Hilbert–Samuel関数

まず有限次数 $C[X_1,\ldots,X_r]$ 加群 $N$ の級数 $F_N(t)=\sum_{n\ge0}\ell_C(N_n)t^n$ が $f(t)/(1-t)^r$、$f\in\mathbf Z[t]$ と書けることを示す。$r=0$ なら有限斉次生成元の次数以外に成分がなく、級数は多項式である。
$r>0$ では $X=X_r$、$K=(0:_N X)$、$L=N/XN$ と置く。Noether 性から $K,L$ は有限次数加群であり、$X$ が両者を殺すので残りの $r-1$ 変数上有限である。負次数の成分を零とすれば、全整数 $q$ に対し
$$ 0\longrightarrow K_{q-1}\longrightarrow N_{q-1} \xrightarrow{X}N_q\longrightarrow L_q\longrightarrow0 $$
が完全である。長さを取り $t^q$ を掛けて足すと
$$ (1-t)F_N(t)=F_L(t)-tF_K(t) $$
となる。帰納法で右辺の分母は $(1-t)^{r-1}$ となり、所望の有理表示を得る。
$N=\operatorname{gr}_I M$ に適用する。濾過の各商の長さの加法性から、全 $n\ge0$ で $H(n)=\sum_{j=0}^n h(j)$ であり、従って累積級数は
$$ \sum_{n\ge0}H(n)t^n=\frac{F_N(t)}{1-t}. $$
$M\ne0$ なら $M/IM\ne0$ である。これに用いる Nakayama の補題は、$M=IM$ なら有限生成元の列 $w$ に対し $w=Cw$、行列 $C$ の成分が $I$ に入ると書き、随伴行列から $\det(1-C)w=0$ を得る計算で証明できる。この行列式は $1+\mathfrak m$ に属する単元なので $M=0$ となる。
非零級数 $F_N$ の分子と分母から $(1-t)$ を全て約分し、$F_N=f(t)/(1-t)^d$、$d\ge0$ とする。$d=0$ なら $F_N=f$ は多項式であり、$H(n)$ は最終的に各成分長さの和という正定数となる。$d>0$ なら $f(1)\ne0$ である。$f(t)=\sum_i a_it^i$ と書き、二項級数
$$ (1-t)^{-d-1}=\sum_{n\ge0}\binom{n+d}{d}t^n $$
を用いると、十分大きい $n$ に対し
$$ H(n)=\sum_i a_i\binom{n-i+d}{d}. $$
二項級数は幾何級数からの帰納で得られる。次の指数へ進む際の係数和は Pascal 則の望遠和で $\sum_{j=0}^n\binom{j+d-1}{d-1}=\binom{n+d}{d}$ となる。
右辺は次数 $d$、先頭係数 $f(1)/d!$ の多項式である。$H(n)$ は非負であり、$f(1)\ne0$ なので先頭係数は正となる。多項式が二つあれば、その差は無限個の整数で零になり、従って零多項式である。一意性も得られる。$M=0$ の場合は零多項式を取ればよい。

まず $L\subset A^r$ の有限生成性を $r$ で帰納する。$r=0$ では $L=0$ である。$r>0$ では最後の座標への像 $J$ は $A$ のイデアルなので有限生成である。その有限生成元を $L$ の元 $v_1,\ldots,v_s$ に持ち上げる。座標射の核 $L\cap A^{r-1}$ も帰納法により有限生成である。任意の $v\in L$ の最後の座標を $v_i$ の最後の座標の線形結合で表して引けば、差はその核に入る。従って $v_i$ と核の生成元で $L$ 全体が生成される。
$A^r\twoheadrightarrow M$ を取り、$N\subset M$ の逆像 $L$ を考える。前段から $L$ は有限生成なので、その像 $N$ も有限生成である。加群の任意の上昇列の和集合は部分加群だから有限生成で、その有限個の生成元は一つの段に全部入る。従って列はその段で停止する。この議論は $M$ が自由であることや、部分加群の有限表示を仮定していない。$\square$

加群の分数 $z/s$ が零となるのは、ある $t\in S$ について $tz=0$ となるときである。従って $U\hookrightarrow M$ の局所化で $u/s$ が零になれば $tu=0$ が $M$ で成立し、元の単射から $U$ でも成立する。よって単射は保たれる。全射は、任意の分数 $v/s$ の分子 $v$ を $M$ へ持ち上げることで保たれる。
$z/s\in S^{-1}M$ の $S^{-1}V$ への像が零なら、ある $t\in S$ について $tz$ の像が $V$ で零になる。従って $tz$ はある $u\in U$ の像であり、$z/s=u/(ts)$ は $S^{-1}U$ の像となる。これで中央の完全性も得る。$0\in S$ のとき全加群は零となり同じ結論が成立する。
素 $\mathfrak p$ で局所化して $M_{\mathfrak p}=0$ なら、単射から $U_{\mathfrak p}=0$、全射から $V_{\mathfrak p}=0$。逆に両端が零なら中央の完全性から $M_{\mathfrak p}=0$。これが支持の和の等式である。
$P\not\subset\mathfrak p$ なら $a\in P\setminus\mathfrak p$ を反転すると $A/P$ が零になる。$P\subset\mathfrak p$ なら、もし $1+P$ が局所化で零になれば $\mathfrak p$ 外の $s$ が $P$ に属することになり矛盾する。従って支持は正確に $V(P)$。さらに $(A/P)_P$ は $A/P$ の非零元を全て反転した商体 $\kappa(P)$ である。これを $A_P$ 加群と見れば最大イデアル $PA_P$ が零作用し、一次元の剰余体なので単純加群で、長さは一となる。$\square$

$\mathfrak m$ 進の多項式次数を $d(M)$ と略記し、$\delta(M)$ を、$x_1,\ldots,x_s\in\mathfrak m$ で $M/(x_1,\ldots,x_s)M$ が有限長になる最小の $s$ とする。$\mathfrak m$ の生成元全体を使えばそのような列がある。三つの不等式 $\dim M\le d(M)\le\delta(M)\le\dim M$ を証明する。
まず $\dim A\le d(A)$ を $d(A)$ で帰納する。$d(A)=0$ なら累積長さは最終的に定数なので $\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}=0$ が十分大きい $n$ で成り立つ。有限加群 $\mathfrak m^n$ に Nakayama を適用して $\mathfrak m^n=0$ を得る。全素イデアルは $\mathfrak m$ を含み、従って次元は零である。
一般の素鎖 $\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_e$、$e\ge1$ に対し、$x\in\mathfrak p_1\setminus\mathfrak p_0$、$C=A/\mathfrak p_0$、$D=C/xC$ と置く。$C$ は整域、$x$ は非零なので $0\to C\xrightarrow{x}C\to D\to0$ が完全である。前節の完全列比較は $H_C-H_D$ と $H_C$ の先頭係数を等しくするため、$d(D)< d(C)\le d(A)$ となる。$D$ の支持には鎖の後半が長さ $e-1$ で残る。帰納法から $e-1\le d(D)\le d(A)-1$、従って $e\le d(A)$ を得る。
有限 $M$ は有限素因子列を持つ。この事実を直接確認する。非零元の零化イデアルの族から極大な $\mathfrak p=\operatorname{Ann}(v)$ を取る。Noether条件で存在する。$ab\in\mathfrak p$、$b\notin\mathfrak p$ なら $bv\ne0$ で、その零化イデアルは $\mathfrak p$ を含む。極大性により $\operatorname{Ann}(bv)=\mathfrak p$ なので $a\in\mathfrak p$。従って素であり、巡回部分加群 $Av\cong A/\mathfrak p$ を得る。商で同じ操作を反復すると部分加群の厳密上昇列となるため、有限加群のNoether性で有限回で停止する。完全列で支持は和集合、次元は最大値となり、前節で多項式次数も最大値となる。よって各因子 $A/\mathfrak p$ への前段の適用から $\dim M\le d(M)$ を得る。
次に $x\in\mathfrak m$、$N=M/xM$ に対し、長さの完全列から $n\ge1$ で
$$ \ell(N/\mathfrak m^nN)=\ell(M/\mathfrak m^nM)-\ell(M/(\mathfrak m^nM:_M x)). $$
$\mathfrak m^{n-1}M\subset(\mathfrak m^nM:_M x)$ なので、右辺は $H_M(n-1)-H_M(n-2)$ 以上である。$d(M)>0$ ならこの差は次数 $d(M)-1$ の正先頭係数の多項式なので $d(N)\ge d(M)-1$ となる。次数零なら $N\ne0$ が Nakayama から従い、$d(N)\ge0\ge d(M)-1$ である。
$\delta(M)$ の定義の列を逐次商に移す。各商は Nakayama で非零、最後の有限長加群の多項式は正定数なので次数零である。上の次数の低下は一回当たり高々一だから $d(M)\le\delta(M)$ となる。
最後に $\delta(M)\le\dim M$ を次元で帰納する。支持は素因子列から有限個の $V(\mathfrak p_i)$ の和であり、極小素は有限である。次元零なら支持は局所環の閉点のみなので $\sqrt{\operatorname{Ann}M}=\mathfrak m$ となる。有限生成元の冪を揃えると $\mathfrak m^qM=0$ を得て $M$ は有限長、従って $\delta(M)=0$ である。
$\dim M=d>0$ なら、次元 $d$ の成分の極小素を全て避ける $x\in\mathfrak m$ を選ぶ。有限素回避の具体証明は、互いに包含されない素 $\mathfrak p_i$ について $z_i\in\mathfrak m\setminus\mathfrak p_i$、$t_{ji}\in\mathfrak p_j\setminus\mathfrak p_i$ を選び、$\sum_i z_i\prod_{j\ne i}t_{ji}$ を取ることで得られる。各成分の素は閉点でないため $\mathfrak m$ はそれらに含まれない。
$N=M/xM$ の支持は $\operatorname{Supp}M\cap V(x)$ である。$x$ が点の素に入らなければ局所化後単元になり商は零、入れば有限局所加群への Nakayama により商は非零となる。支持点の下の極小素が次元 $d$ の成分なら $x$ はその素を避けるので包含は厳密となり、その下の素を鎖に追加できる。このため $\dim N\le d-1$ となる。帰納法で $\delta(N)\le d-1$、その列の先頭に $x$ を加えて $\delta(M)\le d$ を得る。三不等式が全て等号となり、主張が従う。

thm-hilbert-samuel-polynomial の証明の級数表示を約分して $F_{\operatorname{gr}M}(t)=f(t)/(1-t)^d$、$f\in\mathbf Z[t]$ と書けば、累積多項式の先頭係数は $f(1)/d!$。次元定理からこの $d$ は $\dim M$ と一致し、先頭係数は正なので $e_I(M)=f(1)$ は正整数となる。$d=0$ では次数加群の級数は多項式であり、累積長さは最終的にその全係数の和になる。次元零の有限加群は有限長で、極大イデアルの共通冪に零化されるため、この和は $\ell_A(M)$ である。

上の Artin–Rees 比較で $\phi(n)=\ell(U/(U\cap I^{n+1}M))$ は $H_M(n)-H_V(n)$ であり、固定 $c$ に対し $H_U(n-c)\le\phi(n)\le H_U(n)$ となる。$\phi$ も最終的に多項式である。$U\ne0$ なら両端は同じ次数・先頭係数をもつので $\phi$ も同じである。特に $\dim U< d$ なら $\phi$ の $n^d$ 係数は零となる。$\dim U=d$ なら平行移動で先頭係数が変わらず、その係数は $P_U$ と同じ。次数零では両端の正定数に挟まれて定数も一致する。$U=0$ なら $\phi=0$ である。従って $P_M=\phi+P_V$ の $n^d$ 係数を比較すれば結論を得る。
有限完全列では支持は両端の和集合となるので、$d=\dim M$ のとき両端の次元も $d$ 以下である。この次元制限を先頭係数の比較後に仮定したのではない。

結合公式の素因子列の有限性には lem-hsm-finite-submodule を、局所化後の完全性と支持には lem-hsm-localization-support を使う。これらの元計算により、局所化後の生存因子を数える操作が正当化される。
thm-hilbert-samuel-dimension の証明で作った有限素フィルトレーション $0=M_0\subset M_1\subset\cdots\subset M_s=M$ を取り、各因子を $A/\mathfrak p_i$ と書く。共通次数 $d$ の加法性を反復すると
$$e_I(M)=\sum_{\dim A/\mathfrak p_i=d}e_{I(A/\mathfrak p_i)}(A/\mathfrak p_i).$$
次元の小さい因子は $e_I^{(d)}$ が零なので和から除かれる。商のイデアル像は極大イデアル準素のままであり、加群としての長さは商環上の長さと同じになる。
$\mathfrak p\in\operatorname{Supp}M$ が $\dim A/\mathfrak p=d$ を満たすとする。もし $\mathfrak q\subsetneq\mathfrak p$ が支持にあれば、$\mathfrak p$ 以上の長さ $d$ の素鎖に $\mathfrak q$ を下から追加して $\dim A/\mathfrak q\ge d+1$ となる。しかし支持の次元は $d$ なので矛盾。$d$ が有限の整数であることは次元定理で既に得ており、鎖長の上限 $d$ は達成する。従って $\mathfrak p$ は支持の極小素となる。支持は有限個の $V(\mathfrak p_i)$ の和集合なので極小素は有限で、$\mathcal P$ も有限である。
フィルトレーションを $\mathfrak p$ で局所化する。生き残る因子は $\mathfrak p_i\subset\mathfrak p$ のものだけである。$\mathfrak p_i$ も支持の素であり、厳密包含があれば、同じ下鎖追加から $\dim A/\mathfrak p_i>d$ となるため不可能。従って生き残るものは全て $\mathfrak p_i=\mathfrak p$。各因子 $(A/\mathfrak p)_{\mathfrak p}$ は剰余体 $\kappa(\mathfrak p)$ で長さ一となる。局所化後の有限フィルトレーションはその個数を $\ell_{A_{\mathfrak p}}M_{\mathfrak p}$ と同定する。前の和で同じ素をまとめると式を得る。

全 $n\ge0$ で $H_{I^q,M}(n)=H_{I,M}(q(n+1)-1)$。最終多項式へ代入すると $n^d$ 係数は $q^d$ 倍となる。両多項式の次数は同じ支持次元 $d$ なので結論を得る。$d=0$ なら倍率は一で長さが変わらない。
$I^{n+1}M\subset J^{n+1}M$ だから $M/I^{n+1}M\to M/J^{n+1}M$ は全射で、長さの不等式 $H_I(n)\ge H_J(n)$ が成立する。次数は双方とも $d$ なので先頭係数を比較して $e_I(M)\ge e_J(M)$ を得る。零加群では双方零で自明である。

最高次元の素は零イデアルだけである。非零素 $\mathfrak p$ の上の鎖には $0\subsetneq\mathfrak p$ を追加できるので $\dim A/\mathfrak p\le d-1$。$r>0$ なら零イデアルは $M$ の支持に属し、結合公式の唯一の項の局所長さは体上の次元 $r$ となる。従って式を得る。
$r=0$ なら $M$ の有限個の生成元はそれぞれ非零元に零化され、積を取れば共通の非零零化元がある。支持はその元の閉集合内なので次元は $d$ 未満。従って $e_I^{(d)}(M)=0$。$d=0$ では環は体であり、階数零の有限加群は零なので同じ結論になる。

単純加群 $T$ の非零元 $u$ を取ると $Ru=T$。その核は極大イデアルなので、局所性から $T\simeq R/\mathfrak m=k$ である。
組成列 $0=L_0\subsetneq\cdots\subsetneq L_r=L$ と部分加群 $U$ を固定する。$U_i=U\cap L_i$、$V_i=(L_i+U)/U$ と置くと
$$0\longrightarrow U_i/U_{i-1}\longrightarrow L_i/L_{i-1}\longrightarrow V_i/V_{i-1}\longrightarrow0$$
が完全である。最後の写像の核は
$$L_i\cap(L_{i-1}+U)=L_{i-1}+(L_i\cap U)$$
だからである。中央は単純なので左右の一方は零、他方は中央と同型になる。重複段を除けば $U$ と $L/U$ の組成列を得て、その段数の和は $r$ である。
列長の独立性を $r$ に関する帰納法で示す。$r=0$ は自明。別の組成列の最初の単純部分加群を $S$ とすると、上の交叉列で $S$ の増分はちょうど一個、従って $L/S$ は長さ $r-1$ の列を持つ。別の列の残りも $L/S$ の組成列となり、帰納法からその長さは $r-1$。別の列も長さ $r$ となる。短完全列では部分加群と商の組成列を持ち上げてつなぐことができるので、長さは加法的である。
有限 $M$ の各 $\mathfrak m^jM/\mathfrak m^{j+1}M$ は有限次元 $k$ 空間である。基底の旗を取れば単純因子の列となるので、$M/\mathfrak m^aM$ は有限長。$\mathfrak m$ の有限生成元それぞれの冪が $I$ に属することから、十分大きい $a$ に対して $\mathfrak m^a\subset I$。従って $\mathfrak m^{an}\subset I^n$ であり、$M/I^nM$ は有限長加群 $M/\mathfrak m^{an}M$ の商となる。$n=0$ の商と $M=0$ は零加群である。

局所準同型なので $\mathfrak mB\subset\mathfrak n$、従って閉ファイバーは非零で $c$ は正整数。有限長 $A$ 加群 $L$ の組成列の各因子は $k$ である。平坦性により各短完全列を $B$ とテンソルした列も完全で、各因子は
$$k\otimes_A B\simeq B/\mathfrak mB$$
となる。前補題の加法性から
$$\ell_B(L\otimes_A B)=c\,\ell_A(L).$$
閉ファイバーの組成列の因子は $l$ なので、$\mathfrak n^c$ は閉ファイバーを零化する。従って $\mathfrak n^c\subset\mathfrak mB$。またある $a\geq1$ について $\mathfrak m^a\subset I\subset\mathfrak m$ だから
$$\mathfrak n^{ca}\subset IB\subset\mathfrak n.$$
$B/IB$ では極大イデアル外の元は単元、内の元は冪零である。積が零で第一因子が非零なら第二因子は単元ではあり得ず冪零となる。これが $IB$ の準素性を示す。
$n=q+1$ とする。商テンソルの自然同型を具体的に書けば
$$\begin{aligned} (M/I^nM)\otimes_A B&\longrightarrow (M\otimes_A B)/(IB)^n(M\otimes_A B),\\ (\overline m)\otimes b&\longmapsto\overline{m\otimes b}. \end{aligned}$$
逆は $\overline{m\otimes b}\mapsto\overline m\otimes b$ である。釣合い関係を保存し、$I^nM$ の元の像は $(IB)^n$ の作用像で零になる。逆に $I^nB=(IB)^n$ は積の展開で一致し、その作用像は $I^nM\otimes_A B$ の像に等しいので、逆写像も代表によらない。両合成は純テンソル上で恒等となる。$L=M/I^nM$ は前補題により有限長だから、長さ倍率を適用して全 $q$ の式を得る。
$M\otimes_A B$ は有限 $B$ 加群である。$M\ne0$ なら有限 Nakayama の補題により $M/\mathfrak mM\simeq k^s$、$s\geq1$。同じ商テンソル同型から
$$(M\otimes_A B)/\mathfrak m(M\otimes_A B)\simeq(B/\mathfrak mB)^s\ne0,$$
従ってテンソル加群も非零である。ここでの Nakayama は thm-hilbert-samuel-polynomial の証明で示した有限生成元の行列式の議論を使っている。
全次数で関数が $c$ 倍なので、その最終多項式も $c$ 倍になる。$c>0$ だから次数は同じ。thm-hilbert-samuel-dimension を両環に適用すれば次元の等式を得る。同じ次数 $d$ の先頭係数を $d!$ 倍する定義から重複度の倍率も従う。$d=0$ では prop-hsm-positive-zero-dimension により重複度は加群の長さであり、既に証明した長さ倍率そのものである。$M=0$ の場合には全関数が零で、重複度も両辺零となる。