∞オペラッド

1．$(\gamma,\omega)\circ(\beta,\psi)\circ(\alpha,\varphi)$ の 2 通りの計算は、各出力 $s$ について、写像 $(\gamma\beta\alpha)^{-1}(s)\to(\gamma\beta)^{-1}(s)\to\gamma^{-1}(s)$ に沿った 2 通りの合成であり、有色オペラッドの結合律により一致する。$*$ に送られる入力は両方の計算で捨てられる。単位律は有色オペラッドの単位律である。$\pi$ が合成と恒等射を保つことは定義から明らかである。

2．$\pi$ 上で $\operatorname{id}_{\langle n\rangle}$ にある射は、各 $j$ の逆像が $\{j\}$ なので、多重射 $\varphi_j\in\operatorname{Mul}((X_j),Y_j)=\operatorname{Hom}_{U\mathcal O}(X_j,Y_j)$ の $n$ 組であり、合成も成分ごとの合成である。

3．$k\in\pi(Z)^\circ$ について、$\sigma_\alpha$ は $\beta^{-1}(k)$ から $(\beta\alpha)^{-1}(k)$ への全単射であり、$\alpha$ の制限はその逆である。$g=(\beta,\psi)$ に対し $g\circ\varepsilon_{\alpha,X}$ の $k$ 成分は $\psi_k\circ(\operatorname{id}_{X_{\sigma_\alpha(j)}})_{j\in\beta^{-1}(k)}$ であり、単位律によりこれは $\psi_k$ を全単射 $\sigma_\alpha$ で付け替えたものである。付け替えは全単射なので、$g\mapsto g\circ\varepsilon_{\alpha,X}$ は全単射である。

4．$\operatorname{Hom}_\beta(D,C)=\prod_{i}\operatorname{Mul}((D_j)_{j\in\beta^{-1}(i)},C_i)$ であり、$(\rho^i\beta)^{-1}(1)=\beta^{-1}(i)$ だから $\operatorname{Hom}_{\rho^i\beta}(D,(C_i))=\operatorname{Mul}((D_j)_{j\in\beta^{-1}(i)},C_i)$ である。$\varepsilon_{\rho^i,C}\circ(\beta,\psi)$ のただ 1 つの成分は $\operatorname{id}_{C_i}\circ(\psi_i)=\psi_i$ なので、写像は $\psi\mapsto(\psi_i)_i$、すなわち恒等写像である。

5．$\mu_n^{-1}(1)=\langle n\rangle^\circ$ なので、両辺は同じ集合である。$\blacksquare$

$f\colon\langle m\rangle\to\langle n\rangle$ とし、$S:=\{i\in\langle m\rangle^\circ\mid f(i)\neq*\}$ とおく。

1．$S$ の元を $s_1< \cdots< s_k$ と並べ、$e\colon\langle m\rangle\to\langle k\rangle$ を $e(s_j)=j$、$S$ の外を $*$ に送る射、$a\colon\langle k\rangle\to\langle n\rangle$ を $a(j)=f(s_j)$、$a(*)=*$ とおく。$e^{-1}(j)=\{s_j\}$ なので $e$ は inert、$a(j)\neq*$ なので $a$ は active であり、$S$ の上でも外でも $a\circ e=f$ である。

2．inert 射は全射である（各 $j\in\langle k\rangle^\circ$ は逆像をもち、$*$ は $*$ の像）。$a'$ が active なので、$e'(i)=*$ と $f(i)=a'(e'(i))=*$ は同値であり、$e'$ は $S$ を $\langle k'\rangle^\circ$ へ、$S$ の外を $*$ へ送る。$e'$ が inert なので、制限 $S\to\langle k'\rangle^\circ$ は全単射である。$e$ についても同じである。そこで $\theta:=e'\circ(e|_S)^{-1}$ を $\langle k\rangle^\circ$ 上で定め、$\theta(*)=*$ とおくと、$\theta$ は同型で $\theta e=e'$ を満たす。$j=e(s)$ について $a'\theta(j)=a'e'(s)=f(s)=ae(s)=a(j)$ である。$e$ は全射なので、$\theta e=e'$ を満たす $\theta$ はただ 1 つである。

3．$y\in\langle k\rangle^\circ$ の唯一の逆像を $\sigma_e(y)$ として $d(y):=u(\sigma_e(y))$、$d(*):=*$ とおく。$e(i)\neq*$ なら $i=\sigma_e(e(i))$ なので $de(i)=u(i)$ である。$e(i)=*$ なら $a(u(i))=v(e(i))=*$ で、$a$ が active なので $u(i)=*=de(i)$ である。また $ad(y)=au(\sigma_e(y))=ve(\sigma_e(y))=v(y)$ である。$e$ は全射なので、$de=u$ を満たす $d$ はただ 1 つである。$\blacksquare$

内部ホーン $\Lambda^n_k\to N(\mathcal A)$ と、それと両立する $\Delta^n\to N(\mathcal B)$ をとる。準圏 の定理「脈体の内部ホーンは一意に充填される」により、ホーンは $N(\mathcal A)$ でただ 1 通りに $\tau$ へ延び、$N(F)\tau$ と与えられた単体は $N(\mathcal B)$ の同じホーンの延長なので等しい。よって $N(F)$ は内部ファイブレーションである。

$N(\mathcal A)_{e/}$ の $n$ 単体は射の列 $x\xrightarrow{e}y\to z_0\to\cdots\to z_n$ であり、$e$ を除いた部分は余スライス圏 $\mathcal A_{y/}$ の $n$ 単体と一対一に対応し、面と退化もこの対応で一致する（スライス圏(∞圏) の命題「通常のスライス」の証明と同じ）。同様に $N(\mathcal A)_{x/}\cong N(\mathcal A_{x/})$、$N(\mathcal B)_{Fx/}\cong N(\mathcal B_{Fx/})$、$N(\mathcal B)_{Fe/}\cong N(\mathcal B_{Fy/})$ であり、脈体はファイバー積を保つ（脈体 の定理「脈体関手の左随伴」により右随伴である）。これらの同一視で、定義の写像は関手 $$\theta\colon\mathcal A_{y/}\to\mathcal T:=\mathcal A_{x/}\times_{\mathcal B_{Fx/}}\mathcal B_{Fy/},\qquad(h\colon y\to z)\mapsto(h\circ e,\ Fh)$$ の脈体 $N(\theta)$ になる。$\mathcal T$ の対象は、$Fa=\beta\circ Fe$ を満たす組 $(a\colon x\to z,\ \beta\colon Fy\to Fz)$ であり、$(a,\beta)$ から $(a',\beta')$ への射は $ta=a'$、$F(t)\beta=\beta'$ を満たす $t\colon z\to z'$ である。

$e$ が通常の意味で coCartesian なら、$\theta$ は対象について全単射である。射については、$\theta(h)$ から $\theta(h')$ への $\mathcal T$ の射 $t$ をとると、$th$ と $h'$ はどちらも $F$ で $Fh'$ に写り、$e$ との合成が $h'e$ で等しいので、単射性から $th=h'$ となり、$t$ は $\mathcal A_{y/}$ の射 $h\to h'$ である。逆に $\mathcal A_{y/}$ の射は $\mathcal T$ の射を与える。よって $\theta$ は圏の同型であり、$N(\theta)$ は単体的集合の同型なので自明 Kan ファイブレーションである。

逆に $N(\theta)$ が自明 Kan ファイブレーションなら、$\partial\Delta^0=\emptyset\subset\Delta^0$ に対する持ち上げから $\theta$ は対象について全射である。$\theta(h)=\theta(h')$ なら、$\partial\Delta^1\subset\Delta^1$ に対する持ち上げを $h,h'$ と $\theta(h)$ の恒等射に当てると、$\theta(t)=\operatorname{id}$ となる射 $t\colon h\to h'$ があり、$t=\operatorname{id}_z$ なので $h'=th=h$ である。よって $\theta$ は対象について全単射であり、これは通常の意味で coCartesian であることそのものである。$\blacksquare$

一般の $p$-coCartesian 辺 $e_i\colon C'\to C''_i$（$\rho^i$ の上）を選んだ場合、lem-io-nerve-cocartesian により $e_i$ も通常の意味で coCartesian である。$\varepsilon_i$ の性質から $e_i=\kappa_i\circ\varepsilon_i$ となる $\operatorname{id}_{\langle1\rangle}$ の上の射 $\kappa_i$ がただ 1 つあり、$e_i$ の性質から $\varepsilon_i=\lambda_i\circ e_i$ となる $\lambda_i$ がただ 1 つある。$\lambda_i\kappa_i\varepsilon_i=\varepsilon_i$ と一意性から $\lambda_i\kappa_i=\operatorname{id}$、同様に $\kappa_i\lambda_i=\operatorname{id}$ なので $\kappa_i$ は同型である。よって $g\mapsto(e_ig)_i$ は、$g\mapsto(\varepsilon_ig)_i$ に同型 $\kappa_i$ の合成を続けたものであり、全単射である。