絶対平坦環

(1)を仮定する。$I=(a)$ の包含 $I\hookrightarrow R$ を平坦加群 $R/I$ とテンソルすると、
$$ I\otimes_R R/I\longrightarrow R\otimes_R R/I $$
は単射になる。左辺と $I/I^2$ の同型は $x\otimes(r+I)\mapsto rx+I^2$、逆は $x+I^2\mapsto x\otimes(1+I)$ である。逆写像は $uv\otimes1=u\otimes v=0$（$u,v\in I$）により定まり、両合成は恒等になる。右辺は $R/I$ であり、包含から誘導される写像は零写像である。単射なので $I/I^2=0$、つまり $a\in(a^2)$ から $a=a^2b$ を得る。
(2)のもとで $e=ab$ と置けば
$$ e^2=a^2b^2=ab=e,\qquad a=ae,\qquad (a)=(e) $$
である。二つの冪等元 $e,f$ に対し
$$ g=e+f-ef=1-(1-e)(1-f) $$
も冪等元で、$(e,f)=(g)$ となる。実際、$eg=e$、$fg=f$ であり、逆の包含は $g\in(e,f)$ から従う。これを繰り返せば有限生成イデアルも一つの冪等元で生成され、(3)を得る。
逆に $(a)=(e)$、$e^2=e$ なら $e=ac$、$a=ed$ と書ける。よって $ea=a$ であり、$a=ea=a^2c$ となって(2)が従う。

方程式(2)は局所化しても成り立つ。$a=a^2b$ なら
$$ \frac as=\left(\frac as\right)^2(bs) $$
である。
非零局所環では冪等元は $0,1$ だけである。実際、$e(1-e)=0$ で、$e$ と $1-e$ の一方は単元なので、他方が零になる。そこで $x=x^2y\ne0$ なら冪等元 $xy$ は非零、従って $xy=1$ である。この議論を $R_{\mathfrak p}$ に適用すると、すべての非零元が可逆となり体になる。
逆に、すべての $R_{\mathfrak p}$ が体とする。任意の単射 $N'\hookrightarrow N$ と任意の加群 $M$ を取り、テンソル後の核を $K$ とする。局所化の完全性とテンソル積との交換により
$$ K_{\mathfrak p} =\ker\!\left( N'_{\mathfrak p}\otimes_{R_{\mathfrak p}}M_{\mathfrak p} \longrightarrow N_{\mathfrak p}\otimes_{R_{\mathfrak p}}M_{\mathfrak p} \right)=0. $$
体上では加群はベクトル空間であり、基底を取れば体の直和になる。これとのテンソル積は直和を取る操作なので単射を保ち、最後の等式が成り立つ。
局所化 の命題「零加群であることの局所判定」は任意の加群に適用できる。これを $K$ に適用すると $K=0$ となり、$M$ は平坦である。局所化の完全性とテンソル交換は同記事の命題「局所化の完全性」「局所化とテンソル積」を使い、有限生成性は仮定していない。

$a=a^2b$ を繰り返すと $a=a^nb^{n-1}$ となる。したがって $a$ が冪零なら $a=0$ であり、$R$ は被約である。
方程式(2)は商環でも成り立つ。素イデアル $\mathfrak p$ による商は整域なので、そこで $0\ne a=a^2b$ の $a$ を消去すれば $ab=1$ となる。よって $R/\mathfrak p$ は体であり、$\mathfrak p$ は極大である。
逆に(5)を仮定する。冪零根基 の命題「局所化と冪零根基」により、被約な環の局所化 $R_{\mathfrak p}$ は被約である。ここで分母集合は $R\setminus\mathfrak p$ である。
局所化 の定理「素イデアルの対応」により、$R_{\mathfrak p}$ の素イデアルは $R$ の $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルに対応する。すべての素が極大なので、これは $\mathfrak p$ 自身だけである。可換環 の定理「冪零根基は素イデアルの共通部分」をこの被約な局所環に適用すると、唯一の素イデアル $\mathfrak pR_{\mathfrak p}$ は零である。局所環の非単元は極大イデアルに属するから、全非零元は単元となり体を得る。

$a\in I$ に対し $a=a^2b$ は $a\in I^2$ を与えるので、$I\subseteq I^2$ である。逆包含は常に成り立つ。
有限生成ならthm-absolutely-flat-equivalencesより $I=eR$。$r=er+(1-e)r$ であり、二つの部分加群の共通部分は $e$ を掛けると一方ではそのまま、他方では零になるので零である。したがって直和分解を得る。自由加群 $R$ の直和因子は射影で、$R/I\cong(1-e)R$ も同様である。

絶対平坦なら、自由分解を任意の $N$ とテンソルしても完全性が保たれるため、正次数のホモロジーである Tor は消える。
逆向きには、任意のイデアル $I$ に対する
$$ \operatorname{Tor}_1^R(R/I,R/I)\cong I/I^2 $$
を用いる。これを見るには、自由加群 $F$ から $I$ への全射を取り、$R/I$ の自由分解の最初を $F\to R\to R/I$ とする。$R/I$ とテンソルすると $F/IF\to R/I$ は零写像になり、$K=\ker(F\to I)$ とおき、次の自由加群から $K$ への全射を取れば、次の微分の像は $(K+IF)/IF$ である。したがって一次ホモロジーは $F/(K+IF)$。$F/K\cong I$ と $IF$ の像が $I^2$ であることから、これは $I/I^2$ になる。
$I=(a)$ に適用すれば、上の Tor の消滅から $(a)=(a^2)$、すなわち $a=a^2b$ を得る。thm-absolutely-flat-equivalencesにより $R$ は絶対平坦である。

まず、有限生成部分加群 $N\subseteq R^m$ が直和因子であることを $m$ に関する帰納法で示す。$m=0$ は自明。第一座標への射影の像は有限生成イデアルだから $(e)$（$e^2=e$）と書ける。第一座標が $e$ の $w\in N$ を取り、$w$ を $ew$ に替えれば、なお第一座標は $e$ で $ew=w$ となる。
第一座標射 $N\to eR$ は $r\mapsto rw$（$r\in eR$）で分裂する。よって
$$ N=Rw\oplus K,\qquad K=N\cap(0\oplus R^{m-1}). $$
$K$ は有限生成加群の直和因子なので有限生成である。帰納法により、$K\subseteq R^{m-1}$ には $K$ 上恒等である $R$-線形写像 $q:R^{m-1}\to K$ がある。$w=(e,w')$ と書き、
$$ P(x,y)=exw+(0,q(y-exw'))\qquad(x\in R,\ y\in R^{m-1}) $$
と定める。像は $N$ に入る。$(x,y)\in N$ なら $x\in eR$ で $ex=x$、また $(0,y-xw')\in K$ だから $P(x,y)=(x,y)$。従って $P$ は $R^m$ から $N$ への線形射影であり、$N$ は直和因子である。$e=0$ の場合は $w=0$ とでき、同じ式が働く。
$M$ が有限表示なら、完全列 $R^r\to R^m\to M\to0$ があり、核 $N$ は有限個の元で生成される。上の結果より $R^m=N\oplus\ker P$ で $M\cong\ker P$。自由加群の直和因子なので射影であり、$R^m$ の射影像だから有限生成でもある。零環と零加群もこの議論に含まれる。$\square$

$(a)=(e)$ を満たす冪等元を選べば $D(a)=D(e)$ である。$e(1-e)=0$、$e+(1-e)=1$ より、各素イデアルは $e,1-e$ のちょうど一方を含む。従って
$$ D(e)=V(1-e),\qquad \operatorname{Spec}R=D(e)\amalg D(1-e) $$
となり、$D(e)$ は開かつ閉である。
異なる素イデアル $\mathfrak p,\mathfrak q$ は極大なので、$a\in\mathfrak p\setminus\mathfrak q$ を選べる。$(a)=(e)$ とすれば $D(1-e)$ は $\mathfrak p$ の近傍、$D(e)$ は $\mathfrak q$ の近傍であり、両者は交わらない。よって Hausdorff である。
任意の可換環の素スペクトルは、素スペクトル の命題「素スペクトルの準コンパクト性」により、すべての開被覆が有限部分被覆をもつ。したがって上で示した Hausdorff 性と合わせてコンパクト Hausdorff 空間になる。零環の場合は空空間で、開閉基底と点の分離条件は空虚に成り立つ。