準優秀環
概要
準優秀環（quasi-excellent ring）とは、Noether環 $A$ で、全素イデアル $\mathfrak p$ について $A_{\mathfrak p}$ の形式的ファイバーが剰余体上幾何学的に正則であるという$G$ 条件と、任意の有限型 $A$ 代数の正則点集合が開集合であるという$J$-2 条件をともに満たすものである。準優秀性は任意の積閉集合による局所化で保たれ、基本開集合 $D(f_i)$ による被覆の各 $A[1/f_i]$ で判定でき、有限直積では各成分が準優秀であることと同値になる。Noether正則局所環でも$G$ 条件を満たさず準優秀でない離散付値環がある。準優秀環にさらに普遍鎖状性を課したものが優秀環である。
二つの異なる量化を合わせる
環は単位元を持つ可換環とする。準優秀環は、正則環の別名でも、優秀環の別の読み方でもない。局所化してから完成する写像のファイバーと、有限型代数の正則点集合という二つの対象を同時に制御するNoether環である。前者は幾何学的正則性、後者は位相的な開性を調べる。
以下、非零局所環 $(R,\mathfrak m,k)$ の正則性とは、$\dim R=\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2$ をいう。Noether環が正則であるとは全素局所環が正則であることをいう。零環は空のスペクトルを持つNoether環として扱う。正則点集合を $\operatorname{Reg}(R)=\{\mathfrak p:R_{\mathfrak p}\text{ が正則}\}$ と書く。
Noether環 $A$ が次の両条件を満たすとき、準優秀環（quasi-excellent ring）という。
- G条件：全素イデアル $\mathfrak p\subset A$ に対し、$A_{\mathfrak p}$ の全形式的ファイバーが、対応する剰余体上幾何学的に正則である。
- J-2条件：任意の有限型 $A$ 代数 $B$ について $\operatorname{Reg}(B)$ が開集合である。
幾何学的に正則とは、剰余体の任意の有限次拡大による基底変更後にも正則であることをいう。有限型とは有限個の代数生成元を持つことであり、有限生成加群であることではない。
具体的に $R=A_{\mathfrak p}$、$\mathfrak q\in\operatorname{Spec}R$ とすると、G条件で検査する環は
$$\widehat R\otimes_R\kappa(\mathfrak q),\qquad\widehat R=\varprojlim_nR/(\mathfrak pR)^n$$
である。さらに任意の有限体拡大 $k'/\kappa(\mathfrak q)$ に対し、これを $k'$ へ基底変更した環の全素局所環を調べる。閉点のファイバーだけではこの全量化を満たさない。完成後の環 $\widehat R$ が正則であることだけでも不足する。
優秀環は準優秀環であって、さらに普遍鎖状であるNoether環をいう。普遍鎖状性は全有限型代数について、端点を固定した素イデアルの飽和鎖の長さの一致を要求する。準優秀の定義からこの第三条件を除いたのは名称の省略ではなく、要求する性質を分けた結果である。準優秀環と優秀環は同義ではない。MatCA §34。
定義から直接得られる局所的な保存
$A$ をNoether環とする。
- $A$ が準優秀なら、任意の積閉集合 $S$ に対し $S^{-1}A$ も準優秀である。
- 基本開集合 $D(f_i)$ が $\operatorname{Spec}A$ を覆うなら、$A$ が準優秀であることと、全 $A[1/f_i]$ が準優秀であることは同値である。
局所化写像が有限型であるとは仮定しない。基本開被覆が有限であることも追加仮定しない。
反復局所化の両逆からG条件の局所環と完成の同一性を示す。J-2の方は有限関係式の分母を払って有限型代数を元の環へ降ろす。これらの補題を以下で証明し、最後の prf-qe-local で定理を導く。
局所化環のNoether性も確認する。$B=S^{-1}A$ のイデアル $J$ の縮約を $H=\{a\in A:a/1\in J\}$ とすると、$J=S^{-1}H$ である。実際 $a/s\in J$ と $a/1\in J$ は単元 $s/1$ の乗除により同値である。$H$ の有限生成元の像が $J$ を生成するので $B$ はNoetherである。$0\in S$ の場合には $B=0$ であり同じ結論となる。
$S\subset A$ を積閉集合、$B=S^{-1}A$ とする。$B$ の素イデアル $\mathfrak q$ の縮約を $\mathfrak p$ とすると、$S\cap\mathfrak p=\emptyset$ であり
$$B_{\mathfrak q}\simeq A_{\mathfrak p}.$$
従って $\operatorname{Reg}(B)$ は、$\operatorname{Spec}B$ の点に対応する $A$ の素点のうち、$A$ の正則点であるものの集合に等しい。
縮約の定義は $\mathfrak p=\{a\in A:a/1\in\mathfrak q\}$ である。$s\in S$ の像は単元なので素イデアルに入らず、$S$ は $\mathfrak p$ と交わらない。分数 $a/s$ が $\mathfrak q$ に入ることと $a/1$ が入ることは同値である。従って分母としてさらに逆にすべき元は、ちょうど分子が $\mathfrak p$ の外にある分数である。
具体的に
$$\frac{a/s}{b/t}\longmapsto\frac{at}{sb}$$
と定めると、$b/t\notin\mathfrak q$ から $b\notin\mathfrak p$、また $s\notin\mathfrak p$ なので右辺は $A_{\mathfrak p}$ の元である。逆方向は
$$\frac a b\longmapsto\frac{a/1}{b/1}$$
である。分数の等号はある分母を掛けると交叉積が一致することだから、いずれの写像も代表を変えても変わらない。二つの合成は元の分数に等しく、加法・乗法・単位元を保つ。よって環同型を得る。局所環の次元と余接空間の次元は環同型で保存され、正則性も同じである。$B=0$ なら素点がなく、この主張は空集合について成立する。$\square$
この補題は二つの用途を持つ。一つは正則点集合を基本開へ制限する計算であり、もう一つは正則環の局所化が正則環であることの確認である。後者では全素点で正則という定義をそのまま用いている。正則局所環の任意の素点での局所環が再び正則局所環であるという非自明な定理と、定義からのこの保存を区別する。
一般の $S$ でも、J-1なら局所化環の正則点集合は開である。実際、正則点集合はスペクトルの連続写像 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ による $\operatorname{Reg}(A)$ の逆像だからである。ただし逆方向を得るには被覆や忠実性などの条件が要る。例えば特異点をすべて局所化で除いてしまえば、局所化後が正則でも元の環の特異点についての情報は残らない。
任意の $f\in A$ について、$\operatorname{Spec}A[1/f]=D(f)$ の同定の下で
$$\operatorname{Reg}(A[1/f])=\operatorname{Reg}(A)\cap D(f).$$
従って J-1 環を一つの元で局所化すると J-1 である。逆に、基本開集合 $D(f_i)$ が $\operatorname{Spec}A$ を覆い、全 $A[1/f_i]$ が J-1 なら $A$ も J-1 である。
$\mathfrak p\in D(f)$ に対応する局所化環の素イデアルを $\mathfrak p'$ とすると、分数の普遍性から $(A[1/f])_{\mathfrak p'}\simeq A_{\mathfrak p}$ である。正則性を判定する局所環が同じだから集合の等式を得る。$\operatorname{Reg}(A)$ が開ならその $D(f)$ との交差も開である。逆に各 $\operatorname{Reg}(A)\cap D(f_i)$ が $D(f_i)$ 内で開なら、$D(f_i)$ 自体も全スペクトル内で開なので、その交差は全スペクトル内で開である。それらの和は $\operatorname{Reg}(A)$ となり、J-1 を得る。これは同一の局所環と開集合の比較であり、一般の正則点集合が常に開であるという主張ではない。$\square$
Noether環 $A$ の有限型代数はNoether環である。
まず $A[T]$ のイデアル $I$ を考える。$I=0$ は自明である。$J_n$ を、次数高々 $n$ の $I$ の多項式の $T^n$ 係数の集合とする。これはイデアルであり、$T$ 倍によって $J_n\subset J_{n+1}$ となる。Noether性からある $c$ 以降この列は一定である。各 $0\le n\le c$ で $J_n$ の有限生成元を取り、それぞれを次数高々 $n$ の $f_{ni}\in I$ の $T^n$ 係数として持ち上げる。零の $J_n$ では何も選ばない。
$g\in I$ の次数を $m$ とする。$m\le c$ なら最高次係数を $J_m$ の生成元で表し、対応する $f_{mi}$ の線形結合を引けば次数が下がる。$m>c$ なら $J_m=J_c$ を使い、$T^{m-c}f_{ci}$ の線形結合を引けば次数が下がる。この操作を有限回繰り返すと零になるので、選んだ有限個の多項式が $I$ を生成する。従って $A[T]$ はNoetherである。変数の数に関する帰納で有限変数多項式環もNoetherとなる。
任意の商 $R/K$ のイデアルの逆像は $R$ のイデアルであり、その有限生成元の像が商のイデアルを生成する。よって商もNoetherである。有限型代数は有限変数多項式環の商なので結論を得る。零環や零イデアルの枝では生成元の空族を使えばよく、最大次数を空集合から選ぶ必要はない。$\square$
$A$ がJ-2で $S\subset A$ が積閉集合なら $S^{-1}A$ もJ-2である。局所化写像が有限型であるとは仮定しない。
$C=S^{-1}A$、$D$ を有限型 $C$ 代数とし、$D\simeq C[X_1,\ldots,X_n]/K$ と表示する。$C$ はNoetherであり、上の係数イデアルの証明からその有限変数多項式環もNoetherである。従って $K$ は有限個の多項式 $h_1,\ldots,h_r$ で生成される。各 $h_i$ に現れる有限個の係数の分母の積 $s_i\in S$ を取れば、$s_i h_i$ は $A[X_1,\ldots,X_n]$ の多項式 $g_i$ の像である。$s_i$ の像は $C$ で単元だから、$h_i$ と $g_i$ は同じイデアルを生成する。
$D_0=A[X_1,\ldots,X_n]/(g_1,\ldots,g_r)$ と置く。局所化と多項式を作る操作は、係数の分母を一つに合わせることによって可換し、商についても可換する。具体的に $(a+(g_i))/s$ を $a/s+(g_i)$ へ送る写像とその逆は、ある $t\in S$ を掛けて分子が $(g_i)$ に入るという零の判定からwell-definedとなる。よって $D\simeq S^{-1}D_0$ である。$D_0$ は有限型 $A$ 代数なので、J-2より正則点集合が開となる。反復局所化の局所環同型により $\operatorname{Reg}(D)$ は $\operatorname{Reg}(D_0)$ の逆像であり、開である。任意の有限型 $D$ でこれが成立するので $C$ はJ-2となる。$0\in S$ の場合は $C=0$、単位的な $C$ 代数も零環のみであり、同じ結論が空スペクトルから従う。$\square$
有限型代数 $D$ が有限表示になるのは、係数環がNoetherであるためである。関係式を無限個のまま分母払いすると、一つの有限集合の係数に降ろすこの議論は成立しない。ここで使うのは有限表示の関係式であり、$D$ の加群としての有限性ではない。
Noether環 $A$ のスペクトルを基本開 $D(f_i)$ が覆うとする。$A$ がJ-2であることは、全 $A[1/f_i]$ がJ-2であることと同値である。
順方向は局所化保存から従う。逆方向では任意の有限型 $A$ 代数 $D$ を取る。環準同型に伴うスペクトル写像の逆像により $D(f_i)$ は $\operatorname{Spec}D$ も覆う。$D[1/f_i]$ は $A[1/f_i]$ 上有限型だから、その正則点集合は開である。すなわち全 $D[1/f_i]$ がJ-1である。J-1の基本開局所判定を $D$ に適用すると $D$ もJ-1となり、$A$ はJ-2である。被覆が無限族でも開集合の和の議論はそのまま成立し、有限被覆を追加仮定する必要はない。空スペクトルではJ-2の量化は零環のみとなる。$\square$
まず $B=S^{-1}A$ の点 $\mathfrak p'$ の縮約を $\mathfrak p$ とする。反復局所化により $B_{\mathfrak p'}\simeq A_{\mathfrak p}$ である。この同型は最大イデアルを対応させ、その全冪と全剰余環を対応させる。逆極限を取れば完成も対応する。さらに各素 $\mathfrak q$、その剰余体、完成と剰余体のテンソル積も対応するので、任意の有限体拡大後のファイバーまで同じ環になる。従って $A$ のG条件は $B$ のG条件を与える。J-2は上で証明した任意局所化保存から従う。これで第一項を得る。
第二項の逆方向では、$\mathfrak p\in\operatorname{Spec}A$ を任意に取る。被覆から $f_i\notin\mathfrak p$ となる $i$ を選べる。$(A[1/f_i])_{\mathfrak p'}\simeq A_{\mathfrak p}$ なので、前と同じ完成・全ファイバー同定によりG条件を得る。J-2は上の基本開被覆判定により得る。順方向は第一項から従う。零環ではスペクトルは空、G条件は空の全称であり、単位的な零環代数も零のみなのでJ-2も成立する。従って零環は準優秀であり、全枝はこの規約と一致する。$\square$
この証明は、局所環を完成へ移す際の新しい保存定理を使っていない。同じ局所環を二つの記述で見ていることから、完成の全座標と全ファイバーを一致させたのである。任意のイデアルで完成する操作や、商を取る操作についてのG条件の一般保存は、別の問題である。
有限直積は成分ごとに検査する
Noether環 $A_1,A_2$ に対し、$A_1\times A_2$ が準優秀であることは、両 $A_i$ が準優秀であることと同値である。
$e=(1,0)$、$f=(0,1)$ は $e+f=1$、$ef=0$ を満たす。素イデアルは一方を含み他方を含まないので、$P_1\times A_2$ 又は $A_1\times P_2$ である。各局所環は対応する $(A_i)_{P_i}$ に同型で、全形式的ファイバーもその完成から得る同じ環である。従ってG条件は成分ごとのG条件と同値となる。
イデアルも $I=eI\oplus fI=I_1\times I_2$ に分かれ、両成分の有限生成元が $I$ を生成するので直積はNoetherである。有限型 $A_1\times A_2$ 代数 $D$ は $D\simeq eD\times fD$ に分解する。像の冪等元を各元に掛ける写像と、二成分を足す写像が両逆である。$D$ の有限個の代数生成元に $e,f$ を掛ければ、各因子は有限型 $A_i$ 代数である。スペクトルは二つの開かつ閉の成分の直和となり、正則点集合も対応因子の正則点集合の直和になる。従って両 $A_i$ がJ-2なら直積もJ-2である。
逆に任意の有限型 $A_i$ 代数は射影 $A_1\times A_2\to A_i$ を通じて有限型直積代数でもあるから、直積のJ-2条件から各因子のJ-2条件を得る。G条件と合わせて結論を得る。零の成分は空スペクトルとして消え、有限個の成分の場合はこの議論を反復すればよい。$\square$
有限直積の命題は、全局所環がどの成分に由来するかを追跡している。無限直積についてはNoether性もスペクトルの点も事情が異なり、この証明をそのまま移せない。またこれは有限型代数の任意の操作についての一般G保存を代用する命題ではない。
正則DVRでも準優秀とは限らない
標数 $p>0$ の体 $k$ を $[k:k^p]=\infty$ となるように取る。たとえば $k=\mathbb F_p(t_0,t_1,\ldots)$ とできる。$k^p\subset l\subset k$ の有限体拡大にわたり
$$A=\bigcup_{[l:k^p]<\infty}l[\![x]\!]\subset k[\![x]\!]=R$$
と置く。$A$ は Noether 正則局所環であるが G 環でなく、従って準優秀でも優秀でもない。
二つの有限係数体の合成体も有限なので $A$ は環である。各 $c\in k$ は $c^p\in k^p$ を満たすため $k\subset A$。非零 $f\in A$ は $x^n u$ と書ける。$u$ とその逆級数の係数は同じ有限体 $l$ 内にあるので $u$ は $A$ の単元である。
非零イデアルの元の $x$ 付値は非負整数である。その最小値 $n$ の元から単元を除けば $x^n$ を得、全イデアルは $x^nA$ となる。従って $A$ は局所 PID、極大イデアルは $(x)$、素イデアルは $0,(x)$、次元と埋込次元はともに $1$ である。ゆえに Noether 正則局所環、実際には DVR である。有限係数の多項式はすべて $A$ に入り、$x^n$ で割っても係数体は変わらないので $A/x^nA=k[x]/(x^n)$。全段階を合わせて $\widehat A=R$ を得る。
$K=\operatorname{Frac}A$、$F=k((x))$ と置く。$K\cap R=A$ である。$g/h\in R$ に対して $h=x^n u$、$u^{-1}\in A$ と書けば、非負付値の条件から $g/x^n\in A$ となるからである。
帰納的に $b_n\in k\setminus k^p(b_0,\ldots,b_{n-1})$ を選び、$f=\sum b_nx^n\in R$ とする。係数体の次数は各段階で真に増えるので有限にはならず、$f\notin A$。先の交叉式により $f\notin K$ でもある。一方 $f^p\in k^p[\![x]\!]\subset A$ である。$a=f^p$、$L=K(f)$ は次数 $p$ の有限純非分離拡大となる。
極大点 $(x)$ での完成写像 $A\to\widehat A=R$ の、生成点 $(0)$ 上のファイバーは $R\otimes_AK=F$ である。その有限体拡大 $L/K$ による基底変換は
$$F\otimes_K L=F[T]/(T^p-a)=F[T]/((T-f)^p).$$
これは $U=T-f$ と置けば $F[U]/(U^p)$ である。唯一の素イデアルは最大イデアル $(U)$、次元は0だが、$p\ge2$ より $(U)/(U^2)$ の $F$ 次元は1なので正則でない。形式ファイバーが体であることだけでは幾何学的正則性は保証されない。G 条件が失敗するので $A$ は準優秀でも優秀でもない。$\square$
上の例の無限 $p$ 次数を、選んだ具体的な体で確認する。$k=\mathbb F_p(t_0,t_1,\ldots)$ では $k^p=\mathbb F_p(t_0^p,t_1^p,\ldots)$ である。有限個の $t_i$ の指数を $0,\ldots,p-1$ に制限した単項式は $k^p$ 上独立である。実際、有限な有理関数係数の関係を共通分母で払うと、$t_i^p$ の多項式係数の関係になる。各項の指数を $p$ で割った余りが異なるので、代数的独立な変数の多項式として各係数が零となる。従って有限個の変数を加えるごとに次数は少なくとも $p$ 倍増え、全体の $p$ 次数は無限である。
また $f\notin K$、$f^p=a\in K$ のとき $K[T]$ の $T^p-a$ が既約であることも説明できる。最小既約因子は $K(f)$ 上では $T-f$ の冪になる。導関数が非零なら既約性から分離的であり、根が一つしかないので次数は一となり $f\in K$ となって矛盾する。導関数が零なら全正指数は $p$ の倍数であり、次数は高々 $p$ なのでちょうど $p$ となる。従って $L/K$ の次数は $p$ である。基底変更後の $T-f$ の像は次数が $p$ 未満なので零でなく、しかしその $p$ 乗は零となる。
この例では全素点の局所環が正則で、正則点集合は全スペクトルである。従ってJ-1を満たす。しかし準優秀ではない。正則性とJ-1だけでは準優秀を結論できず、この例で破れる必要条件はG条件である。J-2の成立・不成立はここでは判定しない。特に完成が正則なDVRであることと、その生成点の形式的ファイバーが有限純非分離拡大後にも正則であることを区別する必要がある。
Noether性を定義から落とせない
体 $k$ に対して、最終的に定数となる列の環
$$E=\{(a_i)_{i\ge1}:a_i\in k,\ a_i\text{ は十分大きい }i\text{ で一定}\}$$
を成分ごとに演算する。全素局所環は体 $k$ だが、$E$ は準優秀環ではない。
有限支持列のイデアルを $J$ とし、$i$ 番目だけ1の元を $e_i$ とする。$J$ が有限個で生成されるなら、生成元の支持の有限和集合の外では生成される元はすべて零である。しかしその外の $e_j$ も $J$ に属するので矛盾し、$E$ はNoetherでない。
素イデアル $P$ について、ある $e_i\notin P$ なら $e_i(1-e_i)=0$ より $1-e_i\in P$。各列 $a$ は $e_i$ 倍では定数 $a_i$ と同じで、$a_i\ne0$ ならその非零定数は単元である。従って $P$ は $i$ 成分の評価の核である。全 $e_i$ が $P$ に属するなら有限支持列はすべて $P$ に属し、$E/J=k$ から $P=J$ となる。
前者の局所化では $e_i$ が単元で冪等だから1となり、全元が $i$ 成分に同定される。後者では列 $a$ と最終値との差が有限支持である。その支持集合を $F$ とすると $1-\sum_{i\in F}e_i\notin J$ が差を殺すので、局所化後は最終値に等しい。いずれの局所環も $k$ である。この計算は局所的な正則性を示すが、環全体のNoether性を示さない。準優秀環の定義の最初の条件を欠くため準優秀ではない。$\square$
証明した保存則と一般の定理
上で直接証明したのは、Noether性を前提とする任意局所化、基本開被覆での局所判定、有限直積による保存と成分判定である。J-2の局所化保存には有限関係式の分母払いを実行し、G条件には同じ局所環から同じ完成・ファイバーが得られることを使った。G条件の一般の商・有限型代数による保存や、全素点の検査を極大点だけへ短縮する定理は、これらの証明とは別の定理である。
体上有限型代数や完備Noether局所環が優秀であり従って準優秀であるという一般的な存在定理は、代表的な例を供給する。例えば体上有限型の非被約な代数も準優秀となり得るため、準優秀は被約の別名ではない。ただしこれらの存在定理は本記事の局所化・局所判定の証明からは得られない。その内容と仮定は 優秀環 と G環 の記事にある。
一つの環が準優秀であることを実際に示すには、G条件の全局所化・全形式的ファイバー・有限体拡大という量化と、J-2の全有限型代数という量化をともに満たす必要がある。正則点が一つ見つかったことや、閉点の形式的ファイバーが体であることだけで証明したと判断できない。逆に準優秀でないことを示す場合には、一つの必要条件の破れで十分であり、上のDVRの例はG条件の一つのファイバーでそれを検出した。
準優秀性から普遍鎖状性を結論することや、一般の正規化の有限性をこの局所化の証明だけから結論することはできない。それらには追加の判定と構成が必要である。優秀・準優秀・G・J-2の四つの語を、同じ性質の名称違いとして扱わないことが、保存定理を正しく使うために必要である。
関連項目
参考文献
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