Serreのアフィン性判定法

1 ⇒ 2。 準連接層 の定理「アフィンスキーム上の消滅定理」による（$X=\operatorname{Spec}B$ で $B$ が Noether 環の場合はそこで証明され、一般の $B$ については Stacks Tag 01XB にある。この記事では一般の場合を証明しない）。
1 ⇒ 3。 $i=1$ の消滅は、任意の環 $B$ について 準連接層 の系「アフィンスキーム上の 1 次コホモロジーの消滅」で証明されている。準連接なイデアル層は準連接層である。
2 ⇒ 3 は明らか。1 ⇒ 4 は 準連接層 の命題「アフィンスキーム上の大域切断の完全性」である。
4 ⇒ (a)、(b)。 (S1)・(S2) は準連接層の短完全列なので、条件 4 から大域切断の写像はどちらも全射である。
3 ⇒ (a)。 (S1) のコホモロジーの長完全列（層コホモロジー の定理「層コホモロジーの長完全列」）
$$ \Gamma(X,\mathcal I_Y)\longrightarrow\kappa(P)\longrightarrow H^1(X,\mathcal I_{Y\cup\{P\}})=0 $$
による。
3 ⇒ (b)。 $0\le j\le r$ について、$\mathcal O_X^{\oplus j}\subset\mathcal O_X^{\oplus r}$ を最初の $j$ 成分とし、$\mathcal K_j:=\mathcal K\cap\mathcal O_X^{\oplus j}$ とおく。$\mathcal K_j$ は $\mathcal K\to\mathcal O_X^{\oplus r}/\mathcal O_X^{\oplus j}$ の核なので準連接である。第 $j$ 成分への射影 $\mathcal K_j\to\mathcal O_X$ の核は $\mathcal K_{j-1}$ なので、$\mathcal K_j/\mathcal K_{j-1}$ はその像、すなわち準連接なイデアル層と同型であり、条件 3 から $H^1(X,\mathcal K_j/\mathcal K_{j-1})=0$ である。$\mathcal K_0=0$ から始めて、長完全列
$$ H^1(X,\mathcal K_{j-1})\longrightarrow H^1(X,\mathcal K_j)\longrightarrow H^1(X,\mathcal K_j/\mathcal K_{j-1}) $$
の両端が $0$ なので順に $H^1(X,\mathcal K_j)=0$ となり、$H^1(X,\mathcal K)=H^1(X,\mathcal K_r)=0$ を得る。(S2) の長完全列から $A^{\oplus r}\to A$ は全射である。
(a)、(b) ⇒ 1。 (a) で $f(P)=1$ となる $f\in\Gamma(X,\mathcal I_Y)\subset A$ をとる。$P\in X_f$ であり、$Y$ の点では $f$ の値が $0$ なので $X_f\subset U$ である。基本開集合 の命題「スキームの上の基本開集合の性質」の 1 により、$X_f=U\cap X_f$ はアフィンスキーム $U$ の基本開集合 $D_U(f|_U)$ であり、アフィンである（アフィンスキーム の命題「基本開集合はアフィン」）。
$X_f$ がアフィンとなる $f\in A$ 全体にわたる $X_f$ の和集合を $W$ とすると、$W$ は開集合で、いま見たことから $X$ のすべての閉点を含む。$X\setminus W$ が空でないとする。これは準コンパクトな空間 $X$ の閉集合なので準コンパクトであり、スキームの底空間は $T_0$ なので（閉点 の系「スキームの閉点」の証明）その部分空間も $T_0$ である。閉点 の命題「閉点の存在」により $X\setminus W$ は自分の中で閉な点 $z$ をもち、$X\setminus W$ は $X$ で閉なので $z$ は $X$ の閉点である。これは $z\notin W$ に反する。よって $W=X$ であり、$X$ は準コンパクトなので、有限個の $f_1,\dots,f_r\in A$ で $X=X_{f_1}\cup\dots\cup X_{f_r}$、各 $X_{f_i}$ がアフィンとなるものがある。
(b) により $f_1,\dots,f_r$ は $A$ の単位イデアルを生成する。恒等写像 $A\to\Gamma(X,\mathcal O_X)$ に対応する標準的な射 $j\colon X\to\operatorname{Spec}A$（アフィンスキーム の定理「スキームからアフィンスキームへの射」）について、点 $x$ で $\kappa(j(x))\to\kappa(x)$ は体の準同型ゆえ単射なので $j^{-1}(D(f_i))=X_{f_i}$ であり、これはアフィンである。アフィン射 の命題「アフィン性の判定条件」を $j$ と $f_1,\dots,f_r$ に当てると、$X$ はアフィンスキームである。$\square$

$X=\operatorname{Spec}B$ なら、$Z$ は $B$ のイデアル $\mathfrak n$ による $\operatorname{Spec}(B/\mathfrak n)$ であり、アフィンである（閉部分スキーム の定理「閉部分スキームと準連接イデアル層の対応」）。
逆に $Z$ がアフィンだとする。各点 $x$ で茎 $\mathcal N_x$ は $\mathcal N_x^m=0$ を満たすので極大イデアルに含まれ、$\mathcal O_{X,x}/\mathcal N_x\ne0$ である。よって $Z$ の底空間は $X$ 全体であり、閉埋め込み $i\colon Z\to X$ は底空間の同相写像である。とくに $X$ は $Z$ と同じく準コンパクトである。thm-sca-main の条件 3 を確かめる。
$\mathcal I$ を準連接なイデアル層とし、$0\le j\le m$ について $\mathcal I_j:=\mathcal N^j\mathcal I$ とおく。$\mathcal I_0=\mathcal I$、$\mathcal I_m=0$ であり、$\mathcal Q_j:=\mathcal I_j/\mathcal I_{j+1}$ は $\mathcal N$ で消える準連接層である。アフィン開集合 $\operatorname{Spec}B$ の上で $\mathcal N=\widetilde{\mathfrak n}$、$\mathcal Q_j=\widetilde M$ とすると $\mathfrak nM=0$ であり、$\mathcal Q_j$ は $Z\cap\operatorname{Spec}B=\operatorname{Spec}(B/\mathfrak n)$ の上の $B/\mathfrak n$ 加群 $M$ に付随する層と、アーベル群の層として同じものである。こうして $\mathcal Q_j$ は、同じ底空間の上の $Z$ の準連接層 $\mathcal G_j$ と見なせる。$\mathcal O_X$ 加群層や $\mathcal O_Z$ 加群層としてのコホモロジーはアーベル群の層としてのコホモロジーと一致するので（脆弱層 の系「加群層のコホモロジーとの一致」）、
$$ H^1(X,\mathcal Q_j)=H^1(Z,\mathcal G_j)=0 $$
である（右の消滅は $Z$ がアフィンであることと 準連接層 の系「アフィンスキーム上の 1 次コホモロジーの消滅」による）。
$j=m-1,m-2,\dots,0$ の順に、短完全列 $0\to\mathcal I_{j+1}\to\mathcal I_j\to\mathcal Q_j\to0$ の長完全列
$$ H^1(X,\mathcal I_{j+1})\longrightarrow H^1(X,\mathcal I_j)\longrightarrow H^1(X,\mathcal Q_j)=0 $$
を使うと、$H^1(X,\mathcal I_m)=0$ から始めて $H^1(X,\mathcal I_j)=0$ が順に従い、$H^1(X,\mathcal I)=0$ を得る。thm-sca-main の 3 ⇒ 1 により $X$ はアフィンである。$\square$

$X_{\mathrm{red}}\to X$ は冪零元の層 $\mathcal N_X$ が定める閉埋め込みである（被約スキーム の定理「付随する被約スキームの構成」）ので、$\mathcal N_X$ は準連接なイデアル層である（閉部分スキーム の定理「閉部分スキームと準連接イデアル層の対応」）。$X$ を有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B_1,\dots,\operatorname{Spec}B_s$ で覆うと、各 $B_l$ は Noether 環なので冪零根基 $\operatorname{nil}(B_l)$ は有限生成であり、生成元 $g_1,\dots,g_t$ をそれぞれ $g_\nu^{e}=0$ とすれば $\operatorname{nil}(B_l)^{t(e-1)+1}=0$ である。$\operatorname{Spec}B_l$ の上で $\mathcal N_X=\widetilde{\operatorname{nil}(B_l)}$（同じ定理の 2）なので、$m$ を十分大きくとると $\mathcal N_X^m=0$ となる。prop-sca-nilpotent を当てればよい。$\square$