の開集合で $Z$ 全体ではないので、その成分は $S^1$ の互いに交わらない開いた弧 $I$ の像 $\gamma(I)$ であり、$I$ の端点は $\gamma^{-1}(\theta(\operatorname{int}Q_r))$ に属さない。$\gamma(\bar I)\subset\overline{\theta(\operatorname{int}Q_r)}\subset\theta(Q_r)$（$\theta(Q_r)$ はコンパクト）なので、端点の像は $\theta(Q_r)\setminus\theta(\operatorname{int}Q_r)=\theta(\partial Q_r)$ にある。
$\theta(Q_\rho)$ と交わる成分が無限個あるとし、それらを $\gamma(I_m)$、$t_m\in I_m$ を $\gamma(t_m)\in\theta(Q_\rho)$ となる点、$s_m$ を $I_m$ の端点とする。弧 $I_m$ は互いに交わらないので長さは $0$ に近づき、$\lvert t_m-s_m\rvert\to0$ である。部分列をとって $t_m\to t$ とすると $s_m\to t$ で、$\theta(Q_\rho)$ と $\theta(\partial Q_r)$ は閉集合なので $\gamma(t)$ は両方に属する。$\theta$ は単射で $Q_\rho\cap\partial Q_r=\emptyset$ だから矛盾である。$\square$

$R_1$ は $U$ の横断弧である。$l\ge2$ について、$R_l$ と $B\cup R_1\cup\dots\cup R_{l-1}$ の共通部分（端点を含む有限集合）を $R_l$ に沿って $x_0,x_1,\dots,x_t$ と並べ、部分弧 $[x_{i-1},x_i]$ を $i$ の順に加える。各部分弧は、端点がその時点のグラフにある相異なる 2 点で、端点以外はグラフと交わらないので、その時点の面の横断弧である。こうして $R_1,\dots,R_s$ を分けた弧の列は $U$ の横断弧による細分になる。Schoenfliesの定理 の系「細分の同相の延長」を $U'=U$、$\varphi_0=\mathrm{id}_B$ に使うと（$B$ は折れ線なので対応する横断弧を折れ線にとれる）、$\bar U$ の同相写像 $\Phi$ で $B$ の各点を動かさず、各部分弧を折れ線に写すものがある。$\Phi$ を $\mathbb{R}^2\setminus U$ の上では恒等写像として延ばしたものを $h$ とすると、2 つの閉集合の上の連続写像が $B$ で一致するので $h$ は同相写像である。$\square$

要点：小さな正六角形のタイルのうち $K$ と交わるものの和から「穴」を埋め、その境界をとる。六角形のタイル張りでは各頂点にタイルがちょうど 3 枚集まるので、境界は各頂点でちょうど 2 本の辺をもち、つながった 1 本の閉じた折れ線になる。

段 0（座標近傍の選び方）．$M$ の相異なる 3 点 $z_1,z_2,z_3$ を選ぶ。各点 $x$ に、座標近傍 $\theta_x\colon\mathbb{R}^2\to V_x$ で $\theta_x(0)=x$ かつ $\theta_x(Q_3)$ が $z_1,z_2,z_3$ のうち高々 1 点しか含まないものをとる（$M$ は Hausdorff なので $x$ の十分小さい近傍は高々 1 点しか含まない。座標を縮小すればよい）。$M$ はコンパクトなので、有限個の点 $x_1,\dots,x_n$ で $M=\bigcup_i\theta_i(\operatorname{int}Q_1)$（$\theta_i:=\theta_{x_i}$）となる。すると任意の $i,j$ について $\theta_i(Q_3)\cup\theta_j(Q_3)\ne M$ である。
段 1（有限回しか交わらない閉曲線）．$k=1,\dots,n$ の順に、座標近傍 $\theta'_k=\theta_k\circ h_k^{-1}$（$h_k$ は $\operatorname{int}Q_3$ の外で恒等写像になる $\mathbb{R}^2$ の同相写像）と折れ線の Jordan 曲線 $\Lambda_k\subset\operatorname{int}Q_3$ を選び、閉円板
$$ D_k:=\theta'_k(\Lambda_k\cup\operatorname{int}\Lambda_k),\qquad C_k:=\partial D_k=\theta'_k(\Lambda_k) $$
が次を満たすようにする：$\theta_k(Q_1)\subset D_k^\circ$、$D_k\subset\theta_k(\operatorname{int}Q_3)$、そして $i< k$ について $C_i\cap C_k$ は有限集合。
$k$ 番目の選び方．$\theta:=\theta_k$ とする。

• (a) $j< k$ で $C_j\subset\theta(\operatorname{int}Q_3)$ となるものについて $r_j:=\max\|\theta^{-1}(\cdot)\|_\infty$（$C_j$ の上の最大値、$< 3$）とし、$r\in(2,3)$ をどの $r_j$ とも異なるように選ぶ。すると各 $C_j$（$j< k$）は、$C_j\subset\theta(\operatorname{int}Q_r)$ となる型 I か、$C_j\cap\theta(\operatorname{int}Q_r)$ の各成分の閉包が、$\theta(\partial Q_r)$ の相異なる 2 点を端点とする弧になる型 II のどちらかである（lem-rado-pieces。端点が一致するのは、$C_j$ が $\theta(Q_r)$ に含まれ $\theta(\partial Q_r)$ とちょうど 1 点で交わるとき、すなわち $r=r_j$ のときだけ）。
• (b) 型 I の $C_j$ について、$\Delta_j:=\theta^{-1}(C_j)\cup\operatorname{int}\theta^{-1}(C_j)\subset\operatorname{int}Q_r$ とおく。lem-rado-nest（$D:=\theta(Q_3)$、$D':=D_j$。$D_j\subset\theta_j(Q_3)$ なので段 0 から $D\cup D'\ne M$）により $D_j=\theta(\Delta_j)$ である。$K_0:=Q_1$ から始めて、$K_{m+1}:=K_m\cup\bigcup\{\Delta_j\mid\Delta_j\cap K_m\ne\emptyset\}$ とし、増えなくなったものを $K_*$ とする。$K_*$ は連結なコンパクト集合で $K_*\subset\operatorname{int}Q_r$ であり、$K_*$ に入らない $\Delta_j$ は $K_*$ と交わらない。$\rho\in(1,r)$ を $K_*\subset\operatorname{int}Q_\rho$ となるように選ぶ。
• (c) 型 II の $C_j$ の $\theta(\operatorname{int}Q_r)$ の中の成分のうち、$\theta(Q_\rho)$ と交わるものは有限個である（lem-rado-pieces）。それらの閉包の $\theta$ による逆像を $R_1,\dots,R_s$ とする。これらは $\partial Q_r$ の相異なる 2 点を端点とし端点以外が $\operatorname{int}Q_r$ にある弧で、異なるものどうしは有限個の点でしか交わらない（異なる $C_j$ どうしは有限個の点で交わり、同じ $C_j$ の異なる成分の閉包は端点しか共有しない）。lem-rado-straighten（$B=\partial Q_r$）により、$\operatorname{int}Q_r$ の外で恒等写像になる同相写像 $h$ で各 $h(R_l)$ が折れ線になるものがある。
• (d) $K:=h(K_*)$ とし、$d>0$ を、$K$ から $h(\operatorname{int}Q_\rho)$ の補集合までの距離と、$K$ から $K_*$ に入らない型 I の各 $h(\Delta_j)$ までの距離より小さくとる（どれもコンパクト集合と交わらない閉集合の間の距離なので正）。lem-rado-hexagon を $K$、$d$、$h(R_l)$ の線分の全体に使って折れ線の Jordan 曲線 $\Lambda_k$ を得る。$h_k:=h$、$\theta'_k:=\theta\circ h^{-1}$ とする。
  確かめ．$h(Q_1)\subset K\subset\operatorname{int}\Lambda_k$ なので $\theta(Q_1)\subset D_k^\circ$ であり、$O:=h(\operatorname{int}Q_\rho)$ は Jordan 曲線 $h(\partial Q_\rho)$ の内部で、$d$ の選び方から $\Lambda_k\subset O$ である。$\mathbb{R}^2\setminus O$ は $h(\partial Q_\rho)$ の外部の閉包なので連結で有界でなく、$\Lambda_k$ と交わらないから $\Lambda_k$ の外部に含まれる。よって $\Lambda_k\cup\operatorname{int}\Lambda_k\subset O$ であり、 $D_k\subset\theta(\operatorname{int}Q_\rho)$ である。$j< k$ とする。$C_j$ が型 I で $\Delta_j\subset K_*$ なら $C_j\subset\theta'_k(K)$ で、$\Lambda_k\cap K=\emptyset$ から $C_k\cap C_j=\emptyset$ である。型 I で $\Delta_j\not\subset K_*$ なら、$\Lambda_k$ は $h(\Delta_j)$ と交わらないので $C_k\cap C_j=\emptyset$ である。型 II なら、$C_j$ の $\theta(Q_\rho)$ の中の点はどれかの $\theta(R_l)$ にあるので、$C_k\cap C_j\subset\theta'_k(\Lambda_k\cap\bigcup_lh(R_l))$ は有限集合である。

段 2（余分な円板を除き、円板の中を折れ線にする）．$D_j\subsetneq D_i$ となる $i$ があるか、$D_i=D_j$ となる $i< j$ があるとき、$D_j$ を除く。残った円板の番号の集合を $\mathcal{J}$ とする。包含は推移的で円板は有限個なので、除いた円板はどれも残った円板に含まれ、$D_j\subset D_i$ なら $D_j^\circ\subset D_i^\circ$ だから $M=\bigcup_{i\in\mathcal{J}}D_i^\circ$ である。$i\ne j\in\mathcal{J}$ について $C_j\not\subset D_i$ である（$C_j\subset D_i$ なら lem-rado-nest により $D_j\subset D_i$）。$C_i\cap C_j$ は有限集合なので、$C_j\cap D_i^\circ$ は有限個の開いた弧の和で、各弧の閉包は $C_i$ の相異なる 2 点を端点とする（端点が一致すると $C_j\subset D_i$ となる）。
$i\in\mathcal{J}$ を固定し、座標 $\theta'_i$ で見た弧（$j\in\mathcal{J}\setminus\{i\}$ にわたる）に lem-rado-straighten（$B=\Lambda_i$）を使って同相写像 $g_i$ を得、座標を $\theta''_i:=\theta'_i\circ g_i^{-1}$ に取り替える。$g_i$ は $\Lambda_i$ の外で恒等写像なので $D_i$、$C_i$ の表示は変わらない。$\Gamma:=\bigcup_{j\in\mathcal{J}}C_j$ とおくと、$\theta''^{-1}_i(\Gamma\cap D_i)$ は $\Lambda_i$ と、$\operatorname{int}\Lambda_i$ の横断弧による細分をなす折れ線の横断弧の和 $P_i$ である（lem-rado-straighten の証明の細分の像）。
段 3（面は閉円板）．$M\setminus\Gamma$ の成分を面と呼ぶ。面 $F$ はある $D_i^\circ$（$i\in\mathcal{J}$）と交わり、$F\cap D_i^\circ=F\cap D_i$（$F$ は $C_i$ と交わらない）は $F$ の中で開かつ閉なので $F\subset D_i^\circ$ である。すると $\theta''^{-1}_i(F)$ は $\operatorname{int}\Lambda_i\setminus P_i$ の成分、すなわち折れ線の細分の面なので、Schoenfliesの定理 の命題「細分の面」により折れ線の Jordan 曲線に囲まれた Jordan 領域である。したがって面は有限個で、各面 $F$ の閉包 $\bar F$ は閉円板で、$\partial F:=\bar F\setminus F\subset\Gamma$ は Jordan 曲線である。$\Gamma$ の頂点の集合 $V$ を、$C_i\cap C_j$（$i\ne j$）の点の全体に各 $C_i$ の上の 3 点を加えた有限集合とし、$\Gamma\setminus V$ の成分を辺と呼ぶ。辺は相異なる 2 つの頂点を端点とする開いた弧で、辺どうしは交わらない。各 $\partial F$ はいくつかの辺と頂点の和であり、各辺は少なくとも 1 つの面の $\partial F$ に含まれる。