境界付き多様体

まず、$a\in U\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ なら $F(a)\in\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ であることを示す。$F(a)\in\partial\mathbb{H}^n$ と仮定する。$F^{-1}$ は $C^\infty$ 級なので、$F(a)$ の $\mathbb{R}^n$ における開近傍 $W$ と $C^\infty$ 級写像 $G\colon W\to\mathbb{R}^n$ で、$W\cap V$ の上で $G=F^{-1}$ となるものがある。$U\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合なので、その上で $F$ は通常の意味で $C^\infty$ 級であり、$a$ を中心とする開球 $B\subset U\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ を $F(B)\subset W$ となるようにとれる。$B$ の上で $G\circ F=\mathrm{id}$ なので、連鎖律により $DG(F(a))\,DF(a)$ は単位行列であり、$DF(a)$ は正則である。逆関数定理により、$a$ の開近傍 $B'\subset B$ で $F(B')$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合となるものがある。$F(B')$ は $x^n$ 座標が $0$ の点 $F(a)$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合なので、$x^n<0$ の点も含む。ところが $F(B')\subset V\subset\mathbb{H}^n$ であり、これは矛盾である。

同じことを $F^{-1}$ に使うと、$b\in V\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ なら $F^{-1}(b)\in\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ である。したがって $F$ は $U\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ を $V\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ の上へ全単射に写し、補集合どうしの $U\cap\partial\mathbb{H}^n$ を $V\cap\partial\mathbb{H}^n$ の上へ写す。$\square$

$\varphi(p)$ を中心とする開球 $B\subset\varphi(U\cap V)\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ をとると、$F|_B\colon B\to\mathbb{R}^n$ は連続な単射なので $F(B)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$F(B)$ は $x^n$ 座標が $0$ の点 $\psi(p)$ を含むので $x^n<0$ の点も含むが、$F(B)\subset\mathbb{H}^n$ であり矛盾する。

1：$\operatorname{Int}M$ は座標近傍 $U$ ごとの $\varphi^{-1}(\operatorname{Int}\mathbb{H}^n)$ の和集合で、それぞれ $U$ の開集合、したがって $M$ の開集合である。$\partial M$ はその補集合である。

2：$\varphi(U)=O\cap\mathbb{H}^n$（$O$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合）と書くと、$\varphi$ は $U\cap\operatorname{Int}M$ を $O\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ の上へ同相に写し、これは $\mathbb{R}^n$ の開集合である。Hausdorff 性と第 2 可算性は部分空間に遺伝する。

3：$\varphi$ は $U\cap\partial M$ を $O\cap\partial\mathbb{H}^n$ の上へ同相に写し、$\pi(O\cap\partial\mathbb{H}^n)=\{u\in\mathbb{R}^{n-1}\mid(u,0)\in O\}$ は連続写像 $u\mapsto(u,0)$ による $O$ の逆像なので $\mathbb{R}^{n-1}$ の開集合である。$\pi$ はこの上で同相写像なので、$\pi\circ\varphi$ は $U\cap\partial M$ から $\mathbb{R}^{n-1}$ の開集合への同相写像である。これらの座標近傍の像は $\mathbb{R}^{n-1}$ の開集合なので、$\partial M$ のすべての点は内部の点であり $\partial(\partial M)=\emptyset$ である。$n=1$ では各点が 1 点の開集合をもつので $\partial M$ は離散である。

4：$F:=\psi\circ\varphi^{-1}$ を座標変換とする。2 の座標変換は $F$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\varphi(U\cap V)\cap\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ に制限したもので、通常の意味で $C^\infty$ 級である。3 の座標変換は $u\mapsto\pi\bigl(F(u,0)\bigr)$ であり（lem-mwb-invariance-smooth により $F(u,0)\in\partial\mathbb{H}^n$）、点 $(u_0,0)$ の近くで $F$ の $C^\infty$ 級の延長 $\widetilde F$ をとれば $u\mapsto\pi\bigl(\widetilde F(u,0)\bigr)$ と書けるので $C^\infty$ 級である。包含写像を座標で書くと、$\operatorname{Int}M$ では恒等写像、$\partial M$ では $u\mapsto(u,0)$ なので $C^\infty$ 級である。$\square$

$p$ のまわりの $N$ の局所座標 $(U;x)$ で $U\subset\{f<0\}$、$x(U)$ が開球 $B(c,r)$ となるものをとる。平行移動 $T(y):=y-c+(r+1)e_n$（$e_n$ は第 $n$ 基本ベクトル）と合成した $\varphi:=T\circ x$ は、$U$ から $\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ に含まれる開集合への同相写像である。

$M^\circ$ の点には、thm-mwb-regular-domain の証明の前半と同じく、$M^\circ$ に含まれる $\widetilde M$ の局所座標を平行移動して $\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ への座標近傍を作る。$p\in M\setminus M^\circ$ と上の $(W;x)$ については、$L(x^1,\dots,x^n):=(x^2,\dots,x^n,-x^1)$ とおいて $\varphi:=L\circ x$ とすると、$\varphi(M\cap W)=\varphi(W)\cap\mathbb{H}^n$ は $\mathbb{H}^n$ の開集合である。$x^1(p)<0$ なら開集合 $\{q\in W\mid x^1(q)<0\}$ が $M$ に含まれる $p$ の近傍になり $p\in M^\circ$ となるので、$x^1(p)=0$、すなわち $\varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^n$ である。座標変換が $C^\infty$ 級であることは thm-mwb-regular-domain の証明と同じである。$M^\circ$ の点は $\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ に、$M\setminus M^\circ$ の点は $\partial\mathbb{H}^n$ に写るので、thm-mwb-disjoint により主張の等式が成り立つ。$\square$

線形同型 $\sigma(x^1,\dots,x^m,y^1,\dots,y^k):=(x^1,\dots,x^{m-1},y^1,\dots,y^k,x^m)$ は $\mathbb{H}^m\times\mathbb{R}^k$ を $\mathbb{H}^{m+k}$ の上へ写す。$M$ の座標近傍 $(U,\varphi)$ と $N$ の局所座標 $(U',\psi)$ について、$\sigma\circ(\varphi\times\psi)$ は $U\times U'$ から $\mathbb{H}^{m+k}$ の開集合 $\sigma\bigl(\varphi(U)\times\psi(U')\bigr)$ への同相写像である。これらは $M\times N$ を覆い、座標変換は $\sigma\circ(F\times G)\circ\sigma^{-1}$（$F,G$ は $M,N$ の座標変換）なので $C^\infty$ 級である。Hausdorff 性と第 2 可算性は積に遺伝する。点 $(p,q)$ の像の最後の成分は $\varphi(p)$ の第 $m$ 成分なので、像が $\partial\mathbb{H}^{m+k}$ に入ることと $\varphi(p)\in\partial\mathbb{H}^m$ は同値であり、thm-mwb-disjoint から主張の等式が従う。$\square$

lem-mwb-invariance-smooth により $F$ は $\partial\mathbb{H}^n$ の点を $\partial\mathbb{H}^n$ に、$\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ の点を $\operatorname{Int}\mathbb{H}^n$ に写す。前者から、$a$ の近くのすべての $u\in\mathbb{R}^{n-1}$ で $F^n(u,0)=0$ なので、$u$ で偏微分して $\partial F^n/\partial x^j(a)=0$（$j< n$）である。後者から、小さい $t>0$ で $F^n(a+te_n)>0=F^n(a)$ なので $\partial F^n/\partial x^n(a)\ge0$ である。$F^{-1}$ の延長を $G$ とすると $G\circ F=\mathrm{id}$ が $a$ の近くの $\mathbb{H}^n$ の点で成り立ち、内側からの極限をとると $DG(F(a))\,DF(a)$ は単位行列なので、$DF(a)$ は正則である。$DF(a)$ の第 $n$ 行は $\bigl(0,\dots,0,\partial F^n/\partial x^n(a)\bigr)$ なので $\partial F^n/\partial x^n(a)\ne0$、よって正である。$\square$