沈め込み的射

1 は 商写像 の命題「連続な開全射と閉全射」である。
2：全射性は明らかである。$U\subset Z$ について $(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}U)$ が開集合なら、$f$ が沈め込み的なので $g^{-1}U$ は開集合であり、$g$ が沈め込み的なので $U$ は開集合である。
3：$g\circ f$ が全射なので $g$ は全射である。$g^{-1}(U)$ が開集合なら、$f$ の連続性から $f^{-1}(g^{-1}U)$ は開集合なので、$g\circ f$ が沈め込み的であることから $U$ は開集合である。
4：$f$ が沈め込み的とする。$W\subset V_i$ について $f^{-1}(W)$ が $f^{-1}(V_i)$ の開集合なら、$f^{-1}(V_i)$ は $X$ の開集合なので $f^{-1}(W)$ は $X$ の開集合であり、$W$ は $Y$ の、したがって $V_i$ の開集合である。全射性も制限で保たれる。逆に各制限が沈め込み的とする。全射性は明らかである。$U\subset Y$ について $f^{-1}(U)$ が開集合なら、$f^{-1}(U\cap V_i)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V_i)$ は $f^{-1}(V_i)$ の開集合なので、$U\cap V_i$ は $V_i$ の開集合、したがって $Y$ の開集合である。よって $U=\bigcup_i(U\cap V_i)$ は開集合である。$\square$

$A\setminus\mathfrak{p}$ の元の像は $\mathfrak{Q}$ に入らないので $B_{\mathfrak{Q}}$ の単元であり、$B_{\mathfrak{Q}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ 代数になる。$B_{\mathfrak{Q}}$ は平坦 $A$ 加群 $B$ の局所化なので平坦 $A$ 加群であり、$A_{\mathfrak{p}}$ 加群 $M$ について $M\otimes_{A_{\mathfrak{p}}}B_{\mathfrak{Q}}=M\otimes_AB_{\mathfrak{Q}}$ だから、平坦 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群でもある。$A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{Q}}$ は非零局所環の平坦な局所準同型なので忠実平坦であり、$\operatorname{Spec}B_{\mathfrak{Q}}\to\operatorname{Spec}A_{\mathfrak{p}}$ は全射である（忠実平坦 の命題「忠実平坦環写像と素イデアル」）。$\mathfrak{p}'A_{\mathfrak{p}}$ の上にある $B_{\mathfrak{Q}}$ の素イデアルを $B$ に引き戻したものを $\mathfrak{Q}'$ とすれば、$\mathfrak{Q}'\subset\mathfrak{Q}$ であり、$\varphi^{-1}(\mathfrak{Q}')=\mathfrak{p}'$ である。$\square$

$\bar A:=A/I$ とおくと $\bar A\to C$ は単射であり、$\bar{\mathfrak{p}}_0:=\mathfrak{p}_0/I$ は $\bar A$ の極小素イデアルである。局所化は完全なので $\bar A_{\bar{\mathfrak{p}}_0}\to C_{\bar{\mathfrak{p}}_0}$（$C$ を $\bar A\setminus\bar{\mathfrak{p}}_0$ の像で局所化したもの）は単射である。$\bar A_{\bar{\mathfrak{p}}_0}$ は $0$ でなく、その素イデアルは $\bar{\mathfrak{p}}_0$ の極小性から $\bar{\mathfrak{p}}_0\bar A_{\bar{\mathfrak{p}}_0}$ ただ 1 つである。よって $C_{\bar{\mathfrak{p}}_0}\neq0$ であり、その素イデアルを 1 つとると、$\bar A_{\bar{\mathfrak{p}}_0}$ への引き戻しは素イデアルなので $\bar{\mathfrak{p}}_0\bar A_{\bar{\mathfrak{p}}_0}$ である。これを $C$ に引き戻したものが求める $\mathfrak{R}$ である。$\square$

$f$ は全射である（忠実平坦 の命題「忠実平坦環写像と素イデアル」）。閉集合について示せば十分である。$F\subset\operatorname{Spec}A$ で $f^{-1}(F)$ が閉集合 $V(J)$（$J\subset B$ はイデアル）とする。$f$ の全射性から $F=f(V(J))$ である。$I:=\varphi^{-1}(J)$ とおき、$F=V(I)$ を示す。
$\mathfrak{Q}\supset J$ なら $\varphi^{-1}(\mathfrak{Q})\supset I$ なので $F\subset V(I)$ である。
$F$ は特殊化で閉じている。 $\mathfrak{q}\in F$、$\mathfrak{q}\subset\mathfrak{q}'$ とする。$f$ の全射性から $\mathfrak{q}'$ の上の素イデアル $\mathfrak{Q}'$ があり、lem-sub-going-down により $\mathfrak{q}$ の上の素イデアル $\mathfrak{Q}\subset\mathfrak{Q}'$ がある。$\mathfrak{Q}\in f^{-1}(F)=V(J)$ なので $J\subset\mathfrak{Q}\subset\mathfrak{Q}'$、すなわち $\mathfrak{Q}'\in V(J)$ であり、$\mathfrak{q}'=f(\mathfrak{Q}')\in F$ である。
$V(I)\subset F$。 $\mathfrak{p}\supset I$ とする。極小素イデアル の定理「極小素イデアルの存在」により、$I\subset\mathfrak{p}_0\subset\mathfrak{p}$ となる $I$ 上の極小素イデアル $\mathfrak{p}_0$ がある。合成 $A\to B\to B/J$ の核は $I$ なので、lem-sub-minimal により $B/J$ の素イデアル、すなわち $J$ を含む $B$ の素イデアル $\mathfrak{Q}_0$ で $\varphi^{-1}(\mathfrak{Q}_0)=\mathfrak{p}_0$ となるものがある。よって $\mathfrak{p}_0\in f(V(J))=F$ であり、特殊化で閉じていることから $\mathfrak{p}\in F$ である。
以上より $F=V(I)$ は閉集合である。$\square$

$Y'\to Y$ を任意の射とし、$f'\colon X':=X\times_YY'\to Y'$ が沈め込み的であることを示す（$Y'=Y$ とすれば $f$ 自身も含まれる）。$Y'$ は、$Y$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ の中に写るアフィン開集合 $V'=\operatorname{Spec}C$ で被覆される。prop-sub-basic の 4 により、各 $V'$ について $f'^{-1}(V')\to V'$ が沈め込み的であることを示せばよい。
$f$ は準コンパクトなので、$f^{-1}(V)$ は有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B_1,\dots,\operatorname{Spec}B_n$ で被覆される。ファイバー積の構成から $f'^{-1}(V')=f^{-1}(V)\times_VV'$ であり、これは開部分スキーム $\operatorname{Spec}B_i\times_VV'=\operatorname{Spec}(B_i\otimes_AC)$（底変換 の定理「アフィンスキームの底変換」）で被覆される。$B:=B_1\times\dots\times B_n$ とおくと $\operatorname{Spec}B=\coprod_i\operatorname{Spec}B_i$ であり、$\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)=\coprod_i\operatorname{Spec}(B_i\otimes_AC)\to f'^{-1}(V')$ は全射連続写像である。
$A\to B_i$ は平坦（平坦射 の命題「平坦性の局所性」）なので、有限直積 $B$ も平坦 $A$ 加群である。$\coprod_i\operatorname{Spec}B_i\to f^{-1}(V)\to V$ は全射なので、$\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ は全射であり、$A\to B$ は忠実平坦である（忠実平坦 の命題「忠実平坦環写像と素イデアル」）。その基底変更 $C\to B\otimes_AC$ も忠実平坦である（同じ記事の命題「任意の基底変更と合成による保存」）。thm-sub-ff により $\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)\to V'$ は沈め込み的であり、これは $\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)\to f'^{-1}(V')\to V'$ と分解するので、prop-sub-basic の 3 により $f'^{-1}(V')\to V'$ は沈め込み的である。$\square$

$x_1,x_2\in X$ が $f(x_1)=f(x_2)=y$ をみたすとする。$X\times_YX$ の点で $x_1,x_2$ に写るものは $\kappa(x_1)\otimes_{\kappa(y)}\kappa(x_2)$ の素イデアルに対応し（普遍同相写像 の定義のあとの注意）、体上の $0$ でないベクトル空間のテンソル積は $0$ でないので、そのような点 $z$ が存在する。$u(x_1)=u(p_1(z))=u(p_2(z))=u(x_2)$ だから、$u$ は $f$ のファイバーの上で一定である。$f$ は全射なので写像 $v$ で $u=v\circ f$ となるものがただ 1 つあり、$W\subset T$ が開集合なら $f^{-1}(v^{-1}W)=u^{-1}(W)$ が開集合なので、$f$ が沈め込み的であることから $v^{-1}(W)$ は開集合である。$\square$