Koszul複体

同義語：Koszul complexコシュル複体

概要

前提知識: 加群, 外積代数, 複体, ホモロジー, 完全列

方程式とその関係を複体にする

環の元 $x_1,\ldots,x_r$ が加群に作用すると、その像を法として方程式 $x_i=0$ を課した商が得られる。しかし商だけを見ても、元どうしの関係や零因子による障害は分からない。Koszul複体は、有限個の元とその間の関係を外積の各次数に並べて記録する。
一元の場合はその元の掛算写像だけであり、核は零因子による障害を表す。二元の場合は一次の関係と、両方の元に零化される元が現れる。一般の有限列では外積の符号がこれらを統一する。正則列であれば正次数のホモロジーが消え、環自身に対して作った複体は商環の有限自由解像度になる。
逆向きの主張には仮定が必要である。単元を含む列ではホモロジーがすべて消えるが、正則列の定義で要求する真の商は失われる。Noether局所環上の非零有限生成加群に、極大イデアル内の列を作用させる場合には、一次ホモロジーの消滅から正則性を戻せる。以下では、この仮定の下での逆向きも証明する。

外積と微分の定義

以下、$R$ は単位元をもつ可換環、$M$ は $R$ 加群、$\boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_r)$ は有限列とする。零環、零加群、空列を構成上は許す。複体はホモロジー次数を用い、微分は次数を一つ下げる。
$E=R^r$ の基底を $e_1,\ldots,e_r$ とする。外積代数はテンソル代数に $v\wedge v=0$ を課して作る。$e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_q}$、$i_1<\cdots< i_q$ が $\bigwedge^qE$ の基底である。順序を入れ替えると符号が変わる。標数二でも交代性 $e_i\wedge e_i=0$ は定義に含める。
この基底表示は、交換関係で任意の語を増加順へ直し、重複した指数の語を零にすることで生成を示せる。独立性は増加順の語を形式基底とする自由加群に、重複なら零、異なる指数なら並べ替えの符号を付けた積を定義することで示せる。その積は外積の交代関係を満たすので、外積代数から逆向きの写像ができ、基底の像を保つ。

Koszul複体

$\boldsymbol x$ の $M$ を係数とするKoszul複体は
$$K_q(\boldsymbol x;M)=\bigwedge^qE\otimes_R M\qquad(0\le q\le r)$$
であり、他の次数は零とする。微分は
$$d(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_q}\otimes m)=\sum_{j=1}^q(-1)^{j-1}e_{i_1}\wedge\cdots\widehat{e_{i_j}}\cdots\wedge e_{i_q}\otimes x_{i_j}m$$
で定める。帽子はその因子を除くことを表す。$M=R$ の場合は $K(\boldsymbol x;R)$ と書く。

$d^2=0$ を確認する。固定した二つの位置 $j< k$ を除く項は二通りに現れる。先に $j$、後に元の $k$ を除くと符号は $(-1)^{j-1}(-1)^{k-2}$。先に $k$、後に $j$ を除くと $(-1)^{k-1}(-1)^{j-1}$ である。二つは反対符号で、係数はどちらも $x_{i_j}x_{i_k}m$ だから相殺する。すべての二位置の組について相殺するので $d^2=0$。標数二でも同じ加法的相殺が成立する。

次数零では $K_0=M$、$d:K_1\to K_0$ の像は $\sum_i x_iM$ なので
$$H_0(\boldsymbol x;M)=M/(x_1,\ldots,x_r)M.$$
記号 $H_q$ は微分の核を前の次数からの像で割ったホモロジーを表す。正次数のホモロジーは、この商に至る関係の障害を表している。

各元がホモロジーを零化するホモトピー

明示的なホモトピー

各 $x_i$ の作用はKoszul複体上で零写像とホモトピックである。従ってすべての $q$ について $x_iH_q(\boldsymbol x;M)=0$ となり、ホモロジーは $R/(\boldsymbol x)$ 加群になる。

次数を一つ上げる写像 $h_i$ を左から $e_i$ を外積する写像とする。外積の任意の斉次元 $v$ について、定義した微分は
$$d(e_i\wedge v)=x_iv-e_i\wedge d(v)$$
を満たす。基底の語へ代入すれば、先頭の因子を除く項が $x_iv$、残りの項には先頭を通過した負符号が付くことから確認できる。$M$ の係数も同じままである。従って $dh_i+h_id=x_i\operatorname{id}$ となる。
サイクル $z$ に対して $x_iz=d(h_iz)$ なので、$x_i$ 倍は境界である。従ってホモロジーへの作用は零になる。

一つでも $x_i$ が単元なら、$x_i^{-1}h_i$ は恒等写像の零へのホモトピーになる。従ってその場合は次数零も含めすべてのホモロジーが零である。この消滅は正則列の真の商条件を保証しない。

一元と二元の全計算

一元 $x$ の場合、複体は $0\to M\xrightarrow{x}M\to0$ である。従って
$$H_0(x;M)=M/xM,\qquad H_1(x;M)=\{m\in M\mid xm=0\},$$
他のホモロジーは零である。$x$ の作用が単射なら正次数は消える。$x=0$ なら両方のホモロジーは $M$ になる。
二元 $(x,y)$ の場合、基底を $e_1,e_2,e_1\wedge e_2$ とする。複体は
$$0\longrightarrow M\xrightarrow{d_2}M\oplus M\xrightarrow{d_1}M\longrightarrow0,$$
$$d_2(c)=(-yc,xc),\qquad d_1(a,b)=xa+yb$$
である。微分の積は $-xyc+yxc=0$。従って
$$H_2=\{c\mid xc=yc=0\},$$
$$H_1=\frac{\{(a,b)\mid xa+yb=0\}}{\{(-yc,xc)\mid c\in M\}},\qquad H_0=M/(x,y)M.$$
これらの公式にはNoether性や有限生成性を仮定しない。一次ホモロジーはすべての関係から、可換性から来る自明な関係を取り除いたものである。
体 $k$ に対して $R=k[t]$、$M=R$、列 $(t,t)$ を取る。サイクルは $(a,-a)$ の形であり、境界は $(-tc,tc)$。従って $H_1\cong R/tR\cong k$、$H_2=0$、$H_0\cong k$ である。最初の $t$ は非零因子だが、二番目の $t$ は最初の商で零として作用するので正則性を失う。

一元追加とmapping cone

$\boldsymbol x'=(x_1,\ldots,x_{r-1})$、$x=x_r$ と置き、$K'=K(\boldsymbol x';M)$ とする。$E$ の外積を最後の基底を含まない部分と含む部分に分ければ、次数 $q$ の元は $u+e_r\wedge v$、$u\in K'_q$、$v\in K'_{q-1}$ と一意に書ける。この表示は通常の増加順基底と符号で変換される。
微分はこの対の表示で
$$d(u,v)=(d'u+xv,-d'v)$$
となる。従ってKoszul複体は、$K'$ の $x$ 倍写像のmapping coneである。包含 $u\mapsto(u,0)$ と射影 $(u,v)\mapsto v$ により、複体の短完全列 $0\to K'\to K\to K'[-1]\to0$ が得られる。最後の移動複体の微分は $-d'$ である。

一元追加の長完全列

すべての次数に対して自然な長完全列
$$\cdots\longrightarrow H_q(K')\xrightarrow{x}H_q(K')\longrightarrow H_q(K)\longrightarrow H_{q-1}(K')\xrightarrow{x}H_{q-1}(K')\longrightarrow\cdots$$
がある。

$K$ のサイクル $(u,v)$ は $d'v=0$、$d'u=-xv$ を満たす。射影は $[v]\in H_{q-1}(K')$ を与え、この類は $x$ で零になる。逆に $[v]$ が $x$ で零なら $xv=-d'u$ とする $u$ を選べるのでサイクル $(u,v)$ に戻る。これで射影の像と次の核の一致を得る。
射影した類が零なら $v=d'w$ と書ける。$K$ の境界 $d(0,-w)=(-xw,d'w)$ を引くことで、同じホモロジー類を $(u+xw,0)$ の形にできる。この第一成分はサイクルだから、$H_q(K')$ の像になる。
最後に、$K'$ のサイクル $u$ が $K$ で境界なら、$(u,0)=d(a,b)=(d'a+xb,-d'b)$ である。$b$ はサイクルで、$[u]=x[b]$。逆に $x$ 倍のサイクル $(xb,0)=d(0,b)$ は $K$ で境界になる。これで残る像と核も一致する。各次数で同じ計算ができるので長完全列全体を得る。記した接続写像はこのconeの符号規約で $x$ 倍である。

正則列からホモロジー消滅へ

列 $\boldsymbol x$ が $M$ 正則であるとは、各 $x_i$ の掛算が $M/(x_1,\ldots,x_{i-1})M$ 上で単射であり、最後の商が非零であることとする。最後の商の非零を省くと単元列を含む別の規約になるので、本記事ではこの二つを区別する。空列は $M\ne0$ のとき正則とする。

正則列のKoszulホモロジー

任意の可換環 $R$、加群 $M$ について、列が各段で単射作用をもつなら $H_q(\boldsymbol x;M)=0$ がすべての $q>0$ で成立する。特に $M$ 正則列について成立する。

列の長さに関して帰納する。空列では $K_0=M$ だけなので正次数は零。一元の場合は上の核の計算で成立する。一般の場合、前の列の正次数ホモロジーは帰納によって零になる。長完全列から $q>1$ のホモロジーは零で、$H_1(K)$ は $x_r$ の $H_0(K')=M/(x_1,\ldots,x_{r-1})M$ 上の作用の核と同型になる。この作用は仮定から単射なので $H_1(K)=0$。これで全次数を得る。

この向きにはNoether性も加群の有限生成性も必要ない。必要なのは各段での掛算の単射性である。一方、正次数の消滅から各段の単射性を戻すには以下の有限性を使う。

局所環上の有限生成加群での逆向き

局所環での一次ホモロジー判定

$(R,\mathfrak m)$ をNoether局所環、$M$ を非零有限生成加群、$x_1,\ldots,x_r\in\mathfrak m$ とする。次は同値である。

列は $M$ 正則である。
すべての正次数Koszulホモロジーは零である。
$H_1(\boldsymbol x;M)=0$ である。

1から2は前の定理、2から3は明らか。3から1を列の長さに関して帰納する。空列は定義から正則。一元なら $H_1$ は掛算の核だから単射性を得る。
一般の場合、長完全列の一部から $H_1(K')/x_rH_1(K')$ は $H_1(K)$ に単射する。右辺が零なので $H_1(K')=x_rH_1(K')$ となる。$K'$ の各項は有限生成で、環はNoetherだから核と商である $H_1(K')$ も有限生成。有限Nakayamaによりこれが零となる。
ここで使ったNakayamaを確認する。有限加群 $Q=x_rQ$ の生成元を $q_i$ とし、$q_i=\sum_jb_{ij}q_j$、$b_{ij}\in(x_r)$ と書く。行列 $E-B$ の余因子行列を掛けると、その行列式が全生成元を零化する。行列式は $1-a$、$a\in(x_r)\subset\mathfrak m$ で、局所環では単元だから $Q=0$。
帰納により前の列は正則。長完全列で $H_1(K)=0$ を使うと、$x_r$ の $H_0(K')$ 上の作用の核も零となる。最後に $M/(\boldsymbol x)M$ が零なら $M=(\boldsymbol x)M$ となり、同じ有限Nakayamaを $M$ に適用して $M=0$ となるが仮定に反する。従って最後の商は非零で、列は正則である。

この逆向きはNoether局所、有限 $M$、非零 $M$、列が極大イデアル内という条件を使った。ホモロジーの有限性とNakayamaが適用できること、最後の商が非零であることをそれぞれ保証している。これらの条件を省くと、同じ判定は一般には成り立たない。

自由解像度とTorの計算

正則列とKoszulホモロジーの定理は Mat89 §16, Theorem 16.5 に対応する。以下の解像度は thm-koszul-regular-vanishing から直接得られる。
$M=R$ で列が $R$ 正則なら、$K_q(\boldsymbol x;R)$ は有限自由加群であり、正次数のホモロジーは零、次数零は $R/(\boldsymbol x)$ である。自然な増大写像 $K_0=R\to R/(\boldsymbol x)$ を付ければ自由解像度となる。
従って任意の $R$ 加群 $M$ について、この自由解像度をテンソルして
$$\operatorname{Tor}^R_q(R/(\boldsymbol x),M)\cong H_q(\boldsymbol x;M)$$
を得る。テンソル後の微分は同じ係数 $x_i$ を掛ける写像だから、テンソルした複体は定義したKoszul複体そのものである。
ここでは列が $R$ 正則であることを仮定として用いた。列が単に $M$ 正則なら、$K(\boldsymbol x;M)$ は一般には自由加群からなるとは限らない。また $R$ 正則でない列についてKoszul複体をそのまま自由解像度と呼び、Torを計算することはできない。
体 $k$、$R=k[t]$、$M=R/(t)$ とする。$t$ は $R$ の非零因子なので、$0\to R\xrightarrow{t}R\to R/(t)\to0$ は自由解像度である。$M$ をテンソルすると微分は零になり、$\operatorname{Tor}^R_0(k,k)=k$、$\operatorname{Tor}^R_1(k,k)=k$、高い次数は零となる。環上の列の正則性と、テンソルした係数加群上での正則性は異なることが見える。

空列・単元列・零列と反例

空列では $E=0$、$K_0=M$、他の項は零なので $H_0=M$、正次数は零である。$M=0$ ならすべての複体は零になるが、最後の非零商を含む正則列の規約には当てはまらない。零環上の単位的加群も零なので、この端点は構成に関して矛盾しない。
単元を含む列では明示ホモトピーからすべてのホモロジーが零。しかし商 $M/(\boldsymbol x)M$ も零なので、非零 $M$ に対して本記事の正則列ではない。体 $k$ 上の一元列 $(1)$ が最も簡単な例であり、局所環での逆向きの判定で、列が極大イデアル内にあるという条件は外せない。
すべての元が零の長さ $r$ の列なら微分はすべて零で、$H_q=\bigwedge^qR^r\otimes_RM$ である。$M\ne0$、$r\ge1$ なら一次ホモロジーは非零であり、正則性も最初の単射の段で失われる。
体 $k$ に対し $R=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$、列 $(\varepsilon)$、$M=R$ を取る。$H_0=k$、$H_1=(\varepsilon)\cong k$ となる。$\varepsilon$ の零因子性が一次ホモロジーとして現れる。この複体は $k$ の自由解像度ではないので、高次のTorを零と結論してはいけない。

多項式環の座標列

体 $k$ に対して $R=k[t_1,\ldots,t_r]$ とする。$r$ は有限の非負整数である。座標列 $(t_1,\ldots,t_r)$ は $R$ 正則列である。各段の商は残りの変数の多項式環であり、次の変数の掛算は係数を一つ次数へ移すので単射である。最後の商は非零の体 $k$ となる。従ってこの列のKoszul複体は $k$ の有限自由解像度になる。
この解像度に $k$ をテンソルすると、すべての $t_i$ の作用が零になるので微分は零である。従って $0\le q\le r$ で
$$\operatorname{Tor}^R_q(k,k)\cong\bigwedge^qk^r,$$
$q>r$ では零である。次数 $q$ の次元は $\binom rq$ となる。$r=0$ なら $R=k$、次数零だけが $k$ で、同じ端点に一致する。この計算は外積の基底と、Koszul複体が解像度であることに依存する。任意の列について同じ二項係数のTorを主張するものではない。
二元の場合の正則性も関係から直接確認できる。$R=k[x,y]$ で $xa+yb=0$ なら、$x$ を法として $yb=0$ が $k[y]$ の中で成り立つので $b=xc$ と書ける。元の関係へ戻して $x(a+yc)=0$、整域での消去から $a=-yc$。従ってすべての一次サイクルは $(-yc,xc)$ の境界となる。二次サイクルも $xc=0$ から零である。一般の帰納証明が、この具体的な関係の除去を反復していることが見える。

順序の変更と符号

列の順序を置換すると、自由加群の基底の同じ置換が外積代数の同型を与える。次数 $q$ の基底では外積の並べ替えの符号を含める。この写像は各基底を対応する係数へ送る微分を保つので、Koszul複体どうしは同型になる。従ってホモロジーの消滅は列の順序に依存しない。
Noether局所環上の非零有限加群で列が極大イデアル内なら、逆向きの判定と合わせて、正則列を置換しても正則となることが分かる。一般の環や一般加群における正則列の順序独立性を無条件に主張しているわけではない。Koszul複体の置換同型自体には局所性は不要であり、正則性へ戻す段に仮定が必要となる。

使う際の確認

Koszul複体を作るだけなら任意の有限列と任意の係数加群でよい。正次数ホモロジーの消滅を得たい場合は、列が各商で単射に作用することを確認する。逆にホモロジーから正則性を判定する場合は、局所性と有限性を確認する。Torを計算する場合は、環自身の上で自由解像度が成立していることを先に確かめる。
本記事のmapping coneの符号規約では、対の微分を $(d'u+xv,-d'v)$ とした。他の規約を使う場合、射影や接続写像に符号が変わり得るが、同じ規約を一貫して使えば完全性と消滅の結論は変わらない。一元・二元の計算へ戻して符号を確認すると、外積の順序と微分の取り違えを避けられる。
より進んだ応用には、深さと射影次元の理論が必要になる。基本的な計算では、複体の構成とホモロジーの零化は任意の有限列で使える一方、正則性への逆向きと自由解像度にはそれぞれ別の仮定が必要であることを確認するとよい。