絶対性(集合論)
概要
絶対性(集合論)（absoluteness）とは、集合論の論理式の量化の範囲を集合全体 $V$ からクラス $M$ に制限しても、$M$ の元をパラメータとする限り真偽が変わらない性質である。推移的なクラスに対して有界な論理式は絶対的で、$\Sigma_1$ 論理式は上向きに、$\Pi_1$ 論理式は下向きに絶対的である。ZF の推移的モデルに対しては整礎性・整列順序・有限性が絶対的で、木の射影として表される実数の主張も絶対的だが、冪集合・可算性・基数は一般に絶対的でない。$\omega_1$ を含む ZF の推移的モデルに対しては $\Sigma^1_2$ 論理式が絶対的である（Shoenfield の絶対性定理）。
集合論では、集合全体のクラス $V$ の代わりに、その一部のクラス $M$ を「集合の全体」とみなして論理式を読むことがある。量化の範囲を $M$ に制限しても真偽が変わらない論理式を、$M$ に対して絶対的という。「$x\subseteq y$」「$x$ は順序数」「関係 $R$ は整礎的」は推移的なモデルに対して絶対的だが、「$x$ は可算」「$y=\mathcal P(x)$」「$\kappa$ は基数」は一般に絶対的でない。絶対性は、構成可能宇宙 $L$ のような内部モデルや可算な推移的モデルを使った無矛盾性の証明で、モデルの中で示したことが外で何を意味するかを読み取るための基本の道具である。
この記事では、絶対性を定義し、有界な論理式と $\Sigma_1$ 論理式の絶対性、整礎性の絶対性を証明し、それを使って実数についての $\boldsymbol\Sigma^1_1$ 型の主張の絶対性を示す。絶対的でない概念の例を挙げ、Shoenfield の絶対性定理の主張を述べる。以下、$V$ は ZFC を満たすとする。
定義
論理式 $\varphi$ とクラス $M$ に対し、$\varphi$ のすべての量化 $\exists x$、$\forall x$ を $\exists x\in M$、$\forall x\in M$ に置き換えたものを $\varphi^M$ と書き、$\varphi$ の $M$ への相対化という（ZFC の定義「相対化と公理の充足」）。公理の集まり $T$ について、各 $\sigma\in T$ で $\sigma^M$ が成り立つとき、$M$ は $T$ を満たすという。推移的なクラスまたは集合で $T$ を満たすものを $T$ の推移的モデルという。
$M\subseteq N$ をクラスとし、$\varphi(x_1,\dots,x_n)$ を、自由変数が $x_1,\dots,x_n$ だけの論理式とする。
- すべての $x_1,\dots,x_n\in M$ について $\varphi^M(\vec x)\leftrightarrow\varphi^N(\vec x)$ が成り立つとき、$\varphi$ は $M,N$ の間で絶対的（absolute）であるという。$N=V$ のとき（$\varphi^V$ は $\varphi$ そのもの）、単に $M$ に対して絶対的という。
- すべての $x_1,\dots,x_n\in M$ について $\varphi^M(\vec x)\to\varphi^N(\vec x)$ が成り立つとき上向きに絶対的、$\varphi^N(\vec x)\to\varphi^M(\vec x)$ が成り立つとき下向きに絶対的という。
定義した関数記号 $F$（$y=F(\vec x)$ を表す論理式で導入したもの）については、$M$ が $F$ で閉じていて、論理式 $y=F(\vec x)$ が絶対的であるとき、$F$ が絶対的であるという。このとき $M$ の中で計算した $F^M(\vec x)$ は $F(\vec x)$ に等しい。
モデルの中で定理を使うときは、次の基本的な事実を用いる。$\sigma_1,\dots,\sigma_k$ から $\psi$ が証明できるなら、$\sigma_1^M,\dots,\sigma_k^M$ から $\psi^M$ が従う（Kun80 Chapter IV, Lemma 8.1, p. 141）。したがって $M$ が ZF を満たすなら、ZF の定理（を表す各論理式）は $M$ に相対化しても成り立つ。
有界な論理式と Σ₁ 論理式
量化がすべて $\exists u\in v$、$\forall u\in v$ の形の論理式を有界な論理式（$\Delta_0$ 論理式）という。推移的なクラス $M$ に対して有界な論理式は絶対的である（内部モデル の補題「有界な論理式の絶対性」）。$x\subseteq y$、$z=\{x,y\}$、$z=\langle x,y\rangle$、$z=\bigcup x$、「$f$ は関数で定義域は $a$」、$x=\omega$、「$x$ は推移的」は有界な論理式で書け、正則性公理のもとで「$x$ は順序数」も有界な論理式「$x$ は推移的で、$\in$ が $x$ 上の全順序」で書ける（同記事）。
有界な論理式 $\psi$ により $\exists y_1\cdots\exists y_k\,\psi$ と書ける論理式を $\Sigma_1$ 論理式、$\forall y_1\cdots\forall y_k\,\psi$ と書ける論理式を $\Pi_1$ 論理式という。公理の集まり $T$ のもとで、ある $\Sigma_1$ 論理式とも、ある $\Pi_1$ 論理式とも同値であることが $T$ から証明できる論理式を $\Delta_1^T$ 論理式という。
$M\subseteq N$ を推移的なクラスとする。
- $\Sigma_1$ 論理式は $M$ から $N$ へ上向きに絶対的であり、$\Pi_1$ 論理式は下向きに絶対的である。
- $M$ と $N$ が公理の集まり $T$ を満たすなら、$\Delta_1^T$ 論理式は $M,N$ の間で絶対的である。
1：$\varphi=\exists\vec y\,\psi(\vec x,\vec y)$（$\psi$ は有界）とし、$\vec x\in M$ で $\varphi^M(\vec x)$ が成り立つとする。これは $\psi^M(\vec x,\vec y)$ となる $\vec y\in M$ があることを意味する。有界な論理式の絶対性から $\psi^M(\vec x,\vec y)\leftrightarrow\psi(\vec x,\vec y)\leftrightarrow\psi^N(\vec x,\vec y)$ であり、$\vec y\in N$ なので $\varphi^N(\vec x)$ が成り立つ。$\Pi_1$ 論理式は $\Sigma_1$ 論理式の否定と同値なので、対偶により下向きに絶対的である。
2：$T$ から $\varphi\leftrightarrow\sigma$（$\sigma$ は $\Sigma_1$）と $\varphi\leftrightarrow\pi$（$\pi$ は $\Pi_1$）が証明できるとする。$M$ と $N$ は $T$ を満たすので、相対化した同値 $\varphi^M\leftrightarrow\sigma^M$、$\varphi^N\leftrightarrow\pi^N$ なども成り立つ。よって $\vec x\in M$ について
$$
\varphi^M\to\sigma^M\to\sigma^N\to\varphi^N,\qquad\varphi^N\to\pi^N\to\pi^M\to\varphi^M
$$
である（中央の矢印は 1）。$\square$
整礎性の絶対性
集合 $A$ と関係 $R$（順序対の集合）について、$R$ が $A$ 上で整礎的であるとは、$A$ の空でない部分集合 $X$ がどれも $R$-極小元（$yRx$ となる $y\in X$ がない $x\in X$）をもつことである（整礎関係）。この条件は「すべての $X$ について」という有界でない量化を含み、$\Pi_1$ 論理式である。したがって下向きには絶対的だが、上向きの絶対性には別の議論が要る。
$M$ を ZF の推移的モデルとし、$A,R\in M$ とする。$R$ が $A$ 上で整礎的であることと、$M$ の中で「$R$ は $A$ 上で整礎的」が成り立つことは同値である。
整礎性を表す論理式は $\Pi_1$ なので、$V$ で成り立てば $M$ でも成り立つ（prop-abs-sigma1 の 1）。
逆を示す。$\rho(f,A,R)$ を「$f$ は $A$ を定義域とする関数で、値はすべて順序数であり、$x,y\in A$、$yRx$ なら $f(y)\in f(x)$」を表す論理式とする。「$yRx$」は「ある $p\in R$ について $p=\langle y,x\rangle$」と書けるので、$\rho$ は有界な論理式である。ZF では次の 2 つが定理である。
(i) $R$ が $A$ 上で整礎的なら、$\rho(f,A,R)$ を満たす $f$ がある。実際、整礎的な関係についての再帰で $f(x):=\sup\{f(y)+1\mid y\in A,\ yRx\}$ と定めればよい。
(ii) $\rho(f,A,R)$ を満たす $f$ があれば、$R$ は $A$ 上で整礎的である。実際、空でない $X\subseteq A$ の元のうち $f(x)$ が最小のものは $R$-極小元である。
$M$ の中で「$R$ は $A$ 上で整礎的」が成り立つとする。$M$ は ZF を満たすので、(i) を $M$ に相対化して、$\rho^M(f,A,R)$ を満たす $f\in M$ を得る。$\rho$ は有界なので $\rho(f,A,R)$ が $V$ で成り立ち、(ii) により $R$ は $A$ 上で整礎的である。$\square$
証明が示すように、整礎性は ZF のもとで $\Pi_1$ 論理式とも $\Sigma_1$ 論理式「$\exists f\,\rho(f,A,R)$」とも同値な $\Delta_1^{\mathrm{ZF}}$ 論理式である。この定理を Mostowski の定理と呼ぶ文献もある（Mos09 8E.4, pp. 396–397）。(i) で使う再帰は ZF の有限個の公理しか使わないので、定理は ZF の適当な有限部分の推移的モデルについても成り立つ（同所）。
$M$ を ZF の推移的モデルとする。次の概念は $M$ に対して絶対的である。
- 「$R$ は $A$ の整列順序である」。
- 「$x$ は有限集合である」。
1：「$R$ は $A$ 上の全順序」は有界な論理式で書けるので、thm-abs-wellfounded と合わせて絶対的である。
2：「$x$ は有限」は「ある $n\in\omega$ と全単射 $f\colon n\to x$ がある」と書ける。$x=\omega$ と「$f$ は $n$ から $x$ への全単射」は有界な論理式で書けるので、これは $\Sigma_1$ 論理式であり、上向きに絶対的である。下向き：$x\in M$ が有限で $f\colon n\to x$ が全単射とする。$M$ は無限公理を満たし、$\omega$ の定義は絶対的なので $\omega\in M$、推移性から $n\in M$ である。$M$ は対の公理と和集合の公理を満たすので、$a,b\in M$ なら $\{a,b\}\in M$、$a\cup b\in M$ である（$\{a,b\}$ と $a\cup b$ は有界な論理式で定義されるので、$M$ の中で作った集合が本当の $\{a,b\}$、$a\cup b$ になる）。これを使うと、元の個数についての帰納法で $M$ の元からなる有限集合は $M$ に属する。$f$ は $M$ の元の順序対 $\langle k,f(k)\rangle\in M$ の有限集合なので $f\in M$ であり、$M$ の中でも $x$ は有限である。$\square$
順序型も絶対的である：$M$ の中で整列集合 $(A,R)$ と順序数 $\alpha$ の順序同型 $g$ があれば、「$\alpha$ は順序数で $g$ は順序同型」は有界な論理式なので、$g$ は $V$ でも順序同型である（Kun80 Chapter IV, Theorem 5.4, pp. 127–128）。有限性については Kun80 Chapter IV, Theorem 5.3（p. 127）にもある。
絶対的でない概念
$\Sigma_1$ 論理式は下向きに、$\Pi_1$ 論理式は上向きに絶対的とは限らない。代表的な例は冪集合・可算性・基数である。
$M$ を ZF の推移的モデルとし、$x\in M$ とする。$M$ の中で計算した $x$ の冪集合は $\mathcal P(x)^M=\mathcal P(x)\cap M$ である。
$z=\mathcal P(x)$ は「$\forall w\,(w\subseteq x\to w\in z)$ かつ $\forall w\in z\,(w\subseteq x)$」と書ける。$z\in M$ について、その相対化は「$M$ の元 $w$ で $w\subseteq x$ を満たすものはすべて $z$ に属し、$z$ の元はすべて $x$ の部分集合」である（$\subseteq$ は有界なので絶対的）。$M$ は推移的なので $z\subseteq M$ であり、これは $z=\mathcal P(x)\cap M$ と同じである。$\square$
$M$ を可算な推移的集合で、ZFC の有限個の公理であって、Cantor の定理「$\mathcal P(\omega)$ は可算でない」、最小の非可算順序数 $\omega_1$ の存在、prop-abs-powerset の証明に十分なものを満たすとする。このとき次が成り立つ。
- $P:=\mathcal P(\omega)^M$ は $V$ で可算だが、$M$ の中では可算でない。とくに $\Sigma_1$ 論理式「$x$ は可算」は下向きに絶対的でない。
- $M$ の中で $\omega_1$ にあたる順序数 $\omega_1^M$ は可算な順序数である。$\Pi_1$ 論理式「$\kappa$ は基数」は下向きに絶対的だが、上向きに絶対的でない。
ZFC の任意の有限個の公理について、それを満たす可算な推移的集合 $M$ が存在することは ZFC で証明できる（Kun80 Chapter IV, Corollary 7.11, p. 140。この記事では証明しない）。
1：prop-abs-powerset により $P=\mathcal P(\omega)\cap M\subseteq M$ であり、$M$ が可算なので $P$ は $V$ で可算である。一方 Cantor の定理を $M$ に相対化すると、$M$ の中で $P$ は可算でない。すなわち $\omega$ から $P$ への全射は $V$ にはあるが、$M$ の元としては存在しない。
2：「$\kappa$ は基数」は「$\kappa$ は順序数で、どの $\alpha\in\kappa$ とどの $f$ についても、$f$ は $\alpha$ から $\kappa$ への全射でない」と書け、$\Pi_1$ 論理式なので下向きに絶対的である。$\omega_1^M$ は $M$ の元なので、$M$ の可算性と推移性から $\omega_1^M\subseteq M$ は可算である。$M$ の中では $\omega_1^M$ は非可算な基数だが、$V$ では可算な無限順序数なので基数でない。$\square$
$M$ の中で非可算と判定される集合が外から見ると可算になるこの現象は、Skolem のパラドックスと呼ばれる（Löwenheim–Skolemの定理 の節「Skolem のパラドックス」、Kun80 p. 141）。内部モデルについても同じ形の比較ができる。$\omega_1$ は $V$ の非可算な基数なので、構成可能宇宙 $L$ の中でも基数であり（下向きの絶対性）、$L$ の中で可算でもない（$L$ の中で可算なら、上向きの絶対性により $V$ でも可算になる）。よって $L$ の中の最小の非可算順序数 $\omega_1^L$ は $\omega_1^L\le\omega_1$ を満たす。
実数についての絶対性
$\mathcal N:=\omega^\omega$ を自然数列の全体とする（射影階層 の節「空間と記号」）。「$x$ は $\omega$ から $\omega$ への関数」は $\omega$ をパラメータとする有界な論理式なので、ZF の推移的モデル $M$ について $\mathcal N^M=\mathcal N\cap M$ である。$M$ が可算なら $\mathcal N\cap M$ は $\mathcal N$ より真に小さいので、実数についての主張の絶対性は自明でない。
自然数の有限列の対 $(s,t)$（長さが等しい）の集合 $T$ が$\omega\times\omega$ 上の木であるとは、$(s,t)\in T$ なら、各 $k\le\operatorname{lh}(s)$ について始めの $k$ 項の対 $(s{\restriction}k,t{\restriction}k)$ も $T$ に属することをいう。$x\in\mathcal N$ について
$$
x\in p[T]\iff\text{ある }y\in\mathcal N\text{ について、すべての }n\text{ で }(x{\restriction}n,y{\restriction}n)\in T
$$
と定める。$\boldsymbol\Sigma^1_1$ 集合（解析集合）は、ちょうどこの形 $p[T]$ に書ける $\mathcal N$ の部分集合である（Mos09 p. 51 と 2C.1, p. 58。この記事では証明しない）。
$M$ を ZF の推移的モデルとし、$T\in M$ を $\omega\times\omega$ 上の木、$x\in\mathcal N\cap M$ とする。$M$ の中で「$x\in p[T]$」が成り立つことと、$V$ で $x\in p[T]$ が成り立つことは同値である。
「すべての $n\in\omega$ で $(x{\restriction}n,y{\restriction}n)\in T$」は $x,y,T,\omega$ をパラメータとする有界な論理式で書ける。よって $M$ の中で $x\in p[T]$ なら、証拠 $y\in\mathcal N\cap M$ が $V$ でも証拠になる。
逆に $V$ で $x\in p[T]$ とし、証拠を $y$ とする。$T(x):=\{t\mid(x{\restriction}\operatorname{lh}(t),t)\in T\}$ は、$T$ の元の第 2 成分の全体から有界な条件で分出される集合なので、$M$ の分出公理により $T(x)\in M$ であり、$M$ の中で作っても同じ集合になる。$T(x)$ 上の関係 $t'\mathrel{S}t$ を「$t'$ は $t$ の真の延長」で定める（これも $M$ の元）。$\{y{\restriction}n\mid n\in\omega\}\subseteq T(x)$ は空でなく、$y{\restriction}(n+1)\mathrel{S}y{\restriction}n$ なので $S$-極小元をもたない。よって $S$ は $T(x)$ 上で整礎的でなく、thm-abs-wellfounded により $M$ の中でも整礎的でない。
ZF では次が定理である：「$S$ が $T(x)$ 上で整礎的でないなら、$T(x)$ の無限の枝、すなわちすべての $n$ で $z{\restriction}n\in T(x)$ となる $z\in\mathcal N$ がある」。実際、$S$-極小元をもたない空でない $X\subseteq T(x)$ をとり、有限列全体の明示的な整列順序（たとえば有限列を自然数に符号化して比べる）を使って、$t_0$ を $X$ の最小元、$t_{k+1}$ を $X$ の元のうち $t_k$ の真の延長であるものの最小元と定めると、$z:=\bigcup_kt_k$ が枝になる（$T$ は木なので $T(x)$ は始めの部分をとる操作で閉じており、$z{\restriction}n$ はある $t_k$ の始めの部分として $T(x)$ に属する。選択公理は使わない）。この定理を $M$ に相対化すると、$M$ の中に $T(x)$ の枝 $z$ がある。$z$ は $M$ の中で $x\in p[T]$ の証拠であり、$M$ の中で $x\in p[T]$ が成り立つ。$\square$
この定理により、$\boldsymbol\Sigma^1_1$ の主張は、それを定める木と実数のパラメータを含む ZF の推移的モデルに対して絶対的である（Mos09 8E.9, p. 400 は、整礎性の絶対性 8E.4 を使う演習としてこれを扱う）。一つ上の段については、次の定理が知られている。この記事では証明しない。
$\theta(\alpha_1,\dots,\alpha_m)$ を二階算術の $\Sigma^1_2$ 論理式または $\Pi^1_2$ 論理式とする。$M$ を ZF の推移的モデルで $\omega_1\subseteq M$ を満たすものとし、$\alpha_1,\dots,\alpha_m\in\mathcal N\cap M$ とする。このとき、$\theta(\vec\alpha)$ が $V$ で成り立つことと、$M$ の中で成り立つことは同値である。とくに $\alpha_1,\dots,\alpha_m\in L$ なら、$\theta(\vec\alpha)$ の真偽は $V$ と $L$ とで一致する（Mos09 8F.10, p. 410。Shoenfield 1961）。
内部モデルはすべての順序数を含むので $\omega_1\subseteq M$ を満たす。証明では、$\Sigma^1_2$ 集合を、順序数 $\xi\ge\omega_1$ ごとに $\omega\times\xi$ 上の木の射影として表し、thm-abs-sigma11 と同じく木の整礎性の絶対性に帰着させる（Mos09 8F.8–8F.9, pp. 407–409）。帰結として、ZF に $V=L$ を加えた体系で証明できる $\Sigma^1_2$ 文・$\Pi^1_2$ 文は、実際に（$V$ で）成り立つ（Mos09 8F.10 (ii)）。選択公理 の記事で述べられている、二階算術の $\Sigma^1_3$ 文は ZFC で証明できれば ZF で証明できるという結果は、これを使う。
大きな基数との関係
推移的なクラスが「十分多くの集合を含む」ことからも絶対性が得られる。到達不能基数 $\kappa$ について、$\alpha<\kappa$ が到達不能基数・Mahlo 基数であることは、累積階層の段 $V_\kappa$ の中で判定しても $V$ で判定しても同じである（Mahlo基数 の命題「$V_\kappa$ での判定」）。判定に必要な $\alpha$ の部分集合や冪集合がすべて $V_\kappa$ に属するからで、prop-abs-powerset の $\mathcal P(x)^M=\mathcal P(x)\cap M$ が $\mathcal P(x)$ に一致する場合にあたる。
まとめと反例
次の表で、$M$ は ZF の推移的モデルである。
| 概念 | 論理式の形 | $M$ に対して |
|---|---|---|
| $x\subseteq y$、$\{x,y\}$、$\bigcup x$、関数、$\omega$、順序数 | 有界 | 絶対的 |
| 整礎的、整列順序、有限 | $\Delta_1^{\mathrm{ZF}}$ | 絶対的 |
| 可算 | $\Sigma_1$ | 上向きだけ |
| 基数 | $\Pi_1$ | 下向きだけ |
| $y=\mathcal P(x)$ | $\Pi_1$ | $\mathcal P(x)^M=\mathcal P(x)\cap M$ |
| 木の射影 $x\in p[T]$（$\boldsymbol\Sigma^1_1$） | 実数の存在量化 1 つ | 絶対的 |
| $\Sigma^1_2$・$\Pi^1_2$ | 実数の量化 2 つ | $\omega_1\subseteq M$ なら絶対的 |
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
| :-- | :-- | :-- |
| $M$ の推移性（有界な論理式の絶対性） | $M=\{0,a\}$、$a=\{\{0\}\}$ | $x\subseteq y$ の絶対性 |
| $M$ が ZF を満たすこと（cor-abs-examples の 2） | $M=\omega+1$ | 「有限」の下向きの絶対性 |
| 量化が有界であること | 可算な推移的モデル（prop-abs-countable） | 「可算」の下向きの絶対性 |
1 行目：$M$ の中では $a$ の元のうち $M$ に属するもの（$\{0\}$ は $M$ に属さない）が一つもないので $(a\subseteq0)^M$ が成り立つが、実際には $a\not\subseteq0$ である（Kun80 Chapter IV, p. 118）。$M$ は推移的でない（$\{0\}\in a\in M$ だが $\{0\}\notin M$）。2 行目：$M=\omega+1$ は推移的だが対の公理を満たさない。$M$ の元はすべて順序数で、空でない順序数は元 $0=\emptyset$ をもつが、$\emptyset$ は順序対（$\langle u,v\rangle=\{\{u\},\{u,v\}\}$ は空でない）でないので、$M$ に属する関数は空関数だけである。よって有限集合 $2=\{0,1\}\in M$ について、$M$ の中には全単射 $n\to2$ がなく、$M$ の中で $2$ は有限でない。
関連項目
参考文献
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