無限次元球面

$C\subset S^n$ を $S^n$ の閉集合とする。$m\ge n$ なら $C\cap S^m=C$ はコンパクトなので、Hausdorff 空間 $S^m$ の閉集合である。$m< n$ なら $C\cap S^m$ は $S^m$ の閉集合である（$S^m$ は $S^n$ の部分空間）。よって $C$ は $S^\infty$ の閉集合である。$C=S^n$ とすれば $S^n$ が閉であることがわかる。逆に $S^\infty$ の閉集合と $S^n$ の共通部分は定義により $S^n$ の閉集合なので、二つの位相は一致する。

$\Phi^k_\pm$ は $D^k$ を閉じた半球 $\bar e^k_\pm=\{x\in S^k\mid\pm x_k\ge0\}$ へ同相に写し（逆写像は第 $k$ 成分を忘れる射影）、境界 $\partial D^k$ を $S^{k-1}$ へ写す。よって $S^k$ は $S^{k-1}$ に $2$ つの $k$ 胞体を貼り付けた空間である。

列挙したものが部分複体であること：どれも胞体の和である。$D^k_\pm=\{x\in S^k\mid\pm x_k\ge0\}$ と $S^k$ は $S^k$ の閉集合なので、isph-prop-stage により $S^\infty$ の閉集合である。
逆に $A$ を空でない部分複体とする。$A$ が胞体 $e^k_\pm$ を含むなら、$A$ は閉なのでその閉包を含む。閉包は $S^k$ における閉包 $D^k_\pm$ に等しい（$S^k$ は閉なので）。$D^k_\pm\supset S^{k-1}$ だから、$A$ は $k$ より低い次元の胞体をすべて含む。
$A$ に含まれる胞体の次元に最大値 $k$ があるとき、$A$ は $S^{k-1}$ と、$k$ 胞体の一方または両方を含み、それより高い次元の胞体を含まない。よって $A$ は $D^k_+$、$D^k_-$、$S^k$ のどれかである。次元に上限がないとき、各 $k$ について $A$ は $k$ より高い次元の胞体を含むので $S^k\subset A$ であり、$A=S^\infty$ である。

どの $S^n$ にも含まれないとすると、狭義に増加する $n_1< n_2< \cdots$ と点 $x_j\in K\cap(S^{n_j}\setminus S^{n_j-1})$ がとれる。$A:=\{x_j\mid j\ge1\}$ の任意の部分集合 $B$ は、各 $S^m$ と有限個の点でしか交わらない（$x_j\in S^m$ なら $n_j\le m$）。有限集合は Hausdorff 空間 $S^m$ の閉集合なので $B$ は閉である。よって $A$ は無限個の点からなる離散な閉集合であり、コンパクト集合 $K$ の閉集合なのでコンパクトである。これは矛盾である。

Hausdorff であること：座標 $x\mapsto x_k$ は各 $S^n$ 上で連続なので $S^\infty$ 上で連続であり、異なる 2 点はどれかの座標で値が異なる。その値を分ける開区間の逆像が、互いに交わらない近傍になる。
$p\in S^N$ とし、$p$ が可算な基本近傍系 $U_1\supset U_2\supset\cdots$ をもつとする（有限個の共通部分をとれば減少列にできる）。$k>N$ について $U_k\cap S^k$ は $S^k$ における $p$ の近傍である。$p$ と $e_k$ は直交するので $y(t):=\cos t\,p+\sin t\,e_k$ は $S^k$ の点であり、$t\to0$ で $p$ に近づく。そこで $0< t_k< \pi/2$ を小さくとって $y_k:=y(t_k)\in U_k$ とする。$y_k$ の第 $k$ 成分は $\sin t_k\ne0$ なので、$y_k\in S^m$ となるのは $m\ge k$ のときに限る。よって $A:=\{y_k\mid k>N\}$ は各 $S^m$ と有限個の点でしか交わらず、閉集合である。$p\notin A$ なので $V:=S^\infty\setminus A$ は $p$ の開近傍だが、$y_k\in U_k\setminus V$ なのでどの $U_k$ も $V$ に含まれない。これは基本近傍系であることに反する。
距離空間はどの点でも可算な基本近傍系をもつので、$S^\infty$ は距離化可能でない。$p$ がコンパクトな近傍 $K$ をもつとすると、isph-prop-compact により $K\subset S^n$ となる $n$ があり、$p$ の開近傍 $U\subset K\subset S^n$ がとれる。$U\cap S^{n+1}$ は $S^{n+1}$ の空でない開集合で赤道 $S^n$ に含まれるが、赤道は $S^{n+1}$ の内点をもたないので矛盾する。

ずらしの写像 $\sigma\colon\mathbb{R}^\infty\to\mathbb{R}^\infty$、$\sigma(x_0,x_1,x_2,\dots):=(0,x_0,x_1,\dots)$ は線形でノルムを保ち、$\mathbb{R}^{n+1}$ を $\mathbb{R}^{n+2}$ に写す。
第 1 段：$x\in S^\infty$、$t\in[0,1]$ について $v_t(x):=(1-t)x+t\sigma(x)$ とおく。$v_t(x)\ne0$ である。実際 $t=0,1$ では $\|v_t(x)\|=1$ である。$0< t< 1$ のとき、$x_m\ne0$ となる最小の $m$ をとると、$\sigma(x)$ の第 $m$ 成分は $x_{m-1}=0$（$m=0$ なら $0$）なので、$v_t(x)$ の第 $m$ 成分は $(1-t)x_m\ne0$ である。よって
$$ F(x,t):=\frac{v_t(x)}{\|v_t(x)\|} $$
は $S^\infty$ の値をとり、$F(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$F(\cdot,1)=\sigma|_{S^\infty}$ である。
第 2 段：$\sigma(x)$ の第 $0$ 成分は $0$ なので、$\sigma(x)$ と $e_0$ は直交する単位ベクトルである。よって
$$ G(x,t):=\cos\tfrac{\pi t}{2}\,\sigma(x)+\sin\tfrac{\pi t}{2}\,e_0 $$
は $S^\infty$ の値をとり、$G(\cdot,0)=\sigma|_{S^\infty}$、$G(\cdot,1)$ は定値写像 $e_0$ である。
連続性：$F$、$G$ の $S^n\times[0,1]$ への制限は、$S^{n+1}$ に値をとる有限次元の式で与えられるので連続である。$[0,1]$ はコンパクトなので、直積 $S^\infty\times[0,1]$ は胞体 $e^k_\pm\times e^j$ をもつ CW 複体であり、その位相は直積位相に一致する（Hat02 Theorem A.6, p. 524）。したがって $W\subset S^\infty\times[0,1]$ が開であることは、すべての $n$ で $W\cap(S^n\times[0,1])$ が開であることと同値であり、$F^{-1}(U)\cap(S^n\times[0,1])=(F|_{S^n\times[0,1]})^{-1}(U)$ から $F$ は連続である。$G$ も同じである。$F$ のあとに $G$ をつないだホモトピーが、恒等写像から定値写像 $e_0$ へのホモトピーを与える。

可縮な空間のホモトピー群と被約ホモロジー群は一点のものと同じで、$0$ である（ホモトピー不変性）。包含 $i$ は $\mathrm{id}\circ i$ であり、$\mathrm{id}$ が定値写像とホモトピックなので $i$ もそうである。

$\rho$ はノルムを保つ全単射で、$S(\mathbb{F}^{n+1})$ を $S^{d(n+1)-1}$ の上へ同相に写す。$B\subset S^\infty$ について、すべての $m$ で $B\cap S^m$ が閉であることと、$m=d(n+1)-1$ の形のすべての $m$ で閉であることは同値である。実際、$m\le d(n+1)-1$ なら $B\cap S^m=(B\cap S^{d(n+1)-1})\cap S^m$ であり、$S^m$ は $S^{d(n+1)-1}$ の部分空間だからである。よって $\rho$ は弱位相の閉集合どうしを対応させる。可縮性は isph-thm-contractible から従う。