エタール空間

要点：2 つの基本集合に共通な芽では代表どうしが近傍で一致し、その近傍への制限が共通部分に入る基本集合を与える。

要点：$\hat{s}^{-1}(\langle t,V\rangle)=\{x\in U\cap V\mid s_x=t_x\}$ は開集合であり、$\pi|_{\langle s,U\rangle}$ と $\hat{s}$ は互いに逆である。

要点：$p$ が単射になる近傍の中で $p\circ\sigma=\mathrm{id}$ を使う。

1：$\sigma$ が連続とし、$x\in U$ をとる。$\sigma(x)=s_x$ となる $s\in\mathcal{F}(V)$ を選ぶと、$\langle s,V\rangle$ は $\sigma(x)$ の開近傍なので、$W:=\sigma^{-1}(\langle s,V\rangle)\cap V$ は $x$ の開近傍である。$y\in W$ では $\sigma(y)\in\langle s,V\rangle$ かつ $\pi(\sigma(y))=y$ なので $\sigma(y)=s_y$、すなわち $W$ 上で $\sigma=\widehat{s|_W}$ である。逆に、局所的に $\hat{t}$ と一致する写像は、prop-etale-space-local-homeomorphism の 1 により局所的に連続なので連続である。
したがって、連続な切断を「各点に芽を指定した族」とみると、$\mathcal{S}_{\operatorname{Et}(\mathcal{F})}(U)$ は 層化 の定義「局所的に代表される芽の族」の集合と一致し、$\eta_U$ は $s$ をその芽の族に送る標準写像と一致する。制限はどちらも族を絞る操作である。層化 の定理「芽による層化は普遍的である」により、これは $\mathcal{F}$ の層化である。
2：単射性：$\hat{s}=\hat{t}$ なら、すべての $x$ で $s_x=t_x$ なので、各点の近傍で $s$ と $t$ は一致し、層の条件の一意性により $s=t$ である（層 の命題「切断は芽で決まる」）。全射性：$\sigma\in\mathcal{S}_{\operatorname{Et}(\mathcal{F})}(U)$ とする。1 により $U$ の開被覆 $\{W_i\}$ と $t_i\in\mathcal{F}(W_i)$ で $\sigma|_{W_i}=\hat{t}_i$ となるものがある。$W_i\cap W_j$ の各点で $t_i$ と $t_j$ の芽は一致するので、単射性の議論により $t_i|_{W_i\cap W_j}=t_j|_{W_i\cap W_j}$ である。層の条件により $s|_{W_i}=t_i$ となる $s\in\mathcal{F}(U)$ があり、$\hat{s}$ と $\sigma$ は各 $W_i$ の上で一致するので $\hat{s}=\sigma$ である。$\square$

関手であること。 $\operatorname{Et}(\varphi)\circ\hat{s}=\widehat{\varphi_U(s)}$ は連続なので、prop-etale-space-local-homeomorphism の 4 により $\operatorname{Et}(\varphi)$ は連続であり、$\pi$ と両立する。恒等射と合成が保たれることは定義から明らかである。$g\circ\sigma$ は連続で $p'\circ g\circ\sigma=p\circ\sigma=\mathrm{id}$ なので、$\mathcal{S}(g)$ は層の射である。
$\mathcal{F}\cong\mathcal{S}_{\operatorname{Et}(\mathcal{F})}$。 thm-etale-space-sheafification の 2 により $\eta$ は同型であり、$\mathcal{S}(\operatorname{Et}(\varphi))(\hat{s})=\operatorname{Et}(\varphi)\circ\hat{s}=\widehat{\varphi(s)}=\eta(\varphi(s))$ なので $\varphi$ について自然である。
$\varepsilon_E$ は同相写像である。 矛盾なく定まること：$\sigma_x=\tau_x$ なら $\sigma$ と $\tau$ は $x$ の近傍で一致するので $\sigma(x)=\tau(x)$。単射性：$\sigma(x)=\tau(x)$ なら lem-etale-space-sections-open の 1 により $\sigma$ と $\tau$ は $x$ の近傍で一致し、$\sigma_x=\tau_x$ である。全射性：$e\in E$ に対し、lem-etale-space-sections-open の 2 の証明の $\sigma_0=(p|_V)^{-1}$ は $\sigma_0(p(e))=e$ を満たす。$\varepsilon_E$ は $X$ 上の写像であり、基本集合 $\langle\sigma,U\rangle$ を $\sigma(U)$ に写す。逆に $\varepsilon_E^{-1}(\sigma(U))=\langle\sigma,U\rangle$ である。実際、$\tau(x)=\sigma(u)$ なら両辺を $p$ で写して $x=u$、したがって $\tau(x)=\sigma(x)$ であり、単射性の議論から $\tau_x=\sigma_x$ となる。$\{\langle\sigma,U\rangle\}$ は $\operatorname{Et}(\mathcal{S}_E)$ の開基、$\{\sigma(U)\}$ は $E$ の開基（lem-etale-space-sections-open の 2）であり、全単射 $\varepsilon_E$ はこの 2 つの開基を互いに対応させるので、同相写像である。
自然性。 $g\colon E\to E'$ について $\varepsilon_{E'}\bigl(\operatorname{Et}(\mathcal{S}(g))(\sigma_x)\bigr)=\varepsilon_{E'}\bigl((g\circ\sigma)_x\bigr)=g(\sigma(x))=g(\varepsilon_E(\sigma_x))$ である。
以上で、$\mathcal{S}\circ\operatorname{Et}\cong\mathrm{id}_{\mathrm{Sh}(X)}$ と $\operatorname{Et}\circ\mathcal{S}\cong\mathrm{id}_{\mathrm{LH}(X)}$ が自然同型として得られた。$\square$

要点：$t\in\mathcal{G}(V)$ から切断 $x\mapsto(x,t_{f(x)})$ を作り、茎の上で全単射であることを確かめる。

Hausdorff なら：$A(s,t)$ は 2 つの連続写像 $\hat{s},\hat{t}\colon U\to\operatorname{Et}(\mathcal{F})$ が一致する点の集合であり、値域が Hausdorff なので閉集合である。
逆：$e\neq e'$ を $\operatorname{Et}(\mathcal{F})$ の 2 点とする。$\pi(e)\neq\pi(e')$ なら、$X$ の互いに交わらない開近傍の $\pi$ による逆像が $e,e'$ を分離する。$\pi(e)=\pi(e')=x$ なら、代表を共通の開集合 $U$ に制限して $e=s_x$、$e'=t_x$（$s,t\in\mathcal{F}(U)$）と書ける。$x\notin A(s,t)$ で $A(s,t)$ は閉集合なので、$x$ の開近傍 $W\subset U$ で $W\cap A(s,t)=\emptyset$ となるものがある。このとき $\langle s|_W,W\rangle$ と $\langle t|_W,W\rangle$ は交わらない（共通の元は $s_y=t_y$ となる $y\in W$ を与える）ので、$e,e'$ は分離される。$\square$

$s,t\in\mathcal{O}(U)$ とし、$y\in U$ を $A(s,t)$ の閉包の点とする。$y$ を中心とし $U$ に含まれる開円板 $\Delta$ は連結で、$A(s,t)$ の点 $z$ を含む。$z$ の近傍で $s=t$ なので、$s|_\Delta$ と $t|_\Delta$ は $\Delta$ の空でない開集合で一致し、一致の定理 の定理「平面の領域上の一致の定理」により $\Delta$ 全体で一致する。よって $s_y=t_y$、すなわち $y\in A(s,t)$ であり、$A(s,t)$ は閉集合である。$D$ は Hausdorff なので、prop-etale-space-hausdorff により結論が従う。$\square$