双対化層

$\omega'$ が双対化層なので $\Phi'_{\omega}\colon\operatorname{Hom}(\omega,\omega')\to H^n(X,\omega)^\vee$ は全単射であり、$t\in H^n(X,\omega)^\vee$ に対応する $\varphi$、すなわち $t'\circ H^n(\varphi)=t$ となる $\varphi$ がただ 1 つある。同様に $t\circ H^n(\psi)=t'$ となる $\psi\colon\omega'\to\omega$ がただ 1 つある。すると $t\circ H^n(\psi\circ\varphi)=t'\circ H^n(\varphi)=t=t\circ H^n(\mathrm{id}_\omega)$ であり、$\Phi_{\omega}$ は単射なので $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}_\omega$ である。同じく $\varphi\circ\psi=\mathrm{id}_{\omega'}$ であり、$\varphi$ は同型である。$\square$

$n=0$ なら $P=\operatorname{Spec}k$ で、連接層は有限次元 $k$ 線形空間 $F$、$H^0=\mathrm{id}$、$\omega_P=k$ であり、$\Phi_F\colon\operatorname{Hom}_k(F,k)\to F^\vee$ は恒等写像である（$t$ の選び方は $k^\times$ 倍で変わるだけ）。以下 $n\ge1$ とする。
直和の場合。$\mathcal{F}=\mathcal{O}(q)$ なら $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}(q),\omega_P)=H^0(P,\mathcal{O}(-q-n-1))$ であり、切断 $a$ が定める射 $\mathcal{O}(q)\to\omega_P$ が誘導する $H^n(a)$ は、$a$ との積 $H^n(\mathcal{O}(q))\to H^n(\mathcal{O}(-n-1))$ である。したがって $\Phi_{\mathcal{O}(q)}(a)=t(a\cdot-)$ であり、上の対が完全なので $\Phi_{\mathcal{O}(q)}$ は同型である。$\Phi$ は有限直和と両立するので、有限個の $\mathcal{O}(q_j)$ の直和 $\mathcal{E}$ についても $\Phi_{\mathcal{E}}$ は同型である。
一般の連接層。連接層 $\mathcal{F}$ は有限個の $\mathcal{O}(q_j)$ の直和 $\mathcal{E}_0$ の商である（Har77 II 系 5.18、p. 121）。核 $\mathcal{K}$ も連接なので、同様に $\mathcal{E}_1\to\mathcal{K}$ を全射にとると、完全列 $\mathcal{E}_1\to\mathcal{E}_0\to\mathcal{F}\to0$ ができる。$\dim P=n$ なので Grothendieckの消滅定理 により $H^{n+1}$ は $0$ であり、短完全列 $0\to\mathcal{K}\to\mathcal{E}_0\to\mathcal{F}\to0$、$0\to\mathcal{K}'\to\mathcal{E}_1\to\mathcal{K}\to0$ の長完全列から $H^n(\mathcal{E}_0)\to H^n(\mathcal{F})\to0$、$H^n(\mathcal{E}_1)\to H^n(\mathcal{K})\to0$ が完全である。よって
$$ H^n(\mathcal{E}_1)\to H^n(\mathcal{E}_0)\to H^n(\mathcal{F})\to0 $$
は完全であり、双対をとった $0\to H^n(\mathcal{F})^\vee\to H^n(\mathcal{E}_0)^\vee\to H^n(\mathcal{E}_1)^\vee$ も完全である。一方 $\operatorname{Hom}(-,\omega_P)$ は左完全なので $0\to\operatorname{Hom}(\mathcal{F},\omega_P)\to\operatorname{Hom}(\mathcal{E}_0,\omega_P)\to\operatorname{Hom}(\mathcal{E}_1,\omega_P)$ も完全である。$\Phi$ の自然性により、この 2 つの完全列は $\Phi_{\mathcal{F}},\Phi_{\mathcal{E}_0},\Phi_{\mathcal{E}_1}$ を縦の射とする可換図式をなす。$\Phi_{\mathcal{E}_0}$、$\Phi_{\mathcal{E}_1}$ が同型なので、核どうしの射 $\Phi_{\mathcal{F}}$ も同型である。$\square$

引用する事実は 2 つである。(A) $P$ 上の連接層 $\mathcal{G}$ と $i\ge0$ について、自然な同型 $\operatorname{Ext}^i_P(\mathcal{G},\omega_P)\cong H^{N-i}(P,\mathcal{G})^\vee$ がある（Har77 III 定理 7.1 (c)、p. 240）。(B) $P$ 上の連接層 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ と固定した $i$ について、$q\gg0$ なら $\operatorname{Ext}^i_P(\mathcal{F},\mathcal{G}(q))\cong\Gamma(P,\mathcal{E}xt^i_P(\mathcal{F},\mathcal{G})(q))$ である（同 III 命題 6.9、p. 236）。

1. $\mathcal{E}^i:=\mathcal{E}xt^i_P(\mathcal{O}_X,\omega_P)$ は連接である（Ext層 の定理「Ext 層の茎」）。$q\gg0$ なら $\mathcal{E}^i(q)$ は大域切断で生成され（Har77 II 定理 5.17、p. 121）、(B) と Ext層 の系「局所自由層による Ext」により
   $$ \Gamma(P,\mathcal{E}^i(q))\cong\operatorname{Ext}^i_P(\mathcal{O}_X,\omega_P(q))\cong\operatorname{Ext}^i_P(\mathcal{O}_X(-q),\omega_P)\cong H^{N-i}(P,\mathcal{O}_X(-q))^\vee $$
   である（最後は (A)）。右辺は $H^{N-i}(X,\mathcal{O}_X(-q))^\vee$ に等しく（閉部分スキームへの順像はコホモロジーを変えない。Grothendieckの消滅定理 の補題「零延長と閉集合への順像」）、$i< r$ なら $N-i>n=\dim X$ なので Grothendieckの消滅定理 により $0$ である。大域切断で生成される層の大域切断が $0$ なので $\mathcal{E}^i(q)=0$、したがって $\mathcal{E}^i=0$ である。
2. 要点：$\omega_P$ の入射分解 $\mathcal{I}^\bullet$ から作る $\mathcal{J}^\bullet:=\mathcal{H}om_P(\mathcal{O}_X,\mathcal{I}^\bullet)$ は $X$ 上の入射対象の複体で、1 により $r$ 次より下で分裂する。
   詳細

   $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ から $\mathcal{I}^p$ への $\mathcal{O}_P$ 線形な射は、$\mathcal{I}$ で消される部分層 $\mathcal{J}^p$ に値をとるので、$\operatorname{Hom}_P(\mathcal{F},\mathcal{I}^p)=\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\mathcal{J}^p)$ である。閉埋め込みの順像は完全なので $\operatorname{Hom}_X(-,\mathcal{J}^p)$ は完全であり、$\mathcal{J}^p$ は $\mathrm{Mod}(\mathcal{O}_X)$ の入射対象である。定義から $\operatorname{Ext}^i_P(\mathcal{F},\omega_P)=h^i(\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\mathcal{J}^\bullet))$、$h^i(\mathcal{J}^\bullet)=\mathcal{E}^i$ である。

   1 により $\mathcal{J}^\bullet$ は $r$ 次より下で完全である。$r\ge1$ なら $\mathcal{J}^0\to\mathcal{J}^1$ は単射で $\mathcal{J}^0$ は入射的なので分裂し、$\mathcal{J}^1=\mathcal{J}^0\oplus\mathcal{C}^1$ で $\mathcal{C}^1$ も入射的であり、$r\ge2$ なら $\mathcal{C}^1\to\mathcal{J}^2$ は単射である。これを $r$ 次まで繰り返すと、$\mathcal{J}^\bullet$ は可縮な 2 項複体の有限個の直和と、$r$ 次より下が $0$ の入射対象の複体 $\mathcal{K}^\bullet$ の直和に分かれ、$\omega^\circ_X=h^r(\mathcal{J}^\bullet)=\ker(\mathcal{K}^r\to\mathcal{K}^{r+1})$ である（$r=0$ なら $\mathcal{K}^\bullet=\mathcal{J}^\bullet$）。$\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},-)$ を当てても可縮な部分は可縮なので、$\operatorname{Ext}^r_P(\mathcal{F},\omega_P)=h^r(\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\mathcal{K}^\bullet))=\ker\bigl(\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\mathcal{K}^r)\to\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\mathcal{K}^{r+1})\bigr)=\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\omega^\circ_X)$ である。

3. $\omega^\circ_X$ は連接な $\mathcal{O}_P$ 加群で $\mathcal{I}$ に消されるので連接な $\mathcal{O}_X$ 加群である。連接な $\mathcal{F}$ について、2 と (A) と順像の不変性から、$\mathcal{F}$ について自然な同型 $\Psi_{\mathcal{F}}\colon\operatorname{Hom}_X(\mathcal{F},\omega^\circ_X)\cong H^{N-r}(P,\mathcal{F})^\vee=H^n(X,\mathcal{F})^\vee$ を得る。$t:=\Psi_{\omega^\circ_X}(\mathrm{id})$ とおくと、射 $a\colon\mathcal{F}\to\omega^\circ_X$ について自然性から $\Psi_{\mathcal{F}}(a)=\Psi_{\mathcal{F}}(\mathrm{id}\circ a)=\Psi_{\omega^\circ_X}(\mathrm{id})\circ H^n(a)=t\circ H^n(a)=\Phi_{\mathcal{F}}(a)$ である。よって $\Phi_{\mathcal{F}}$ は同型であり、$(\omega^\circ_X,t)$ は双対化層である。$\square$

要点：$U$ の上で Koszul 複体が $\mathcal{O}_X$ の自由分解を与え、その双対の最高次の余核が $\omega_P/\mathcal{I}\omega_P$ になる。生成元の取り替えで現れる行列式が $\det(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ の取り替えと打ち消し合う。

$X$ は $0$ 次元のアフィンスキームなので、連接層は有限生成 $A$ 加群 $M$ で、$H^0(X,\widetilde{M})=M$ である。$\Phi_M\colon\operatorname{Hom}_A(M,A^\vee)\to\operatorname{Hom}_k(M,k)$ は $a\mapsto(m\mapsto a(m)(1))$ であり、逆写像は $\psi\mapsto(m\mapsto(b\mapsto\psi(bm)))$ である。実際、$a(m)(b)=(ba(m))(1)=a(bm)(1)$ なので両者は互いに逆であり、$m\mapsto(b\mapsto\psi(bm))$ が $A$ 線形であることも $(a'\cdot\varphi)(b)=\varphi(a'b)$ から確かめられる。$\square$