Lorentz多項式

前提知識: 斉次多項式, 2次形式, 対数凹性, マトロイド

Lorentz 多項式（Lorentzian polynomial）とは、非負の係数をもつ斉次多項式で、2 階まで微分を残した偏導関数の Hesse 行列がどれも正の固有値を高々 1 個しかもたず（Lorentz 計量と同じ符号 $(+,-,\dots,-)$ の型）、さらに台（現れる単項式の指数の集合）が M 凸とよばれる組合せ的な条件をみたすものである。Brändén と Huh が導入した。
1 変数の多項式の係数が対数凹であることは、実根だけをもつ多項式で典型的に現れる（対数凹性 の定理「Newton の不等式」）。Lorentz 多項式は、この現象の多変数への広い一般化である。2 変数の場合には、Lorentz 多項式であることは係数の列が超対数凹で内部に零をもたないことと同値になる。また、マトロイドの基を数える多項式はいつも Lorentz 多項式であり、逆に、各変数について 1 次以下の Lorentz 多項式の台はマトロイドの基の全体になる。これらを使うと、マトロイドの独立集合の個数についての Mason の予想（最も強い形）が導かれる。
この記事では、定義と基本的な性質、2 変数の場合の特徴づけ、マトロイドとの対応を証明し、Mason の予想への応用を述べる。

定義

$n\ge1$、$d\ge0$ を整数とする。$\mathbb{N}^n$ の元 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ について $|\alpha|:=\alpha_1+\dots+\alpha_n$、$\alpha!:=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$、$w^\alpha:=w_1^{\alpha_1}\cdots w_n^{\alpha_n}$、$\partial^\alpha:=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$（$\partial_i=\partial/\partial w_i$）と書き、$e_i$ を第 $i$ 単位ベクトルとする。$\Delta^d_n:=\{\alpha\in\mathbb{N}^n\mid|\alpha|=d\}$ とおく。$d$ 次の斉次多項式 $f\in\mathbb{R}[w_1,\dots,w_n]$ を
$$ f=\sum_{\alpha\in\Delta^d_n}\frac{c_\alpha}{\alpha!}w^\alpha $$
と書き、$c_\alpha$ を $f$ の 正規化した係数 という。$\operatorname{supp}f:=\{\alpha\mid c_\alpha\ne0\}$ を $f$ の 台 という。$f$ の Hesse 行列を $H_f:=(\partial_i\partial_jf)_{i,j}$ と書く。$f$ が 2 次なら $H_f$ は定数の実対称行列で、$v^{\top}H_fv=2f(v)$ である。

$J\subset\Delta^d_n$ が各座標 $0$ か $1$ のベクトルからなるとき、ベクトル $\alpha$ を集合 $\{i\mid\alpha_i=1\}$ と同一視すると、交換性は「$A,B\in J$、$i\in A\setminus B$ なら、ある $j\in B\setminus A$ について $(A\setminus\{i\})\cup\{j\}\in J$」となる。これは マトロイド の命題「基の交換」の (B2) そのものである。

Brändén–Huh は、係数がすべて正で、各 $\partial^\alpha f$（$\alpha\in\Delta^{d-2}_n$）の Hesse 行列が正則でちょうど 1 個の正の固有値をもつ多項式を 狭義の Lorentz 多項式（strictly Lorentzian polynomial）とよび、その極限を Lorentz 多項式と定義した（BH20 Definition 2.1、p. 7）。そのうえで、極限全体が def-lp-lorentzian の多項式全体に一致することを証明している（同 Theorem 2.25 とその後の注意、p. 22。$d=2$ は同 §1、p. 2）。この記事ではこの特徴づけを定義として用い、一致は証明しない。斉次多項式では、Lorentz 多項式であることは Gurvits の強対数凹性や Anari–Liu–Oveis Gharan–Vinzant の完全対数凹性とも同値である（同 Theorem 2.30、pp. 23–24。この記事では証明しない）。

固有値と偏導関数の計算

定義の条件を扱うための 2 つの補題を示す。

基本的な性質

3 は、$\alpha+e_i+e_j=:\beta$ と書けば $c_\beta^2\ge c_{\beta+e_i-e_j}\,c_{\beta-e_i+e_j}$ という形になり、BH20 Proposition 4.4（p. 44）と同じ主張である。凸体の混合体積についての Alexandrov–Fenchel の不等式の類似にあたる（同）。
Lorentz 多項式の族はさらに次の操作で閉じている。どれもこの記事では証明しない。

• 非負の線形変数変換． 成分が $0$ 以上の $n\times m$ 行列 $A$ について $f(Av)$ は Lorentz 多項式である（BH20 Theorem 2.10、p. 12）。とくに変数を同一視する（$w_1=w_2$ とおく）、$0$ を代入する、非負の方向に方向微分する（同 Corollary 2.11、p. 13）といった操作で保たれる。
• 積． Lorentz 多項式どうしの積は Lorentz 多項式である（同 Corollary 2.32 の証明、p. 24）。
• 閉じていること． 係数の空間で Lorentz 多項式の極限は Lorentz 多項式である（同 Theorem 2.25、p. 22）。
  また、$0$ でない $d\ge2$ 次の Lorentz 多項式 $f$ の Hesse 行列 $H_f(w)$ は、すべての成分が正の点 $w$ でちょうど 1 個の正の固有値をもつ（同 Theorem 2.16、p. 16。この記事では証明しない）。これは射影多様体の Hodge–Riemann の関係の類似とみなされている（同 §2.2、p. 16。Hodge–Riemann双線形関係）。

2 変数の場合

2 変数では、Lorentz 多項式は係数の列だけで判定できる。

非負の係数で実根だけをもつ多項式の係数は超対数凹で内部に零をもたない（対数凹性 の系「非負係数で実根だけをもつ多項式」）。したがって 2 変数では、$a_d>0$ で $f(x,1)$ が実根だけをもてば $f$ は Lorentz 多項式である。例の 3 により、$8< \theta\le9$ の $f_\theta$ は Lorentz 多項式だが $f_\theta(x,1)$ は実根だけをもたず、逆は成り立たない。Brändén–Huh は、多変数で実根性にあたる 安定多項式（上半平面の直積で $0$ にならない多項式）のうち非負係数の斉次なものがすべて Lorentz 多項式であることを示し（BH20 Proposition 2.2、p. 7。この記事では証明しない）、この $f_\theta$ を、Lorentz 多項式だが安定でない例として挙げている（同 Example 2.3、p. 8）。

マトロイドと Lorentz 多項式

$E=\{1,\dots,n\}$ 上のマトロイド $M$ の基の全体を $\mathcal{B}(M)$、階数を $r$ とする（マトロイド）。各変数について 1 次以下の多項式を 多重アフィン という。

BH20 Theorem 3.10（p. 31）は、空でない $J\subset\mathbb{N}^n$ について、$J$ が M 凸であることと $\sum_{\alpha\in J}w^\alpha/\alpha!$ が Lorentz 多項式であることが同値であり、$J\subset\{0,1\}^n$ ならさらにマトロイドの基の全体であることと同値であることを示している。以下では多重アフィンの場合を、階数 2 の場合に帰着して証明する。

応用：Mason の予想

$n$ 元集合上のマトロイド $M$ の $k$ 元の独立集合の個数を $I_k(M)$ とする。Mason は 1972 年に、$(I_k)$ の対数凹性を強さの異なる 3 つの形で予想した（BH20 Conjecture 4.13、p. 49）。最も強い形は次の不等式であり、Brändén–Huh と Anari–Liu–Oveis Gharan–Vinzant が独立に証明した（同 p. 5 の脚注 3、p. 50 の脚注 16）。

Heron–Rota–Welsh予想 は特性多項式の係数（第 1 種 Whitney 数）の対数凹性で、Adiprasito–Huh–Katz がマトロイドの Chow 環の Hodge–Riemann の関係から証明した。Lorentz 多項式は、その関係の次数 1 の部分を、環を使わず多項式の性質として取り出したものにあたる（Heron–Rota–Welsh予想 の主定理の証明の後の注意）。

反例：条件を外すと成り立たないこと

1 行目と 2 行目は、thm-lp-bivariate の 2 つの条件（超対数凹であること、内部に零をもたないこと）にそれぞれ対応している。

歴史と位置づけ

Lorentz 多項式は Brändén と Huh が 2019 年の前刷りで導入した（BH20、2020 年出版）。名前は、2 次の場合の条件が Lorentz 計量と同じ符号 $(+,-,\dots,-)$ であることに由来する（同 §1、p. 2）。同じ時期に Anari–Liu–Oveis Gharan–Vinzant は完全対数凹多項式を研究し、マトロイドの基の数を数える近似アルゴリズムに応用した（同 p. 5 の脚注 3）。Lorentz 多項式の例には、マトロイドの基の母関数のほか、凸体の体積多項式（同 Theorem 4.1、p. 43）、射影多様体の nef 因子の体積多項式（同 Theorem 4.6、p. 45）がある。Fano マトロイドの基の全体を台とする安定多項式は存在しないが、それを台とする Lorentz 多項式は存在する（同 §1、p. 3）。

関連項目

• 前提: 対数凹性, マトロイド, 2次形式
• 比較: 基本対称式の平均の不等式, Hesse行列
• 応用: Heron–Rota–Welsh予想
• 発展: Hodge–Riemann双線形関係, 組合せ論