Cauchy分布

確率密度関数 の定理「単調な変換による密度」により、$aX+b$ は密度 $\frac1{\lvert a\rvert}f_{\mu,\gamma}\bigl(\frac{y-b}a\bigr)$ をもつ。分母と分子に $a^2$ を掛けると$$\frac1{\lvert a\rvert}\cdot\frac{\gamma}{\pi\bigl(\gamma^2+(\frac{y-b}{a}-\mu)^2\bigr)}=\frac{\lvert a\rvert\gamma}{\pi\bigl((\lvert a\rvert\gamma)^2+(y-b-a\mu)^2\bigr)}=f_{a\mu+b,\lvert a\rvert\gamma}(y)$$である。$\square$

$\lvert x\rvert\ge2\lvert\mu\rvert+\gamma$ では $\frac{x^2}{4}\le(x-\mu)^2\le\gamma^2+(x-\mu)^2\le4x^2$ なので、正の定数 $A,B$ で $A\lvert x\rvert^{-2}\le f_{\mu,\gamma}(x)\le B\lvert x\rvert^{-2}$ となる。有界な範囲の積分は有限なので、確率密度関数 の定理「密度による期待値の公式」により、$E[\lvert X\rvert^r]< \infty$ は $\int_1^\infty x^{r-2}\,dx< \infty$、すなわち $r< 1$ と同値である。$\square$

1。 $\varphi=\tan$ は $(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ 上で連続微分可能で $\varphi'=1+\tan^2>0$、像は $\mathbb{R}$、逆関数は $\psi=\arctan$ で $\psi'(y)=\frac1{1+y^2}$ である。確率密度関数 の定理「単調な変換による密度」により、$\tan\Theta$ は密度 $\frac1\pi\cdot\frac1{1+y^2}=f_{0,1}(y)$ をもつ。

2。 $P(Z'=0)=0$ なので $Z/Z'$ は確率 $1$ で定まる。まず $Z/\lvert Z'\rvert\sim C(0,1)$ である。実際、$V:=Z'^2$ は自由度 $1$ のカイ二乗分布に従い（t分布 の定理「カイ二乗分布の再生性」の 1）、$Z$ と独立なので、t分布 の定理「$t$ 分布の密度」により $Z/\sqrt V=Z/\lvert Z'\rvert$ は自由度 $1$ の $t$ 分布に従い、その密度は同記事の例「自由度 1：Cauchy 分布」のとおり $f_{0,1}$ である。

次に、$\varepsilon:=\operatorname{sgn}Z'$ とおくと、組 $(\varepsilon Z,\lvert Z'\rvert)$ は組 $(Z,\lvert Z'\rvert)$ と同じ同時分布をもつ。Borel 集合 $A,B$ について、$Z$ と $Z'$ の独立性と、$-Z$ が $Z$ と同じ分布をもつことから$$\begin{aligned}P(\varepsilon Z\in A,\ \lvert Z'\rvert\in B)&=P(Z\in A)P(Z'>0,\ \lvert Z'\rvert\in B)+P(-Z\in A)P(Z'< 0,\ \lvert Z'\rvert\in B)\\&=P(Z\in A)P(\lvert Z'\rvert\in B)=P(Z\in A,\ \lvert Z'\rvert\in B)\end{aligned}$$であり、直積集合で一致する 2 つの確率測度は Dynkinのπ-λ定理 の定理「π系の上で一致する測度の一意性」により一致する。$Z/Z'=\varepsilon Z/\lvert Z'\rvert$ は組 $(\varepsilon Z,\lvert Z'\rvert)$ の関数なので、$Z/\lvert Z'\rvert$ と同じ分布、すなわち $C(0,1)$ に従う。

3。 $P(X=0)=0$ なので $1/X$ は確率 $1$ で定まる。$y>0$ について、$0< 1/X\le y$ と $X\ge1/y$ は同値で、$\arctan(1/y)=\frac\pi2-\arctan y$ なので$$P(1/X\le y)=P(X< 0)+P(X\ge1/y)=\frac12+\Bigl(\frac12-\frac1\pi\arctan\frac1y\Bigr)=\frac12+\frac1\pi\arctan y$$である。$y< 0$ についても、$1/X\le y$ と $1/y\le X< 0$ は同値で、$\arctan(1/y)=-\frac\pi2-\arctan y$ なので、$P(1/X\le y)=F(0)-F(1/y)=\frac12+\frac1\pi\arctan y$ を得る。$y=0$ では $P(1/X\le0)=P(X< 0)=\frac12$ である。分布関数が $C(0,1)$ のものと一致する。$\square$

1。 $p=s+it$（$s,t$ は実数、$t\ne0$）と書くと$$\frac1{y-p}=\frac{(y-s)+it}{(y-s)^2+t^2}$$である。実部の積分は $\frac12\log\frac{(R-s)^2+t^2}{(R+s)^2+t^2}$ で、$R\to\infty$ で $0$ に近づく。虚部の積分は $\arctan\frac{R-s}{t}-\arctan\frac{-R-s}{t}$ で、$R\to\infty$ で $\frac\pi2\operatorname{sgn}t-\bigl(-\frac\pi2\operatorname{sgn}t\bigr)=\pi\operatorname{sgn}t$ に近づく。

2。 $\lvert y-p\rvert\ge\lvert\operatorname{Im}p\rvert$ と、$\lvert y\rvert\to\infty$ で $\lvert y-p\rvert/\lvert y\rvert\to1$ であることから、正の定数 $c$ で $\lvert(y-p)(y-q)\rvert\ge c(1+y^2)$ となり、積分は絶対収束する。したがって積分は $\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R$ に等しい。$p=q$ なら、$\frac{d}{dy}\bigl(-\frac1{y-p}\bigr)=\frac1{(y-p)^2}$ より $\int_{-R}^R\frac{dy}{(y-p)^2}=-\frac1{R-p}-\frac1{R+p}\to0$ である。$p\ne q$ なら、部分分数分解 $\frac1{(y-p)(y-q)}=\frac1{p-q}\bigl(\frac1{y-p}-\frac1{y-q}\bigr)$ と 1 により、積分は $\frac{i\pi}{p-q}\bigl(\operatorname{sgn}\operatorname{Im}p-\operatorname{sgn}\operatorname{Im}q\bigr)$ に等しく、これは主張の値である。$\square$

prop-cauchy-affine により $c_jX_j\sim C(c_j\mu_j,\lvert c_j\rvert\gamma_j)$ であり、$c_1X_1,\dots,c_nX_n$ は独立である。$c_1X_1+\cdots+c_{k-1}X_{k-1}$ と $c_kX_k$ も独立なので（Dur19 Theorem 2.1.10、p. 47）、thm-cauchy-stable を $k=2,\dots,n$ と順に使えば 1 を得る。2 は 1 で $c_j=\frac1n$ とおけば $C(\mu,\gamma)$ である。$\square$