カイ二乗分布

1：$s<\frac12$ なら、$a:=\frac12-s>0$ として Γ関数 の例「尺度変換と Laplace 型積分」を $z=\frac\nu2$ で使うと
$$ E[e^{sV}]=\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac\nu2)}\int_0^\infty v^{\frac\nu2-1}e^{-(\frac12-s)v}\,dv=\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac\nu2)}\cdot\frac{\Gamma(\frac\nu2)}{(\frac12-s)^{\nu/2}}=(1-2s)^{-\nu/2} $$
である。$s\ge\frac12$ なら被積分関数 $e^{sv}g_\nu(v)$ は $v\ge1$ で定数 $c>0$ を使って $c\,v^{\frac\nu2-1}$ 以上であり、$\frac\nu2-1>-1$ なので $\int_1^\infty v^{\frac\nu2-1}\,dv=\infty$ となる。
2：$E[V^r]=\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac\nu2)}\int_0^\infty v^{\frac\nu2+r-1}e^{-v/2}\,dv$ である。$v\ge1$ の部分は指数関数の減衰によりつねに有限であり、$0< v< 1$ の部分は $e^{-v/2}\ge e^{-1/2}$ なので、$\int_0^1v^{\frac\nu2+r-1}\,dv$ が有限であること、すなわち $\frac\nu2+r>0$ と同値である。そのとき同じ式を $z=\frac\nu2+r$、$a=\frac12$ で使うと、積分は $\Gamma(\frac\nu2+r)\,2^{\frac\nu2+r}$ に等しく、主張の式を得る。$r=1,2$ では Γ関数 の命題「関数等式と階乗」の $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ により $E[V]=2\cdot\frac\nu2=\nu$、$E[V^2]=4\cdot\frac\nu2(\frac\nu2+1)=\nu(\nu+2)$ であり、$\mathrm{Var}(V)=\nu(\nu+2)-\nu^2=2\nu$ である。$\square$

要点：$k:=\nu/2$ とおき、密度を Stirling の公式で評価する。全変動の収束は t分布 の定理「正規分布への収束」の 2 と同じ Scheffé の議論による。

段 1（回転して対角にする）。 対称行列 の定理「直交対角化できる実行列」により、直交行列 $Q$ と実数 $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ で $A=Q\Lambda Q^{\top}$、$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ と書ける。$Y:=Q^{\top}Z$ とおくと、多変量正規分布 の定理「1 次変換で多変量正規分布は保たれる」により $Y\sim N_k(0,Q^{\top}Q)=N_k(0,I_k)$ であり、$Y_1,\dots,Y_k$ は独立にどれも $N(0,1)$ に従う。そして
$$ Z^{\top}AZ=Y^{\top}\Lambda Y=\sum_{i=1}^k\lambda_iY_i^2 $$
である。$A^2=A$ は $\Lambda^2=\Lambda$、すなわちすべての $i$ で $\lambda_i\in\{0,1\}$ と同値であり、$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\Lambda$ は $0$ でない $\lambda_i$ の個数である。
段 2（2 から 1）。 段 1 により $\lambda_i$ のうちちょうど $r$ 個が $1$、残りが $0$ なので、$Z^{\top}AZ$ は独立な $r$ 個の $Y_i^2$ の和であり、t分布 の系「標準正規分布の 2 乗和」により $\chi^2_r$ に従う。
段 3（1 から冪の和へ）。 $Z^{\top}AZ\sim\chi^2_r$ とする。すべての $\lambda_i$ が $0$ なら $Z^{\top}AZ=0$ となり $\chi^2_r$ に従わないので、$c:=\max_i\lvert\lambda_i\rvert>0$ である。$\lvert s\rvert< \min\{\frac1{2c},\frac12\}$ とする。$Y_i^2\sim\chi^2_1$ と $s\lambda_i< \frac12$ から、thm-chi2-mgf の 1 により $E[e^{s\lambda_iY_i^2}]=(1-2s\lambda_i)^{-1/2}$ である。$e^{s\lambda_iY_i^2}$（$i=1,\dots,k$）は独立で正なので、期待値は積に分かれ（Dur19 Theorem 2.1.13, p. 49）、
$$ \prod_{i=1}^k(1-2s\lambda_i)^{-1/2}=E\bigl[e^{sZ^{\top}AZ}\bigr]=(1-2s)^{-r/2} $$
となる。両辺の対数をとり、$\lvert u\rvert< 1$ での展開 $-\log(1-u)=\sum_{m\ge1}u^m/m$ を使うと
$$ \sum_{m\ge1}\frac{(2s)^m}{m}\sum_{i=1}^k\lambda_i^m=\sum_{m\ge1}\frac{(2s)^m}{m}\,r $$
が $0$ を含む開区間の $s$ で成り立つ。冪級数の係数は一意なので、$p_m:=\sum_i\lambda_i^m$ はすべての $m\ge1$ で $r$ に等しい。
段 4（冪の和から固有値へ）。 ある $\lvert\lambda_i\rvert>1$ があれば $p_{2m}\ge\lambda_i^{2m}\to\infty$ となり $p_{2m}=r$ に反するので、すべて $\lvert\lambda_i\rvert\le1$ である。$J:=\#\{i:\lvert\lambda_i\rvert=1\}$ とおくと、$m\to\infty$ で $p_{2m}\to J$ なので $J=r$ である。すると $\sum_{\lvert\lambda_i\rvert< 1}\lambda_i^{2}=p_2-J=0$ で、各項は $0$ 以上なので、$\lvert\lambda_i\rvert< 1$ の $\lambda_i$ はすべて $0$ である。最後に $p_1=\sum_{\lvert\lambda_i\rvert=1}\lambda_i$ は $r$ 個の $\pm1$ の和で、それが $r$ に等しいので、すべて $+1$ である。よって $\lambda_i\in\{0,1\}$ で、$1$ はちょうど $r$ 個あり、段 1 により $A^2=A$、$\operatorname{rank}A=r$ である。$\square$

段 1（像の直和分解）。 $V_j:=\operatorname{Im}A_j$ とおく（$\dim V_j=r_j$）。どの $x\in\mathbb{R}^k$ も $x=A_1x+\cdots+A_mx$ と書けるので $V_1+\cdots+V_m=\mathbb{R}^k$ である。線形写像 $V_1\times\cdots\times V_m\to\mathbb{R}^k$、$(v_1,\dots,v_m)\mapsto v_1+\cdots+v_m$ は全射で、両辺の次元はどちらも $r_1+\cdots+r_m=k$ なので単射でもある。すなわち、$\mathbb{R}^k$ の元を $V_1,\dots,V_m$ の元の和に書く方法はただ一通りである。
段 2（1 の証明）。 $j$ を固定し、$x\in V_j$ とする。$x=\sum_iA_ix$（$A_ix\in V_i$）と、$x$ 自身を $V_j$ の成分とし他の成分を $0$ とする書き方を比べると、段 1 の一意性から $A_jx=x$、$i\ne j$ で $A_ix=0$ である。任意の $y$ について $x=A_jy\in V_j$ に使えば $A_jA_jy=A_jy$、$A_iA_jy=0$ となり、1 を得る。
段 3（直交性と基底）。 $i\ne j$、$x\in V_i$、$y\in V_j$ なら、$A_i$ が対称で $A_ix=x$、$A_iy=0$（段 2）なので $x^{\top}y=(A_ix)^{\top}y=x^{\top}A_iy=0$ である。よって $V_1,\dots,V_m$ は互いに直交する。各 $V_j$ の正規直交基底を並べると $\mathbb{R}^k$ の正規直交基底 $q_1,\dots,q_k$ が得られる。$B_j$ を $V_j$ の基底の番号の集合とする。段 2 により $A_jq_l=q_l$（$l\in B_j$）、$A_jq_l=0$（$l\notin B_j$）なので、両辺を基底で比べて $A_j=\sum_{l\in B_j}q_lq_l^{\top}$ である。
段 4（2 の証明）。 $q_1,\dots,q_k$ を列とする直交行列を $Q$ とし、$Y:=Q^{\top}Z$ とおくと、prf-chi2-quadratic の段 1 と同じく $Y_1,\dots,Y_k$ は独立にどれも $N(0,1)$ に従い、$Y_l=q_l^{\top}Z$ である。段 3 により
$$ Q_j=Z^{\top}A_jZ=\sum_{l\in B_j}(q_l^{\top}Z)^2=\sum_{l\in B_j}Y_l^2 $$
である。$B_1,\dots,B_m$ は互いに交わらないので、$Q_1,\dots,Q_m$ は独立な確率変数の互いに交わらない組の関数として独立であり（Dur19 Theorem 2.1.10, p. 47）、t分布 の系「標準正規分布の 2 乗和」により $Q_j\sim\chi^2_{r_j}$（$r_j\ge1$ のとき）である。$\square$

段 1（和の形に書く）。 $m$ 回目の試行の結果が $i$ なら $1$、そうでなければ $0$ となる確率変数を $I_{m,i}$ とし、$\xi_m\in\mathbb{R}^k$ を第 $i$ 成分が $(I_{m,i}-p_i)/\sqrt{p_i}$ のベクトルとする。$\xi_1,\xi_2,\dots$ は独立で同じ分布に従い、$N_i=\sum_{m=1}^nI_{m,i}$ なので
$$ W_n:=\frac1{\sqrt n}\sum_{m=1}^n\xi_m\quad\text{の第 }i\text{ 成分は}\quad\frac{N_i-np_i}{\sqrt{np_i}},\qquad X_n^2=\lvert W_n\rvert^2 $$
である。
段 2（共分散）。 $E[I_{m,i}]=p_i$ であり、$I_{m,i}I_{m,j}$ は $i=j$ なら $I_{m,i}$、$i\ne j$ なら $0$ なので、$\operatorname{Cov}(I_{m,i},I_{m,j})=p_i\delta_{ij}-p_ip_j$ である。よって $\xi_m$ の平均は $0$、共分散行列は
$$ \Pi:=I_k-uu^{\top},\qquad u:=(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k})^{\top} $$
である。$\lvert u\rvert^2=\sum_ip_i=1$ なので、$\Pi$ は $u$ に直交する $k-1$ 次元の部分空間への直交射影であり、$\Pi^{\top}=\Pi=\Pi^2$、$\operatorname{rank}\Pi=k-1$ である。
段 3（多次元の中心極限定理）。 Dur19 Theorem 3.10.7（$\mathbb{R}^d$ の中心極限定理、p. 200）により、$W_n$ は特性関数 $\exp(-\frac12\theta^{\top}\Pi\theta)$ をもつ確率ベクトル $W$ に弱収束する。多変量正規分布 の定理「多変量正規分布の特性関数と存在」により $W\sim N_k(0,\Pi)$ であり、$Z\sim N_k(0,I_k)$ について $\Pi Z\sim N_k(0,\Pi\Pi^{\top})=N_k(0,\Pi)$ なので、$W$ と $\Pi Z$ は同じ分布に従う。したがって $\lvert W\rvert^2$ は $\lvert\Pi Z\rvert^2=Z^{\top}\Pi Z$ と同じ分布に従い、thm-chi2-quadratic により $\chi^2_{k-1}$ に従う。
段 4（集合の確率の収束）。 $x\in\mathbb{R}$ を固定し $A:=\{w\in\mathbb{R}^k:\lvert w\rvert^2\le x\}$ とする。$A$ の境界は $\{\lvert w\rvert^2=x\}$ に含まれ、$\lvert W\rvert^2$ は密度をもつので $P(W\in\partial A)=0$ である。Dur19 Theorem 3.10.1 の (v)（p. 196）により $P(X_n^2\le x)=P(W_n\in A)\to P(W\in A)=P(V\le x)$ である。$\square$