固有多項式
概要
固有多項式（characteristic polynomial）とは、体 $K$ 上の $n$ 次正方行列 $A$ に対して $p_A(x)=\det(xI-A)$（$\det(A-xI)$ とする流儀もあり、$(-1)^n$ 倍だけ違う）で定まる、最高次の係数が $1$ の $n$ 次多項式であり、特性多項式ともいう。根がちょうど $A$ の固有値であり、$x^{n-k}$ の係数は $k$ 次の主小行列式の和に $(-1)^k$ を掛けたもので、とくに $x^{n-1}$ の係数は跡の符号を変えたもの、定数項は $(-1)^n\det A$ である。転置や相似で変わらず、$n$ 次正方行列 $A,B$ では $AB$ と $BA$ の固有多項式が一致する。最高次の係数が $1$ のどんな多項式も同伴行列の固有多項式になるが、固有多項式が同じでも行列が相似とは限らない。
2 次の正方行列 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ に対し、変数 $x$ を含む行列 $xI-A$ の行列式を計算すると
$$
\det(xI-A)=\det\begin{pmatrix}x-2&-1\\-1&x-2\end{pmatrix}=(x-2)^2-1=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
$$
となる。この多項式が $A$ の 固有多項式 である。$x$ の係数 $-4$ は対角成分の和 $2+2$ の符号を変えたもの、定数項 $3$ は行列式 $2\cdot2-1\cdot1$ であり、根 $1,3$ は $A$ の固有値である（たとえば $A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$）。もう 1 つの例として、$M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$、$N=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ では
$$
MN=\begin{pmatrix}2&3\\4&7\end{pmatrix}\ne NM=\begin{pmatrix}3&4\\4&6\end{pmatrix}
$$
だが、どちらの固有多項式も $x^2-9x+2$ である。積の順序を入れ替えると行列は変わるが、固有多項式は変わらない（thm-charpoly-ab-ba）。
固有多項式は、正方行列から作られる多項式で、固有値・跡・行列式をまとめて記録するものである。本記事では、固有多項式の定義と流儀の違い、すべての係数を主小行列式で表す公式（とくに $x^{n-1}$ の係数が跡の符号を変えたもの、定数項が $(-1)^n\det A$ であること）、転置行列・三角行列・区分三角行列の固有多項式、$AB$ と $BA$ の固有多項式の一致、任意の多項式を固有多項式にもつ行列（同伴行列）の構成を証明する。固有値が固有多項式の根であることと、固有多項式が相似(行列)で変わらないことは 固有値 の記事にあるので、そちらの結果を引用する。
定義
以下、$K$ は体とし、$K$ の元を成分とする $n$ 次正方行列の全体を $M_n(K)$、$n$ 次単位行列を $I_n$ または $I$ と書く（$n\ge1$）。$K[x]$ は $K$ 係数の多項式環である。
行列式は、成分が可換環 $K[x]$ の元であっても Leibniz の公式で定義され、積の公式などの基本性質は同じ証明で成り立つ（行列式 の記事の注意「可換環上の行列式」）。以下ではこの事実を断りなく使う。$p_T$ が基底の取り方によらないことは 固有値 の記事の命題「固有多項式の相似不変性」による。
$\det(xI_n-A)$ の代わりに $\det(A-xI_n)$ を固有多項式と呼ぶ流儀もある（たとえば Bee15 Section EE の Definition CP）。各行から $-1$ をくくり出すと
$$
\det(A-xI_n)=(-1)^n\det(xI_n-A)=(-1)^np_A(x)
$$
なので（行列式 の記事の定理「多重線形性と交代性」の 1）、2 つの流儀は $n$ が偶数なら一致し、奇数なら符号だけが違う。根と重複度はどちらの流儀でも同じである。本記事は最高次の係数が $1$ になる $\det(xI_n-A)$ を使い、記号 $p_A$ は 固有値 の記事と同じである。
係数を表すために、次の言葉を用意する。
$A=(a_{ij})\in M_n(K)$ と、$\{1,\dots,n\}$ の $k$ 個の元からなる部分集合 $S$（$1\le k\le n$）に対し、$A$ から行と列をともに $S$ に属する番号だけ残して得られる $k$ 次正方行列を $A_S$ と書き、$\det A_S$ を $A$ の $k$ 次の 主小行列式（principal minor）という。$k$ 次の主小行列式すべての和を
$$
E_k(A):=\sum_{|S|=k}\det A_S
$$
と書き、$E_0(A):=1$ とおく。
$E_1(A)=a_{11}+\cdots+a_{nn}=\operatorname{tr}A$（跡）、$E_n(A)=\det A$ である。
直感
固有値 $\lambda$ は $Av=\lambda v$ となる $v\ne0$ があるような数であり、これは $\lambda I-A$ が正則でないこと、すなわち $\det(\lambda I-A)=0$ と同値である（固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」）。$\lambda$ を変数 $x$ に置き換えた $\det(xI-A)$ は $x$ の $n$ 次多項式になり、固有値を探す問題は多項式の根を探す問題に変わる。これが固有多項式を考える理由である。
固有多項式は行列の「指紋」のようなもので、相似な行列（基底を取り替えただけの行列）では同じになる。しかし指紋が同じでも同じ人とは限らないように、固有多項式が同じでも相似とは限らない（ex-charpoly-not-similar）。$K$ が代数閉体なら $p_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)$ と分解し、係数は固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ の基本対称式（n次方程式の解と係数の関係）になる（rem-charpoly-roots）。跡が固有値の和、行列式が固有値の積であるのはこの特別な場合である。
例と反例
$B=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}$ の固有多項式は $x^3-6x^2+11x-14$ である。これは thm-charpoly-coefficients の公式で確かめられる。跡は $1+3+2=6$、2 次の主小行列式は
$$
\det\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}=3,\qquad\det\begin{pmatrix}1&0\\4&2\end{pmatrix}=2,\qquad\det\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}=6
$$
でその和は $11$、行列式は第 1 行で展開して $1\cdot(3\cdot2-1\cdot0)-2\cdot(0\cdot2-1\cdot4)=6+8=14$ である。よって $p_B(x)=x^3-6x^2+11x-14$ である。
$A$ が上三角行列または下三角行列なら、$xI-A$ も同じ形の三角行列なので、行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」の 1 により
$$
p_A(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn})
$$
である。同様に、正方行列 $B\in M_p(K)$、$D\in M_q(K)$ を対角に置いた区分上三角行列 $A=\begin{pmatrix}B&C\\O&D\end{pmatrix}$ では、$xI-A=\begin{pmatrix}xI_p-B&-C\\O&xI_q-D\end{pmatrix}$ に同命題の 2 を使って $p_A=p_Bp_D$ である。区分下三角行列でも同じである。
零行列 $O\in M_2(K)$ と $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ の固有多項式はどちらも $x^2$ である（三角行列なので ex-charpoly-triangular）。しかし $P^{-1}OP=O$ はどの正則行列 $P$ でも零行列なので、$O$ に相似な行列は $O$ だけであり、$N\ne O$ は $O$ に相似でない。この例は「固有多項式が等しい」を満たすが「相似である」を満たさないので、「固有多項式が等しければ相似である」という含意は成り立たない。相似であるかどうかの判定には、Jordan標準形や最小多項式(線形代数)のような、固有多項式より細かい情報が要る（$O$ の最小多項式は $x$、$N$ の最小多項式は $x^2$ である）。
$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ とすると
$$
AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
$$
である。thm-charpoly-ab-ba のとおり固有多項式はどちらも $x^2$ だが、ex-charpoly-not-similar により $AB=O$ と $BA$ は相似でない。$A$ か $B$ の一方が正則なら $BA=A^{-1}(AB)A$（$A$ が正則の場合）のように $AB$ と $BA$ は相似になるが、この例は「$A,B$ の少なくとも一方が正則である」を満たさない場合に「$AB$ と $BA$ が相似である」が成り立たないことを示す。
$K=\mathbb{R}$、$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$（$90^\circ$ の回転）とすると $p_J(x)=x^2+1$ であり、実数の根をもたない。したがって $J$ は実数の固有値をもたない。固有多項式は $n$ 次多項式だが、「$n$ 次正方行列は重複を込めて $n$ 個の固有値をもつ」という主張は、$p_A$ が $K$ 上で 1 次式の積に分解するという仮定（たとえば $K$ が代数閉体であること）なしには成り立たない。同じ $J$ を $\mathbb{C}$ 上の行列とみれば固有値 $\pm i$ をもつ。
性質
係数
$A\in M_n(K)$ について
$$
p_A(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kE_k(A)\,x^{n-k}=x^n-E_1(A)x^{n-1}+E_2(A)x^{n-2}-\cdots+(-1)^nE_n(A)
$$
である。とくに $p_A$ は最高次の係数が $1$ の $n$ 次多項式であり、$x^{n-1}$ の係数は $-\operatorname{tr}A$、定数項は $(-1)^n\det A$ である。
$A$ の第 $i$ 行を $r_i$、$I_n$ の第 $i$ 行（第 $i$ 成分だけが $1$ の行ベクトル）を $\varepsilon_i$ とすると、$xI_n-A$ の第 $i$ 行は $x\varepsilon_i+(-1)r_i$ である。行列式は各行について線形である（行列式 の記事の定理「多重線形性と交代性」の 1。係数が $K[x]$ の元でも同じ）ので、$n$ 個の行を順に 2 つの項に分けて展開すると、各行で $x\varepsilon_i$ と $-r_i$ のどちらを選ぶかの $2^n$ 通りの和になる。$-r_i$ を選ぶ行の番号の集合を $S$ とすると
$$
p_A(x)=\sum_{S\subset\{1,\dots,n\}}x^{n-|S|}(-1)^{|S|}\det N_S
$$
である。ここで $N_S$ は、$i\in S$ の行が $r_i$、$i\notin S$ の行が $\varepsilon_i$ である行列である。
$\det N_S=\det A_S$（$S=\emptyset$ なら $1$）を示せば、$|S|=k$ の項を集めて主張を得る。Leibniz の公式（行列式 の記事の定義「Leibnizの公式による定義」）$\det N_S=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_i(N_S)_{i\sigma(i)}$ で、$i\notin S$ の行 $\varepsilon_i$ の成分は第 $i$ 列だけが $1$ で他は $0$ なので、$0$ でない項では $i\notin S$ について $\sigma(i)=i$ である。このような $\sigma$ は $S$ の元を $S$ の元に移すので、$S$ の上の置換 $\sigma|_S$ と 1 対 1 に対応し、$\sigma$ と $\sigma|_S$ は同じ互換の積で書けるので符号も等しい。$i\notin S$ の因子はすべて $1$ なので
$$
\det N_S=\sum_{\tau}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{i\in S}a_{i\tau(i)}=\det A_S
$$
である（$\tau$ は $S$ の置換全体を動く。$S$ の元を小さい順に $1,\dots,k$ と番号づけ直せば $A_S$ の Leibniz の公式そのものである）。
$k=0$ の項は $x^n$、$k=1$ の項は $-\operatorname{tr}A\,x^{n-1}$、$k=n$ の項は $(-1)^n\det A$ である。$\square$
$x^{n-1}$ の係数と定数項については、固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」の 3 にも別の証明（Leibniz の公式で次数を数える）がある。Axl24 9.65（§9C、p. 364）は同じ 2 つの係数を線形変換の言葉で述べている。$n=2$ では $p_A(x)=x^2-(\operatorname{tr}A)x+\det A$、$n=3$ では
$$
p_A(x)=x^3-(\operatorname{tr}A)x^2+E_2(A)\,x-\det A
$$
であり、ex-charpoly-3x3 はこの形の計算である。
$A\in M_n(K)$ が正則行列であることと、$p_A(0)\ne0$ であることは同値である。すなわち $0$ が $A$ の固有値でないことと同値である。
$p_A(0)=(-1)^n\det A$（thm-charpoly-coefficients）なので、$p_A(0)\ne0$ は $\det A\ne0$ と同値であり、これは $A$ が正則であることと同値である（行列式 の記事の定理「正則性の判定」）。$0$ が固有値であることは $p_A(0)=0$ と同値である（固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」の 2）。$\square$
変形しても変わらないもの
$A\in M_n(K)$ とする。
- $p_{A^{\top}}=p_A$ である。
- 正則行列 $P\in M_n(K)$ について $p_{P^{-1}AP}=p_A$ である。
とくに $A$ と $A^{\top}$ は同じ固有値をもつ。ただし固有ベクトル（固有値）は一般に異なる。
$A\in M_{m,n}(K)$、$B\in M_{n,m}(K)$ とする。このとき $K[x]$ において
$$
x^n\,p_{AB}(x)=x^m\,p_{BA}(x)
$$
が成り立つ。とくに $m=n$ なら、$A,B$ が正則でなくても $p_{AB}=p_{BA}$ であり、$AB$ と $BA$ は同じ固有値（重複度も込めて）、同じ跡、同じ行列式をもつ。
$K[x]$ を成分とする $(m+n)$ 次正方行列
$$
P:=\begin{pmatrix}I_m&-A\\O&xI_n\end{pmatrix},\qquad Q:=\begin{pmatrix}xI_m&A\\B&I_n\end{pmatrix}
$$
を考える。区分けした行列の積（行列 の記事の命題「区分けした行列の積」）により
$$
PQ=\begin{pmatrix}xI_m-AB&O\\xB&xI_n\end{pmatrix},\qquad QP=\begin{pmatrix}xI_m&O\\B&xI_n-BA\end{pmatrix}
$$
である（たとえば $PQ$ の右上は $I_mA+(-A)I_n=O$、$QP$ の右上は $xI_m(-A)+A\,xI_n=O$）。区分三角行列の行列式（行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」の 2）により
$$
\det(PQ)=p_{AB}(x)\cdot x^n,\qquad\det(QP)=x^m\cdot p_{BA}(x)
$$
である。一方、積の行列式の公式（同記事の定理「積の行列式」）と $K[x]$ が可換であることから $\det(PQ)=\det P\det Q=\det Q\det P=\det(QP)$ なので、$x^np_{AB}(x)=x^mp_{BA}(x)$ である。
$m=n$ なら、$K[x]$ は整域なので両辺の $x^n$ を約して $p_{AB}=p_{BA}$ を得る。固有値は固有多項式の根として、跡と行列式は係数として（thm-charpoly-coefficients）一致する。$\square$
この証明は $x$ を多項式の変数のまま扱い、行列が正則かどうかで場合を分けない。$A$ が正則な場合には $BA=A^{-1}(AB)A$ で $AB$ と $BA$ は相似なので主張はすぐ従うが、一般の場合をそこから導くには、$\mathbb{R},\mathbb{C}$ では極限（正則行列の稠密性）、一般の体では成分を不定元とみる多項式の恒等式の議論が要る。上の証明はそれを避けている。ex-charpoly-ab-not-similar が示すように、結論を「相似」まで強めることはできない。
$m\ne n$ の場合、たとえば $A=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\in M_{1,2}(K)$、$B=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\in M_{2,1}(K)$ では $AB=(2)$、$BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ であり、$p_{AB}(x)=x-2$、$p_{BA}(x)=x^2-2x$ なので、$x^2p_{AB}(x)=x^2(x-2)=x\,p_{BA}(x)$ である。一般に、等式 $x^np_{AB}=x^mp_{BA}$ から、$AB$ と $BA$ の $0$ でない固有値は（固有多項式の根としての）重複度も込めて一致し、違いうるのは固有値 $0$ の重複度だけである。
どんな多項式も固有多項式になる
$f(x)=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0\in K[x]$（$n\ge1$）に対し、
$$
C(f):=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-c_0\\1&0&\cdots&0&-c_1\\0&1&\cdots&0&-c_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots\\0&0&\cdots&1&-c_{n-1}\end{pmatrix}\in M_n(K)
$$
を $f$ の 同伴行列（companion matrix）という。第 $j$ 列（$j< n$）は標準基底のベクトル $e_{j+1}$、最後の列は $(-c_0,\dots,-c_{n-1})^{\top}$ である。$n=1$ では $C(f)=(-c_0)$ である。
最高次の係数が $1$ の任意の $f\in K[x]$（$\deg f=n\ge1$）について $p_{C(f)}=f$ である。とくに、最高次の係数が $1$ の $n$ 次多項式はすべて、ある $n$ 次正方行列の固有多項式である。
$n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ では $p_{C(f)}(x)=x-(-c_0)=x+c_0=f(x)$ である。$n\ge2$ とし、$n-1$ 次では正しいとする。
$$
xI_n-C(f)=\begin{pmatrix}x&0&\cdots&0&c_0\\-1&x&\cdots&0&c_1\\0&-1&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&&\ddots&x&c_{n-2}\\0&\cdots&0&-1&x+c_{n-1}\end{pmatrix}
$$
を第 1 行で余因子展開する（行列式 の記事の定理「行と列に関する余因子展開」）。第 1 行の $0$ でない成分は $(1,1)$ 成分 $x$ と $(1,n)$ 成分 $c_0$ だけである。
$(1,1)$ 成分の小行列式：第 1 行と第 1 列を除いた行列は、$g(x):=x^{n-1}+c_{n-1}x^{n-2}+\cdots+c_2x+c_1$ について $xI_{n-1}-C(g)$ そのものである（$g$ の係数 $c_1,\dots,c_{n-1}$ が最後の列に並ぶ）。帰納法の仮定によりその行列式は $g(x)$ である。
$(1,n)$ 成分の小行列式：第 1 行と第 $n$ 列を除いた $n-1$ 次の行列は、対角成分がすべて $-1$ で、対角より下の成分がすべて $0$ の上三角行列である（第 $i$ 行（$i=2,\dots,n$）の $-1$ は第 $i-1$ 列、$x$ は第 $i$ 列にある）。よってその行列式は $(-1)^{n-1}$ であり、余因子は $(-1)^{1+n}(-1)^{n-1}=1$ である。
以上より $p_{C(f)}(x)=x\,g(x)+c_0\cdot1=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0=f(x)$ である。$\square$
たとえば $f(x)=x^3-2x+5$ の同伴行列は $C(f)=\begin{pmatrix}0&0&-5\\1&0&2\\0&1&0\end{pmatrix}$ であり、その固有多項式は $x^3-2x+5$ である。同伴行列の固有値は $f$ の根にほかならないので、多項式の根を求める問題は行列の固有値を求める問題に言い換えられる。ex-charpoly-no-real-root の $J$ は $x^2+1$ の同伴行列である。
補足
$p_A$ の根がちょうど $A$ の固有値であり、固有値 $\lambda$ の根としての重複度を代数重複度という。代数重複度は固有空間の次元（幾何重複度）以上であり、$A$ が対角化可能（対角化）であることは、$p_A$ が 1 次式の積に分解し各固有値で 2 つの重複度が一致することと同値である。これらは 固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」「幾何重複度と代数重複度」と定理「対角化可能性の判定」にある。
$p_A(x)=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)$ と $K$ 上で分解するときは、右辺を展開して thm-charpoly-coefficients と比べると、$E_k(A)$ は $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ の $k$ 次の基本対称式 $\sum_{i_1<\cdots< i_k}\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_k}$ に等しい。$k=1$ と $k=n$ の場合が $\operatorname{tr}A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$、$\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$ である（固有値 の記事の命題「代数閉体上の固有値の存在」）。
固有多項式に行列自身を代入すると零行列になる：$p_A(A)=O$。これが Cayley–Hamiltonの定理 であり、証明は同記事にある。同記事は成分が可換環 $R$ の行列についても $p_A(x)=\det(xI_n-A)\in R[x]$ と定めて定理を示しており、本記事の thm-charpoly-coefficients・prop-charpoly-invariance の 1・prop-charpoly-companion の証明も体の性質を使わないので可換環の上でそのまま成り立つ。thm-charpoly-ab-ba も可換環上で成り立つ。$m=n$ で $x^n$ を約す段は、$K[x]$ が整域であることの代わりに、$R[x]$ で $x^nf=x^ng$ なら $f=g$ であること（$x^n$ を掛けることは係数の番号を $n$ だけずらすことにすぎない）を使えばよい。
線形変換の固有多項式を $\det(zI-T)$ で定義し、次数・根・跡と行列式の係数を述べたものに Axl24 9.63・9.65（§9C Determinants、pp. 363–364）がある（同書は $\mathbf{F}=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の場合として述べ、§8B の 8.26（p. 311）では複素数の場合に固有値と重複度から定義している）。Bee15 Section EE は $\det(A-xI_n)$ で定義し（Definition CP）、固有値が固有多項式の根であることを Theorem EMRCP として述べている（同書は複素数を成分とする行列で述べている）。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
