普遍アーベル被覆

$q$ がアーベル被覆なら、$H$ は正規で、被覆変換 の系「正則被覆の特徴づけ」により $G(E/X)\cong\pi/H$ である。これが可換なので、交換子部分群 の命題「アーベル商と交換子部分群」により $C\subset H$ である。
逆に $C\subset H$ とする。$x\in\pi$、$h\in H$ について $xhx^{-1}=h\cdot(h^{-1}xhx^{-1})$ で、$h^{-1}xhx^{-1}\in C\subset H$ なので $xhx^{-1}\in H$ であり、$H$ は正規である。$\pi/H$ は可換群 $\pi/C$ の商なので可換であり、同じ系により $G(E/X)\cong\pi/H$ は可換である。$\square$

1：lem-uac-subgroup と、その直後の注意による。$\pi^{\mathrm{ab}}\cong H_1(X)$ は Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」である。
2：lem-uac-subgroup により $C\subset H=q_*\pi_1(E,e_0)$ である。$\hat X$ と $E$ は局所弧状連結な $X$ の被覆なので局所弧状連結であり（局所弧状連結空間 の系「被覆写像と局所弧状連結性」）、弧状連結である。$p_*\pi_1(\hat X,\hat x_0)=C\subset H$ なので、持ち上げの判定法（被覆変換 の補題「持ち上げの判定法」を被覆 $q$ と写像 $p$ に当てる）により、$q\circ f=p$、$f(\hat x_0)=e_0$ を満たす $f$ がただ 1 つ存在する。
$f$ が全射であることを示す。$e\in E$ をとり、$e_0$ から $e$ への $E$ の道 $\beta$ をとる。$q\circ\beta$ の $p$ に沿った持ち上げで $\hat x_0$ から始まるもの $\hat\beta$ をとると（被覆空間 の定理「道の持ち上げ」）、$f\circ\hat\beta$ と $\beta$ はともに $q\circ\beta$ の $q$ に沿った持ち上げで $e_0$ から始まるので、持ち上げの一意性により一致し、$e=f(\hat\beta(1))$ である。
$f$ が被覆写像であることを示す。$e\in E$、$x:=q(e)$ とし、$p$ と $q$ の両方について均一に被覆される弧状連結な開近傍 $W\ni x$ をとる（両者の均一被覆近傍の共通部分の中に、局所弧状連結性によりとれる）。$e$ を含む $q$ のシートを $W_e$ とする。$p$ の $W$ 上のシート $V$ は弧状連結なので、$f(V)\subset q^{-1}(W)$ はただ 1 つの $q$ のシート $W'$ に含まれ、$f|_V=(q|_{W'})^{-1}\circ p|_V$ は $V$ から $W'$ への同相写像である。よって $f^{-1}(W_e)$ は $f(V)\subset W_e$ となる $p$ のシート $V$ の互いに交わらない和で、各 $V$ は $W_e$ の上へ同相に写る。$f$ は全射なので被覆写像である。
3：$H':=p'_*\pi_1(X',x'_0)$（$x'_0\in p'^{-1}(x_0)$）とおく。$p'$ はアーベル被覆なので lem-uac-subgroup により $C\subset H'$ である。$p'$ の普遍性から被覆の射 $g\colon X'\to\hat X$ があり、$p'=p\circ g$ なので
$$ H'=p_*g_*\pi_1(X',x'_0)\subset p_*\pi_1(\hat X,g(x'_0))=C $$
である。最後の等号は、基点を取り替えると部分群が共役に替わり（被覆変換 の補題「基点を取り替えたときの部分群」）、$C$ が正規であることによる。よって $H'=C$ である。2 により $f\colon\hat X\to X'$、$f(\hat x_0)=x'_0$ があり、持ち上げの判定法により $f'\colon X'\to\hat X$、$f'(x'_0)=\hat x_0$、$p\circ f'=p'$ がある。$f'\circ f$ は $p$ の持ち上げで $\hat x_0$ を固定するので、持ち上げの一意性（被覆空間 の定理「持ち上げの一意性」）により恒等写像であり、同様に $f\circ f'=\mathrm{id}$ である。$\square$

被覆空間 の定理「普遍被覆の存在と被覆空間の分類」の 2 により、弧状連結な被覆 $p\colon\hat X\to X$ で $p_*\pi_1(\hat X,\hat x_0)=C$ となるものが存在する。thm-uac-main の 2 によりこれは普遍アーベル被覆で、3 により一意である。$\square$

被覆写像であること：$\lambda$ は各線分の上で連続で、$L_n$ の線分の族は局所有限な閉集合の族なので連続である。$B_n$ の $v$ の近くの開集合 $W_v$（各円周の特性写像の $[0,1/3)\cup(2/3,1]$ での像）の逆像は、格子点 $m$ を中心とする $L_n\cap\{x\mid\max_i|x_i-m_i|<1/3\}$（$m\in\mathbb{Z}^n$）の互いに交わらない和で、それぞれは $2n$ 本の半開線分を $m$ で束ねたものとして $W_v$ の上へ同相に写る。$i$ 番目の円周の中ほど（パラメータ $(1/6,5/6)$ の像）の逆像は開線分 $\{m+te_i\mid1/6< t< 5/6\}$ の和で、それぞれ同相に写る。これらの開集合が $B_n$ を覆うので、$\lambda$ は被覆写像である。
被覆変換：$L_n$ は弧状連結で、平行移動 $\tau_m(x)=x+m$（$m\in\mathbb{Z}^n$）は $\lambda\circ\tau_m=\lambda$ を満たし、$v$ のファイバー $\mathbb{Z}^n$ に推移的に作用する。被覆変換は 1 点での値で決まる（被覆変換 の補題「被覆変換は 1 点で決まる」）ので、被覆変換群は $\{\tau_m\}\cong\mathbb{Z}^n$ である。
対応する部分群：$a_i^{\pm1}$ の語 $w$ に対し、$w$ のループ $\varphi_w$（群の表示複体 の定義「円周のブーケと語のループ」）の原点からの持ち上げは、文字 $a_i^{\pm1}$ ごとに $\pm e_i$ だけ進む格子の上の道で、その終点は $\sigma(w):=(w\text{ における }a_1,\dots,a_n\text{ の指数の和})\in\mathbb{Z}^n$ である。$\pi_1(B_n,v)$ の元はすべて $[\varphi_w]$ の形なので、被覆空間 の定理「基本群との関係」の 1 により、$\lambda_*\pi_1(L_n,0)$ は $\sigma(w)=0$ となる $[\varphi_w]$ の全体、すなわち準同型 $\sigma\colon\pi_1(B_n,v)\to\mathbb{Z}^n$、$a_i\mapsto e_i$ の核である。自由群 の定理「自由群のアーベル化」により $\sigma$ はアーベル化を与え、その核は交換子部分群 $C$ である。thm-uac-main の 2 により $\lambda$ は普遍アーベル被覆である。$\square$

被覆空間 の定理「普遍被覆の存在と被覆空間の分類」の 2 により、弧状連結な被覆の同型類は $\pi$ の部分群の共役類と一対一に対応する。lem-uac-subgroup により、アーベル被覆に対応するのは $C$ を含む部分群 $H$ であり、それは正規なので共役類は $\{H\}$ だけである。$C$ を含む $\pi$ の部分群 $H$ と $\pi/C$ の部分群 $A=H/C$ とは一対一に対応し、$G(E/X)\cong\pi/H\cong(\pi/C)/(H/C)$ である。最後に $\pi/C=\pi^{\mathrm{ab}}\cong H_1(X)$（Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」）で読み替える。$\square$