Krull整域

1は交叉表示と各離散付値環での非負付値判定そのものである。2について、単元ならその逆元も全局所環に入るので、$a$ と $a^{-1}$ の付値はともに非負、従って $v_{\mathfrak p}(a)=0$ となる。逆に全付値が零なら全付値で $a^{-1}$ が非負だから、1により $a^{-1}\in A$ である。
3では $b\in aA$ を $b/a\in A$ と言い換え、$v_{\mathfrak p}(b/a)=v_{\mathfrak p}(b)-v_{\mathfrak p}(a)$ に1を使う。$b=0$ なら最初から $b\in aA$ であり、この場合に付値を有限整数として定義する必要はない。
4では $z=b/a$、$a,b\in A\setminus\{0\}$ と書く。$a,b$ がともに $\mathfrak p$ に入らない点では両者は $A_{\mathfrak p}$ の単元なので付値は零である。従って非零付値の点は $a$ または $b$ を含む高さ一の素の有限集合に含まれる。

まず離散付値環 $V$ とその付値 $v$ を考える。商体の元 $z$ が $V$ 上のモニック式
$$ z^n+c_1z^{n-1}+\cdots+c_n=0 $$
を満たし、$v(z)<0$ と仮定する。最高次項の付値は $nv(z)$ である。他の項の付値は、零でないものについて $v(c_i)+(n-i)v(z)>nv(z)$ となる。$z^n$ で割ると $1$ と極大イデアルの元の和が零になり、$1$ が極大イデアルに属することになるので矛盾する。従って $v(z)\ge0$、つまり $z\in V$ である。
$z\in K$ が $A$ 上整なら、そのモニック式の係数は各 $A_{\mathfrak p}$ にも入るので、いまの論証で $z\in A_{\mathfrak p}$ となる。交叉表示から $z\in A$ を得る。$z=0$ は自明であり、体の端点でも同じ結論である。

UFDでは既約元 $\pi$ は素元である。実際、$\pi\mid ab$ なら $a,b$ の既約分解と一意性から、$\pi$ は一方の既約因子と同伴であり、その因子をもつ一方を割る。従って $(\pi)$ は素イデアルである。この素の下に非零素イデアル $\mathfrak q$ があれば、その非零元の既約分解からある既約元 $\rho\in\mathfrak q$ を得る。$\rho\in(\pi)$ だから $\pi\mid\rho$ となり、既約性から両者は同伴である。従って $\mathfrak q=(\pi)$ であり、$(\pi)$ の高さは一である。
逆に高さ一の素 $\mathfrak p$ は非零である。整域の $(0)$ は高さ零だからである。$0\ne a\in\mathfrak p$ を既約分解し、素性から一つの既約因子 $\pi\in\mathfrak p$ を得る。$(0)\subsetneq(\pi)\subset\mathfrak p$ と高さ一から $\mathfrak p=(\pi)$ である。よって高さ一の素は既約元の単項イデアルで尽くされる。
$A_{(\pi)}$ の非零元 $a/s$ は、分子から $\pi$ の全因子を抜けば $\pi^r u$、$r\ge0$、$u$ 単元の形となる。分母 $s\notin(\pi)$ と残りの分子はいずれも可逆だからである。商体では $r\in\mathbb Z$ となり、この指数は因数分解の一意性からよく定まる。非零イデアルの元に現れる指数の最小値を取れば、その元は単元を除いて $\pi^r$ なのでイデアルは $(\pi^r)$ である。従って局所環はDVRである。
$z=b/a$ の既約分解で分子と分母の共通因子を消すと、$z$ がすべての $A_{(\pi)}$ に入るためには分母に既約因子が一つも残らないことが必要であり、そのとき分母は単元で $z\in A$ となる。これが交叉条件である。非零元 $a$ を含む高さ一の素は $a$ の有限個の既約因子に対応するので、有限指標性も成立する。$A$ が体なら既約元も高さ一の素もなく、空の交叉は商体 $A$ となる。

局所化は商体の部分環だから整域である。$z$ が $S^{-1}A$ 上整で、式の係数が $c_i$ であるとする。全係数の分母を割り切る一つの $s\in S$ を選ぶと $sc_i\in A$ である。$w=sz$ は、元の次数 $n$ の式に $s^n$ を掛けた
$$ w^n+(sc_1)w^{n-1}+\cdots+s^nc_n=0 $$
を満たし、$s^ic_i\in A$ だから $A$ 上整である。$A$ が整閉なので $w\in A$、従って $z=w/s\in S^{-1}A$ である。

非零元の零化イデアルの中に極大元を取る。Noether性の上昇鎖条件により存在する。$\mathfrak p=\operatorname{Ann}(v)$ をその元とすると、$ab\in\mathfrak p$、$b\notin\mathfrak p$ なら $bv\ne0$ である。$\operatorname{Ann}(bv)$ は $\mathfrak p$ を含み、極大性により等しい。$a(bv)=0$ から $a\in\mathfrak p$ となり、$\mathfrak p$ は素イデアルである。
この巡回部分加群を取り、商で同じ操作を繰り返す。有限加群はNoether加群なので、得られる部分加群の厳密な上昇列は有限回で停止し、因子が $A/\mathfrak p_i$ となる有限フィルトレーションを得る。ここで有限加群がNoetherであることは、有限自由加群の部分加群を最後の座標への射影で階数帰納し、核と像の有限生成元を持ち上げることで分かる。有限自由加群の商にも同じ性質が移る。
短完全列 $0\to N\to M\to Q\to0$ に対して $\operatorname{Ass}(M)\subset\operatorname{Ass}(N)\cup\operatorname{Ass}(Q)$ である。$Av\cong A/\mathfrak p$ が $N$ と交わらなければその像は $Q$ に単射で入る。交わりが非零なら $av\in N$、$a\notin\mathfrak p$ を取れ、素性から $\operatorname{Ann}(av)=\mathfrak p$ である。$A/\mathfrak p_i$ の随伴素は $\mathfrak p_i$ だけなので、フィルトレーションにこの包含を繰り返して有限性を得る。
最後に $0\ne v\in M$ を取る。有限な巡回部分加群 $Av$ に随伴素 $\mathfrak p=\operatorname{Ann}(av)$ を取れば、それは $M$ の随伴素でもある。$(av)_{\mathfrak p}\ne0$ である。局所化で零なら $s\notin\mathfrak p$ で $sav=0$ となり零化イデアルの定義に反する。従って $v_{\mathfrak p}\ne0$ であり、全局所化で零なら元も零となる。

非零 $a$ が全 $t^nV$ に入ると仮定し、$a=t^na_n$ と書く。整域だから $a_n=ta_{n+1}$ である。主イデアル $(a_n)$ は上昇して安定し、ある段で $a_{n+1}=r a_n$ となる。従って $a_{n+1}=rt a_{n+1}$、$a_{n+1}\ne0$ と整域性から $rt=1$ となり、$t\in\mathfrak m$ に反する。よって非零元には有限の最大 $t$ 次数がある。
最大次数の冪を除いた元は $tV$ に入らないので単元であり、全非零元は $ut^n$ と書ける。非零イデアルの元の次数の最小値を取れば、その元は単元を除いて $t^n$ で、他のすべての元を生成する。従って全非零イデアルは $t^nV$ である。非零素イデアルが $ut^n$ を含めば $n\ge1$ で素性から $t$ を含み、極大イデアルと等しくなる。これで次元一も従う。この論証は主イデアル定理を使っていない。

非零 $a\in\mathfrak m$ を選ぶ。$a$ を含む素イデアルは非零だから、次元一により $\mathfrak m$ だけである。従って $\sqrt{aV}=\mathfrak m$ である。この根基の特徴づけは、$aV$ を含む素イデアルの交叉と根基が一致することによる。その一致は、$b$ の冪が $aV$ に入らなければ、$\{1,b,b^2,\ldots\}$ を避けるイデアルをZornの補題で極大化し、外の二元を加えた二つのイデアルから積を作ってその極大元の素性を示すことで得られる。具体的には、極大元を $J$ として $cd\in J$、$c,d\notin J$ と仮定すると、$J+(c)$ と $J+(d)$ はそれぞれ $b$ の冪を含む。それら二つの表示を掛ければ $b$ の冪が $J$ に入って矛盾する。Zornの適用では鎖の合併も $b$ の全冪を避けるので、上界の条件が満たされる。
$\mathfrak m$ の有限生成元の各々のある冪は $aV$ に入る。各指数を $n_i$ とすれば、次数が $1+\sum_i(n_i-1)$ の生成元の積にはいずれかの指数が $n_i$ 以上なので $\mathfrak m^n\subset aV$ となる。最小のその $n$ が一なら $\mathfrak m=aV$ である。$n>1$ なら $b\in\mathfrak m^{n-1}\setminus aV$ を選び、$z=b/a$ と置く。$z\notin V$ で $z\mathfrak m\subset V$ となる。
もし $z\mathfrak m\subset\mathfrak m$ なら、生成元の列上で $z$ 倍を $V$ 係数の有限行列 $C$ で表せる。余因子行列を掛けて $\det(zE-C)\mathfrak m=0$ を得る。$\mathfrak m$ は非零で環は整域だから、商体内のモニック多項式 $\det(zE-C)$ は零であり、$z$ は整となる。整閉性から $z\in V$ となって矛盾する。
従ってある $t\in\mathfrak m$ について $zt\in V\setminus\mathfrak m$、すなわち単元である。任意の $u\in\mathfrak m$ について $zu\in V$ だから $u/t=(zu)/(zt)\in V$ であり、$\mathfrak m=tV$ となる。前の補題からDVRである。DVRの諸特徴づけについては AM69 Chapter 9 も参照できる。

$\mathfrak p=\operatorname{Ann}(b+aA)$ を随伴素とし $V=A_{\mathfrak p}$ とする。局所化後 $b$ は $aV$ に入らない。もし入ればある $s\notin\mathfrak p$ が $sb\in aA$ を満たして零化イデアルの定義に反する。従って $z=b/a\notin V$ である。$\mathfrak m=\mathfrak pV$ は $z\mathfrak m\subset V$ を満たす。$a\in\mathfrak p$ なので $\mathfrak m\ne0$ である。
局所化はNoetherである。局所化環のイデアルの縮約を有限生成し、その生成元を局所化すれば元のイデアルを生成できるからである。整閉性は本文の局所化補題で得られる。前の行列式の論証により $z\mathfrak m\subset\mathfrak m$ は不可能であり、$zt$ が単元となる $t\in\mathfrak m$ を取って同じ除算から $\mathfrak m=tV$ を得る。主極大イデアルの補題で $\dim V=1$ だから $\operatorname{ht}\mathfrak p=1$ である。
ここで高さと局所化の次元が同じになるのは、$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルが $\mathfrak p$ に含まれる $A$ の素と対応し、拡大と縮約が包含を保つからである。対応は $\mathfrak q\mapsto\mathfrak qA_{\mathfrak p}$ で、分母が単元だから任意の局所化イデアルは縮約の拡大と等しい。$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ が素なら、分子の積が入る条件は一方の分子が入る条件に等しく、拡大も素である。これで鎖の長さも保たれる。

高さ一の $\mathfrak p$ では $A_{\mathfrak p}$ はNoether整閉局所整域で次元一だから、前の補題でDVRである。次に $z=b/a\in K$ が全高さ一の局所環に入るとする。$a$ が単元なら $z\in A$ である。そうでなければ $M=A/aA$ の全随伴素は高さ一であり、各々で $b\in aA_{\mathfrak p}$ だから $b+aA$ は零になる。随伴素での局所検出の単射により $b\in aA$ となり、$z\in A$ を得る。逆包含は局所化の定義から明らかである。
有限指標性を示すため、$a$ を含む高さ一の素を考える。この素は $a$ 上極小である。もしその下に $a$ を含む素が厳密にあれば、整域の零素から長さ二の鎖ができて高さ一に反する。$A/aA$ の有限素フィルトレーションに現れる素を $\mathfrak p_1,\ldots,\mathfrak p_s$ とする。それらの積は $M$ を零化する。従って $a$ を含む任意の素は少なくとも一つの $\mathfrak p_i$ を含む。各 $\mathfrak p_i$ は $M$ の因子の零化イデアルであり $a$ を含むので、$a$ 上極小の素はこの有限集合の一つと等しい。高さ一で $a$ を含む素は有限個となる。$a$ が単元なら集合は空、体の端点でも三条件は成立する。