素イデアルの高さ

局所化の素対応を直接確認する。$\mathfrak q\cap S=\emptyset$ なら $S^{-1}\mathfrak q$ は真であり、商 $S^{-1}A/S^{-1}\mathfrak q\simeq S^{-1}(A/\mathfrak q)$ は整域だから素である。その縮約が $\mathfrak q$ に戻るのは、$a/1\in S^{-1}\mathfrak q$ ならある $s\in S$ が $sa\in\mathfrak q$ を満たし、$s\notin\mathfrak q$ と素性から $a\in\mathfrak q$ となるためである。
逆に $Q\subset S^{-1}A$ が素なら、その縮約 $\mathfrak q$ は素であり、$S$ の像が単元なので $\mathfrak q\cap S=\emptyset$。$a/s\in Q$ は $a/1\in Q$ と同値だから $Q=S^{-1}\mathfrak q$。拡大と縮約は互いに逆で、包含を保ち、逆があるから厳密包含も保つ。
$S=A\setminus\mathfrak p$ とすれば、対応する素はちょうど $\mathfrak p$ に含まれる素である。$A_{\mathfrak p}$ の最大の素は $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ で、これが唯一の極大イデアルである。任意の有限鎖の末尾がこれでなければ、末尾にこれを追加できる。従って全局所素鎖の長さの上限は、この極大イデアルを末尾にする鎖の長さの上限と同じになる。素対応でこれは $\operatorname{ht}_A\mathfrak p$ に等しい。
一般の $S$ が $\mathfrak p$ を避ければ、$\mathfrak p$ 以下の全ての素も $S$ を避ける。従ってその下の全鎖が保存され、二つの高さは一致する。これは有限高さの仮定なしに、有限鎖を一つずつ両方向へ送る議論である。

$\mathfrak p$ を末尾にする鎖の後ろに $\mathfrak q$ を追加すると、長さは一つ増える。有限の整数値を上限に持つ鎖長の集合では上限が実現するので、有限高さの場合の数値不等式が得られる。高さ無限でも、任意の有限長に対してこの操作ができるから $\mathfrak q$ の高さも無限である。
商環の素は $\mathfrak p$ を含む $A$ の素に対応する。これは逆像と商への像が互いに逆であり、商の商が整域であるという素性の定義から従う。商環の鎖の先頭に零イデアルを追加でき、従って次元を実現する鎖を $\mathfrak p$ から始めて選べる。有限次元の場合、$\mathfrak p$ 以下の最長鎖と、$\mathfrak p$ から始まる上の最長鎖を連結すると、長さは二つの和である。同じ素 $\mathfrak p$ は一度だけ数えるから、全環の次元がこの和以上となる。

$I$ を含み $\mathfrak p$ に含まれる素の集合を逆包含順序で考える。包含について鎖を成す素族の交叉 $Q$ は素である。実際 $ab\in Q$ で $a,b\notin Q$ なら、$a$ を含まない素と $b$ を含まない素を選ぶ。鎖なので小さい方は両方を含まず、$ab$ を含むことと矛盾する。交叉は $I$ を含み $\mathfrak p$ に含まれる真イデアルだから、Zorn で極小素が得られる。高さの単調性から、上の任意の素を極小素へ下げても高さは増えない。二つの下限は一致する。
根基の一方の包含は、素が $a^n$ を含めば $a$ を含むことから従う。他方、$a\notin\sqrt I$ とする。$S=\{1,a,a^2,\ldots\}$ は $I$ と交わらない。$I$ を含み $S$ と交わらないイデアルの集合から、鎖の合併を用いて極大な $J$ を選ぶ。もし $uv\in J$ で $u,v\notin J$ なら、$J+(u)$ と $J+(v)$ はそれぞれ $S$ と交わる。その二つの表示を掛けると $uv\in J$ によって $S$ のある元が $J$ に入って矛盾する。従って $J$ は素で、$a\notin J$ である。根基に入らない元は全包含素の交叉にも入らないことが示された。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ の場合は自明なので、以下では $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。$N=0$ の場合は $\mathcal N=0$ であり、$c=0$ とすれば結論は自明である。以下では $N\ne0$ とする。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が次の長さ評価の反復を可能にする。

$d$ に関して帰納する。$d=0$ では $R/\mathfrak m^n$ が剰余体に全射するので $\chi_R(n)\ge1$ である。
$d>0$ とし、鎖を $\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_d$ と書く。$R/\mathfrak p_0$ への全射は各極大イデアルの冪による商にも全射を与える。従って商の長さを下から評価すれば元の長さも下から評価される。そこで $C_0=R/\mathfrak p_0$ と置き、局所整域の場合へ移る。その極大イデアルを $\mathfrak n$ と書く。$\mathfrak p_1/\mathfrak p_0$ から非零元 $z$ を選ぶ。$D=C_0/(\mathfrak p_1/\mathfrak p_0)$ には長さ $d-1$ の鎖が残るので、帰納によりある $c_1>0$ について $\chi_D(n)\ge c_1n^{d-1}$ が十分大きい $n$ で成り立つ。
完全列による長さの加法性から
$$\chi_{C_0}(n)=\operatorname{length}C_0/(zC_0+\mathfrak n^n)+\operatorname{length}zC_0/(zC_0\cap\mathfrak n^n).$$
第一項の商は $D/\mathfrak m_D^n$ に全射するので $\chi_D(n)$ 以上である。第二項では固定部分加群 $zC_0\subset C_0$ にArtin–Reesを適用する。ある固定整数 $a\ge1$ について、すべての十分大きい $n$ で
$$zC_0\cap\mathfrak n^n\subset z\mathfrak n^{n-a}$$
となる。$z$ は整域の非零元だから消去でき、
$$(\mathfrak n^n:z)\subset\mathfrak n^{n-a}$$
を得る。従って第二項は $\chi_{C_0}(n-a)$ 以上である。以上より
$$\chi_{C_0}(n)\ge\chi_{C_0}(n-a)+c_1n^{d-1}$$
が十分大きい $n$ で成立する。
この不等式を $n,n-a,n-2a,\ldots$ について反復する。$n$ が十分大きければ、少なくとも $n/(3a)$ 個の項について引数は $n/2$ 以上に保てる。従って
$$\chi_{C_0}(n)\ge\frac{c_1}{3a\,2^{d-1}}n^d.$$
各帰納段階で用いた $a$ は $n$ に依存しない。これで帰納が閉じる。
この証明は実際に与えられた有限鎖から下界を得た。次元が有限であること、Hilbert多項式の次数が次元に等しいこと、主イデアル定理のいずれも仮定していない。

$\mathfrak m$ の有限生成元を $v_1,\ldots,v_s$ とする。各 $v_i$ の適当な正整数冪は $I$ に属する。十分高い次数の $v_i$ の単項式は、そのいずれかの冪を因子にもつので $I$ に入る。従ってある $h$ について $\mathfrak m^h\subset I$ である。$R/I$ は $R/\mathfrak m^h$ の商なので有限長である。
$I^j/I^{j+1}$ は、$u_1,\ldots,u_r$ の総次数 $j$ の単項式で生成される。その個数は $\binom{j+r-1}{r-1}$ である。また $I$ はこの商を零化するから、対応する個数の $R/I$ の直和から全射がある。従って
$$\operatorname{length}(I^j/I^{j+1})\le L\binom{j+r-1}{r-1}.$$
$R/I^n$ の有限フィルトレーションに長さの加法性を適用し、$j=0,\ldots,n-1$ について和を取ると
$$\operatorname{length}(R/I^n)\le L\binom{n+r-1}{r}.$$
$I^n\subset\mathfrak m^n$ なので $R/I^n$ は $R/\mathfrak m^n$ に全射する。これで主張を得る。

上で述べた一般高さ定理を証明する。まず局所環 $(R,\mathfrak m)$ で $r$ 元生成イデアル $I$ が極大根基をもつ場合を考える。$r\ge1$ なら前の補題が $\chi_R(n)$ に次数 $r$ の多項式による上界を与える。一方、長さ $d>r$ の厳密素鎖があれば成長下界の補題によって $Cn^d$ が下界になる。$n$ を大きくすると両者は両立しない。従って長さ $r+1$ の鎖はなく、$\dim R\le r$ である。$r=0$ なら $\sqrt0=\mathfrak m$ である。すべての素イデアルは冪零元を含むから $\mathfrak m$ を含み、局所環では $\mathfrak m$ しかない。従って次元は零である。
一般の $A,I,\mathfrak p$ に戻る。$R=A_{\mathfrak p}$ とする。局所化による素イデアル対応で、$IR$ を含む素イデアルは $I$ を含み $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルに対応する。極小性から該当する素イデアルは $\mathfrak p$ だけであり、$\sqrt{IR}=\mathfrak pR$ となる。局所化でNoether性は保たれる。実際、局所化環のイデアル $J$ は縮約 $H=\{a\in A:a/1\in J\}$ の拡大に等しい。$a/s\in J$ は $a/1\in J$ と同値であることから従う。縮約の有限生成元の像が $J$ を生成するので、局所化環の全イデアルは有限生成である。$IR$ は元と同じ $r$ 元で生成される。局所の場合より
$$\operatorname{ht}_A\mathfrak p=\dim A_{\mathfrak p}\le r$$
を得る。主イデアル定理は $r=1$ とした場合である。