Hilbertスキーム

同義語：Hilbert schemeヒルベルトスキーム

概要

前提知識: 平坦射, 表現可能関手, Hilbert多項式, 射影空間, 閉部分スキーム

射影空間の中の曲線や点の集まりを「動かす」とき、動かした結果の全体そのものを 1 つのスキームとして扱いたい。Hilbert スキームは、固定した射影スキーム $X$ の閉部分スキームの平坦な族を分類するスキームであり、その点は $X$ の閉部分スキーム、その上の普遍族は「すべての族の親」である。平坦性を課すのは、族のファイバーの Hilbert 多項式が一定になるようにし、族の極限の曖昧さをなくすためである。Hilbert スキームは Picardスキームをはじめとする多くのモジュライ空間の構成の出発点になる。
この記事では、Hilbert 関手と Hilbert スキームを定義し、Grothendieck の存在定理の言明を述べる。そのうえで、1 点の Hilbert スキームが $X$ 自身であること、直線上の $d$ 点の Hilbert スキームが $d$ 次元アフィン空間であることを証明する。さらに、Hilbert スキームの点 $[Z]$ での接空間が $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2,\mathcal{O}_Z)$ であることを、1 次の埋め込まれた変形の分類として証明する。

定義

$S$ を局所Noetherスキームとする。$S$ スキーム $X$ と $S$ スキーム $T$ に対し $X_T:=X\times_ST$ と書く。$T'\to T$ が $S$ 射なら、$X_T$ の閉部分スキーム $Z$ の引き戻し $Z\times_TT'$ は $X_{T'}$ の閉部分スキームである。

Hilbert 関手

$X\to S$ を射影射とし、$\mathcal{O}_X(1)$ を $S$ 上非常に豊富な可逆層とする。局所 Noether な $S$ スキーム $T$ に対し
$$ \mathcal{H}ilb_{X/S}(T):=\{\,Z\subset X_T\text{ 閉部分スキーム}\mid Z\to T\text{ は平坦}\,\} $$
とおき、$T'\to T$ に引き戻し $Z\mapsto Z\times_TT'$ を対応させる。こうして得られる反変関手 $\mathcal{H}ilb_{X/S}$ を Hilbert 関手 という。$P\in\mathbb{Q}[m]$ に対し、すべての $t\in T$ でファイバー $Z_t\subset X_t\subset\mathbb{P}^N_{\kappa(t)}$ の Hilbert多項式が $P$ に等しいものだけからなる部分関手を $\mathcal{H}ilb^P_{X/S}$ と書く。

ここで、体 $\kappa$ 上の射影空間 $\mathbb{P}^N_\kappa$ の閉部分スキーム $Z$ の Hilbert 多項式とは、$Z$ の斉次イデアル $I_Z\subset\kappa[x_0,\dots,x_N]$ について、十分大きい $m$ で $\dim_\kappa(\kappa[x_0,\dots,x_N]/I_Z)_m$ に一致する多項式 $P_Z(m)$ である。$Z$ は $X_T$ で閉なので $T$ 上固有である。
平坦な族ではファイバーの Hilbert 多項式は $T$ 上局所定数であり（$T$ が Noether 整スキームのときは平坦射の定理「射影的な平坦族と Hilbert 多項式」）、$\mathcal{H}ilb_{X/S}$ は $\mathcal{H}ilb^P_{X/S}$（$P\in\mathbb{Q}[m]$）の余積に分かれる（Nit05 の節「Stratification by Hilbert Polynomials」）。

Hilbert スキーム

$S$ スキーム $H$ が $\mathcal{H}ilb^P_{X/S}$ を表現する（表現可能関手）とき、すなわち関手の同型 $\operatorname{Hom}_S(-,H)\cong\mathcal{H}ilb^P_{X/S}$ があるとき、$H$ を $\operatorname{Hilb}^P_{X/S}$ と書き、$X$ の Hilbert 多項式 $P$ の Hilbert スキーム（Hilbert scheme）という。恒等射 $\mathrm{id}_H$ に対応する族 $\mathcal{Z}\subset X\times_SH$ を 普遍族 という。任意の族 $Z\in\mathcal{H}ilb^P_{X/S}(T)$ は、ただ 1 つの $S$ 射 $\varphi\colon T\to H$ による普遍族の引き戻し $Z=\mathcal{Z}\times_H T$ である。

$\operatorname{Hilb}^P_{X/S}$ の $\kappa$ 点（$\kappa$ は体）は、$X_\kappa$ の閉部分スキームで Hilbert 多項式が $P$ のものと 1 対 1 に対応する。点 $[Z]$ と書く。
有限な部分スキームについては射影性を仮定せずに定義できる。$S$ スキーム $X$ と整数 $d\ge0$ に対し、任意の $S$ スキーム $T$ について
$$ \mathcal{H}ilb^d_{X/S}(T):=\{\,Z\subset X_T\text{ 閉部分スキーム}\mid Z\to T\text{ は有限局所自由で階数 }d\,\} $$
とおく（有限局所自由で階数 $d$ とは、$Z\to T$ が有限射で、その押し出し $\pi_*\mathcal{O}_Z$ が階数 $d$ の局所自由 $\mathcal{O}_T$ 加群であること）。これを表現するスキームがあるとき、それを $d$ 点の Hilbert スキーム $\operatorname{Hilb}^d_{X/S}$ という（Stacks Tag 0B94）。$X$ が $S$ 上射影的なら、$\mathcal{H}ilb^d_{X/S}(T)$ の族は Hilbert 多項式が定数 $d$ の平坦な族である（ファイバーは $\kappa(t)$ 上 $d$ 次元の代数のスペクトルで、Hilbert 多項式は定数 $d$）。

存在定理

Grothendieck の存在定理

$S$ を Noether スキーム、$X\to S$ を射影射、$\mathcal{O}_X(1)$ を $S$ 上非常に豊富な可逆層とする。任意の $P\in\mathbb{Q}[m]$ について、$\mathcal{H}ilb^P_{X/S}$ は $S$ 上射影的なスキーム $\operatorname{Hilb}^P_{X/S}$ で表現される。

存在定理の出典と証明の筋

この記事では証明しない。言明は Nit05 定理 5.1 にある（Quot 関手の場合で、$\mathcal{O}_X$ の商の場合が Hilbert 関手である）。詳しい証明は $X$ がベクトル束の射影束の閉部分スキームの場合（定理 5.2・5.3）について §5 にあり、一般の射影射の場合は §5 の末尾がその証明からの導き方の要点を述べている。証明の筋は次のとおりである。Castelnuovo–Mumford の正則性により、Hilbert 多項式が $P$ の部分スキーム $Z$ すべてに共通な $r$ があって、$Z$ は次数 $r$ の斉次多項式の空間の部分空間 $H^0(I_Z(r))$ で決まる。こうして $\mathcal{H}ilb^P$ を Grassmann多様体の部分関手として埋め込み、平坦化の層別（基底変換で平坦になる場所が局所閉部分スキームとして切り出せること）でその像を切り出す。像が閉であることは付値判定法で確かめる。

点の Hilbert スキーム

1 点の Hilbert スキーム

$X\to S$ を分離射とする。$S$ スキーム $T$ と $S$ 射 $a\colon T\to X$ に、グラフ $\Gamma_a:=(a,\mathrm{id}_T)(T)\subset X_T$ を対応させると、関手の同型 $\operatorname{Hom}_S(-,X)\cong\mathcal{H}ilb^1_{X/S}$ が得られる。すなわち $\operatorname{Hilb}^1_{X/S}=X$ であり、普遍族は対角線 $\Delta\subset X\times_SX$ である。

$X_T\to T$ は分離射の底変換なので分離的であり、その切断 $(a,\mathrm{id}_T)$ は閉埋め込みである（Stacks Tag 01KT）。$\Gamma_a\to T$ は同型なので有限局所自由で階数 $1$ であり、$\Gamma_a\in\mathcal{H}ilb^1_{X/S}(T)$ である。逆に $Z\in\mathcal{H}ilb^1_{X/S}(T)$ とし、$\pi\colon Z\to T$ とする。$\mathcal{O}_T\to\pi_*\mathcal{O}_Z$ は階数 $1$ の局所自由層の間の $\mathcal{O}_T$ 線形写像で $1\mapsto1$ である。各 $t\in T$ で $\kappa(t)\to\pi_*\mathcal{O}_Z\otimes\kappa(t)$ は 1 次元の空間の間の $0$ でない写像（ファイバーは $0$ でない環）なので全射であり、中山の補題で $t$ の近くで全射、階数が等しいので同型である。$\pi$ はアフィン射なので $\pi$ は同型であり、$a:=\mathrm{pr}_X\circ(Z\hookrightarrow X_T)\circ\pi^{-1}$ とおくと $Z=\Gamma_a$ である。2 つの対応は互いに逆で、$T$ について自然である。普遍族は $\mathrm{id}_X$ のグラフ、すなわち対角線である。$\square$

$X=\mathbb{P}^n_k$ なら $\operatorname{Hilb}^1_{\mathbb{P}^n_k/k}=\mathbb{P}^n_k$ である。次の定理は、$d$ 点の場合に Hilbert スキームが具体的に書ける最初の例である。

直線上の $d$ 点の Hilbert スキーム

$d\ge1$ とし、$\mathbb{A}^1_S=\operatorname{Spec}_S\mathcal{O}_S[x]$ とする。$S$ スキーム $T$ について、モニックな多項式
$$ f=x^d+c_1x^{d-1}+\dots+c_d\qquad(c_i\in\Gamma(T,\mathcal{O}_T)) $$
に閉部分スキーム $V(f)\subset\mathbb{A}^1_T$ を対応させると、$\mathcal{H}ilb^d_{\mathbb{A}^1_S/S}(T)$ との全単射が得られ、$T$ について自然である。したがって $\operatorname{Hilb}^d_{\mathbb{A}^1_S/S}\cong\mathbb{A}^d_S$（座標 $c_1,\dots,c_d$）であり、普遍族は $V(x^d+c_1x^{d-1}+\dots+c_d)\subset\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^d$ である。

掛け算作用素の特性多項式

両辺は $T$ 上の Zariski 層であり（閉部分スキームも関数も貼り合わさる）、対応は開集合への制限と両立するので、$T=\operatorname{Spec}R$ がアフィンの場合に全単射を示せばよい。
モニックな $f$ について $R[x]/(f)$ は $1,x,\dots,x^{d-1}$ を基底とする自由 $R$ 加群なので、$V(f)\in\mathcal{H}ilb^d(T)$ である。単射性：モニックな $f,g$（次数 $d$）で $(f)=(g)$ なら $g-f=hf$ の次数は $d$ 未満であり、$f$ がモニックなので $hf$ の最高次の係数は $h$ の最高次の係数に等しいから $h=0$、$g=f$ である。
全射性：$Z=V(I)$、$B:=R[x]/I$ が階数 $d$ の局所自由 $R$ 加群であるとする。$R$ の単元イデアルを生成する $h_1,\dots,h_r$ で $B_{h_l}$ が自由なものをとり、$x$ 倍写像の特性多項式 $\chi_l\in R_{h_l}[t]$ を作る。特性多項式は基底のとり方によらないので $\chi_l$ たちは重なりで一致し、モニックな $\chi\in R[t]$（次数 $d$）に貼り合わさる。Cayley–Hamilton の定理により $\chi(x)$ は各 $B_{h_l}$ に $0$ として作用するので、$\chi(x)\cdot1=0$ が各 $B_{h_l}$ で、したがって $B$ で成り立ち、$\chi(x)\in I$ である。こうして全射 $R[x]/(\chi)\to B$ が得られる。両辺は階数 $d$ の局所自由加群で、$R_{h_l}$ の上ではどちらも自由なので、全射 $\phi\colon R_{h_l}^d\to R_{h_l}^d$ になる。各素イデアル $\mathfrak{p}$ で $\phi\otimes\kappa(\mathfrak{p})$ は全射なので $\det\phi\notin\mathfrak{p}$、よって $\det\phi$ は単元で $\phi$ は同型である。ゆえに $I=(\chi)$、$Z=V(\chi)$ である。$\square$

$k$ が代数閉体なら、$\operatorname{Hilb}^d_{\mathbb{A}^1_k/k}$ の $k$ 点は重複を許した $d$ 点の集まり（$f$ の根）であり、$\mathbb{A}^d$ の座標 $c_i$ は根の基本対称式（の符号つき）である。点がぶつかる極限でも、Hilbert スキームは「どの方向からぶつかったか」ではなく重複度だけを覚えている。$d=2$ で $Z_t=\{0,t\}$ の族 $V(x(x-t))$ は、$t=0$ で $V(x^2)$、すなわち原点の 2 重点に行く（平坦射の記事の Hilbert 多項式の定理の後の例と同じ族）。

接空間

体 $k$ 上のスキーム $H$ と $k$ 点 $h$ について、$k[\epsilon]:=k[t]/(t^2)$ とすると、$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ の閉点を $h$ へ写す $k$ 射の全体は、Zariski 接空間 $T_hH:=(\mathfrak{m}_h/\mathfrak{m}_h^2)^\vee$ と同一視できる。

詳細

そのような射は局所 $k$ 代数の準同型 $\varphi\colon\mathcal{O}_{H,h}\to k[\epsilon]$ と同じもので、$\varphi(a)=\bar{a}+\epsilon D(a)$（$\bar{a}$ は $a$ の剰余体 $k$ での値）と書ける。$\varphi$ が環準同型であることは $D(ab)=\bar{a}D(b)+\bar{b}D(a)$、$D|_k=0$ と同値である。このとき $D(\mathfrak{m}_h^2)=0$ であり、$D$ は $\mathfrak{m}_h/\mathfrak{m}_h^2$ 上の線形形式を定める。逆に線形形式 $\ell$ から $D(a):=\ell(a-\bar{a})$ と定めると条件をみたす。

したがって、Hilbert スキームの $[Z]$ での接空間は、$k[\epsilon]$ 上の族で閉ファイバーが $Z$ になるものの全体である。

1 次の埋め込まれた変形

$k$ を体、$X$ を局所 Noether な $k$ スキーム、$Z\subset X$ を閉部分スキーム、$X[\epsilon]:=X\times_k\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ とする。閉部分スキーム $Z'\subset X[\epsilon]$ で、$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ 上平坦であり、$Z'\times_{k[\epsilon]}k=Z$（$X$ の閉部分スキームとして）をみたすものを、$Z$ の $X$ の中での 1 次の埋め込まれた変形 という。

1 次の埋め込まれた変形と法層

def-hilb-first-order の記号のもとで、$\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X$ を $Z$ のイデアル層とする。$Z$ の $X$ の中での 1 次の埋め込まれた変形の全体と
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I},\mathcal{O}_Z)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2,\mathcal{O}_Z) $$
の間に自然な全単射があり、$0$ には自明な変形 $Z\times_k\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ が対応する。

平坦性をイデアルの言葉に直す

$\mathcal{O}_Z$ は $\mathcal{I}$ で消えるので、$\mathcal{I}\to\mathcal{O}_Z$ は $\mathcal{I}^2$ を $0$ に写し、等号が成り立つ。$X=\operatorname{Spec}A$、$I\subset A$、$B=A/I$ の場合に、変形 $Z'=V(I')$（$I'\subset A[\epsilon]=A\oplus\epsilon A$）と $\operatorname{Hom}_A(I,B)$ の全単射で、$A$ の局所化と両立するものを作れば、貼り合わせて主張が得られる（$A$ は Noether なので $I$ は有限表示で、$\operatorname{Hom}_A(I,B)$ は局所化と交換する）。$Z'\times_{k[\epsilon]}k=Z$ は、$I'$ の $A[\epsilon]\to A$ による像が $I$ であることを意味する。
段 1（平坦性の言い換え）：$I'$ の像が $I$ のとき、$B':=A[\epsilon]/I'$ が $k[\epsilon]$ 上平坦であることと $I'\cap\epsilon A=\epsilon I$ は同値である。変形理論の補題「双対数の環上の平坦性」により、平坦性は $\ker(\epsilon\colon B'\to B')=\epsilon B'$ と同値である。$a+\epsilon b$ の類が $\epsilon B'$ に入ることは、$a\in I$ と同値である（$a\in I$ なら $a+\epsilon b_0\in I'$ となる $b_0$ があり、$[a+\epsilon b]=[\epsilon(b-b_0)]$。逆は像が $I$ であることから）。$\epsilon(a+\epsilon b)=\epsilon a$ なので、$\ker\epsilon=\epsilon B'$ は「$\epsilon a\in I'$ なら $a\in I$」、すなわち $I'\cap\epsilon A\subset\epsilon I$ と同値である。逆の包含 $\epsilon I\subset I'$ はつねに成り立つ（$f\in I$ について $f+\epsilon g\in I'$ をとり $\epsilon$ を掛ける）。
段 2（変形から準同型）：$f\in I$ に $f+\epsilon g\in I'$ となる $g$ を選び、$\varphi(f):=g\bmod I$ とおく。2 通りの選び方の差は $\epsilon(g-g')\in I'\cap\epsilon A=\epsilon I$ なので $\varphi(f)$ は well-defined であり、$I'$ は $A$ 加群なので $\varphi\in\operatorname{Hom}_A(I,B)$ である。
段 3（準同型から変形）：$\varphi\in\operatorname{Hom}_A(I,B)$ に対し $I'_\varphi:=\{f+\epsilon g\mid f\in I,\ g\bmod I=\varphi(f)\}$ とおく。$I'_\varphi$ は加法と $A$ 倍で閉じ、$\epsilon(f+\epsilon g)=\epsilon f$ は（$f\in I$、$\varphi(0)=0$ なので）$I'_\varphi$ に属するから、$A[\epsilon]$ のイデアルである。像は $I$ で、$I'_\varphi\cap\epsilon A=\{\epsilon g\mid g\in I\}=\epsilon I$ なので、段 1 により平坦である。段 2・3 の対応は互いに逆であり、$\varphi=0$ には $I'_0=I+\epsilon I=IA[\epsilon]$、すなわち自明な変形が対応する。どちらの構成も $A\to A_a$ の局所化と両立する。$\square$

Hilbert スキームの接空間

$X$ を体 $k$ 上の射影スキーム、$Z\subset X$ を Hilbert 多項式 $P$ の閉部分スキーム、$\mathcal{I}$ をそのイデアル層とする。このとき
$$ T_{[Z]}\operatorname{Hilb}^P_{X/k}\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2,\mathcal{O}_Z) $$
であり、$\operatorname{Hilb}^P_{X/k}$ の $[Z]$ における局所環の次元はこの $k$ 線形空間の次元以下である。

$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ の閉点を $[Z]$ に写す射は、表現可能性により $k[\epsilon]$ 上の平坦な族 $Z'\subset X[\epsilon]$ で閉ファイバーが $Z$ のものに対応する（$\operatorname{Spec}k[\epsilon]$ は 1 点なのでファイバーの Hilbert 多項式は $P$ だけである）。これは 1 次の埋め込まれた変形であり、thm-hilb-tangent により同型が得られる。次元の不等式は Noether 局所環の次元が $\dim\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 以下であることによる（AM69 系 11.15）。右辺は $X$ が射影的なので有限次元である。$\square$

$\mathcal{N}_{Z/X}:=\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2,\mathcal{O}_Z)$ を $Z$ の法層といい、接空間は $H^0(Z,\mathcal{N}_{Z/X})$ である。

例

接空間の次元の計算

$k$ を体とする。

（1 点）$x\in X$ を $k$ 有理点、$Z=\{x\}$（被約）とすると、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は茎 $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ をもつ $x$ に台のある層で、$\operatorname{Hom}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2,\mathcal{O}_Z)=(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^\vee=T_xX$ である。これは prop-hilb-one-point の $\operatorname{Hilb}^1_{X/k}=X$ の $x$ での接空間に一致する。
（直線上の $d$ 点）$Z=V(f)\subset\mathbb{A}^1_k$、$f$ はモニックで次数 $d$、$B=k[x]/(f)$ とすると、$I/I^2=(f)/(f^2)$ は $f$ を基底とする自由 $B$ 加群なので $\operatorname{Hom}_B(I/I^2,B)\cong B$ は $d$ 次元である。thm-hilb-line の $\mathbb{A}^d$ の次元と一致し、$\operatorname{Hilb}^d_{\mathbb{A}^1}$ はどの点でも非特異である。
（超曲面）$n\ge1$、$F\in k[x_0,\dots,x_n]_d$（$d\ge1$）を $0$ でない斉次多項式、$Z=V(F)\subset\mathbb{P}^n_k$ とする。$\mathcal{I}=F\cdot\mathcal{O}(-d)\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-d)$ なので $\mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^n}=\mathcal{O}_Z(d)$ であり、接空間は $H^0(Z,\mathcal{O}_Z(d))$ である。完全列 $0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\xrightarrow{F}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\to\mathcal{O}_Z(d)\to0$ と $H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0$（Stacks Tag 01XT）により $H^0(Z,\mathcal{O}_Z(d))\cong k[x_0,\dots,x_n]_d/kF$ で、次元は $\binom{n+d}{d}-1$ である。これは次数 $d$ の斉次多項式を定数倍を除いて動かす射影空間 $\mathbb{P}^{\binom{n+d}{d}-1}$ の次元に等しい。

3 の超曲面の Hilbert スキームが実際に $\mathbb{P}^{\binom{n+d}{d}-1}$ と同型になること、$\mathbb{P}^n$ の $r$ 次元線形部分空間の Hilbert スキームが Grassmann多様体であることは、Nit05 の例 (3)・(4) が手順を示している。この記事では証明しない。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
族の平坦性	$\mathbb{A}^1_x\times\mathbb{A}^1_t$ の中の $V(x(x-t))$ と $V(x(x-t))\cup\{(1,0)\}$	$t\ne0$ の上で一致する 2 つの族が $t=0$ で異なり、極限が 1 つに決まらない
$X$ の固有性	$X=\mathbb{A}^1_k$	$\operatorname{Hilb}^d_{X/k}=\mathbb{A}^d_k$ は固有でない
Hilbert 多項式を固定すること	$X=\mathbb{P}^2_k$ の 0 次元部分スキーム全体	点の個数 $d=1,2,\dots$ ごとに $\operatorname{Hilb}^d$ が現れ、全体は有限型でない

詳細

1 行目：$V(x(x-t))$ の座標環 $k[x,t]/(x(x-t))$ は $1,x$ を基底とする自由 $k[t]$ 加群で平坦である。$W:=V(x(x-t))\cup V(x-1,t)$ のイデアルは $J=(x(x-t))\cap(x-1,t)$ で、$g:=x(x-t)$ は $(x-1,t)$ に属さない（$(1,0)$ での値が $1$）ので $k[x,t]/J$ で $0$ でないが、$tg\in J$ である。よって $k[x,t]/J$ は $t$ 捩れをもち、PID $k[t]$ 上平坦でない。$t$ を可逆にすると $(x-1,t)$ は単位イデアルになるので、2 つの族は $t\ne0$ の上で一致する。平坦でない族を許すと、このように一般のファイバーから極限が決まらない。

2 行目：$\mathbb{A}^d_k$（$d\ge1$）は固有でない。$\mathbb{A}^d\times\mathbb{A}^1$ の閉集合 $V(c_1y-1)$ の $\mathbb{A}^1$（座標 $y$）への像は $\mathbb{A}^1\setminus\{0\}$ で閉でなく、普遍閉でない。$\mathbb{A}^1$ の中の点は無限遠へ逃げることができ、その極限が $\mathbb{A}^1$ の中にない。

3 行目：$\mathcal{H}ilb_{X/k}$ は Hilbert 多項式ごとの余積に分かれ、各 $d\ge1$ について、直線 $\{x_2=0\}$ の中の $V(x_1^d)$（点 $(1:0:0)$ の $d$ 重点）は $\operatorname{Spec}k[x_1/x_0]/((x_1/x_0)^d)$ と同型で Hilbert 多項式 $d$ をもつので、全体は無限個の空でない開かつ閉な部分 $\operatorname{Hilb}^d$ の非交和であり、準コンパクトでないので有限型でない。

補足

応用と特異な Hilbert スキーム

Picardスキームの Grothendieck による構成では、直線束の族を因子の族に置き換えて Hilbert スキームの中で実現する。変形理論の観点では、thm-hilb-tangent は埋め込まれた変形の 1 次の部分を与え、2 次以上に延びるかどうかの障害が Hilbert スキームの特異性を測る。Hilbert スキームは被約とも既約とも限らず、$\mathbb{P}^3$ の中の滑らかな曲線で Hilbert スキームの被約でない成分に属するものがある（変形理論の記事の例）。一方、直線上の点の Hilbert スキームは非特異である（thm-hilb-line、ex-hilb-tangent-examples の 2）。