Dolbeaultラプラシアン

前提知識: Dolbeaultコホモロジー, エルミート計量, Hodgeのスター作用素, 楕円型作用素, Hodgeの定理

Dolbeaultラプラシアン（Dolbeault Laplacian、$\bar\partial$-Laplace 作用素）とは、Hermite 計量をもつ複素多様体の上で、$\bar\partial$ 作用素とその形式的随伴 $\bar\partial^*$ から作る 2 階の微分作用素
$$ \Delta_{\bar\partial}:=\bar\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\bar\partial\colon\mathcal A^{p,q}(X)\to\mathcal A^{p,q}(X) $$
である。$\Delta_{\bar\partial}\alpha=0$ となる形式を Dolbeault 調和形式（$\bar\partial$ 調和形式）という。
Riemann 多様体の上の Laplace–de Rham 作用素 $\Delta=dd^*+d^*d$ が de Rham コホモロジーの各類に調和形式という標準的な代表を与えた（Hodgeの定理）のと同じく、コンパクトな複素多様体の上では $\Delta_{\bar\partial}$ が Dolbeault コホモロジーの各類に標準的な代表を与える。この記事では、$\bar\partial^*=-*\partial*$ が形式的随伴であること、平坦な計量での明示式と $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$、主表象 $-\frac12|\xi|^2\,\mathrm{id}$ による楕円性、そしてコンパクトな $X$ の上の主定理 $\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ を証明する（楕円型作用素の一般論は引用する）。最後に、共役スター作用素が $\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}$ と $\mathcal H^{n-p,n-q}_{\bar\partial}$ を結ぶことを示す。

設定

$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体、$h$ をその Hermite 計量（エルミート計量）、$g=\operatorname{Re}h$ を Riemann 計量、$\omega$ を基本形式とする。正則局所座標では $h=\sum h_{j\bar k}\,dz_j\otimes d\bar z_k$、$\omega=\frac i2\sum h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$ である。$X$ には複素構造による標準的な向きを入れ、体積形式を $\mathrm{vol}=\omega^n/n!$ とする（エルミート計量 の命題「体積形式」）。
複素数値の $k$ 次形式の空間には、$g$ が定める内積を第 2 変数について共役線形に延ばした Hermite 内積 $\langle\ ,\ \rangle$ を入れる（$k$ 次形式では $\langle\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_k,\beta_1\wedge\cdots\wedge\beta_k\rangle=\det\bigl(\langle\alpha_i,\beta_j\rangle\bigr)$ である）。Hodge のスター作用素 $*$ を複素線形に延ばすと
$$ \alpha\wedge*\bar\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol} $$
である（Hodgeのスター作用素 の定義「Hodgeのスター作用素」の後の段落）。コンパクトな台をもつ形式について $L^2$ 内積を $\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle:=\int_X\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}$、$\|\alpha\|^2:=\langle\!\langle\alpha,\alpha\rangle\!\rangle$ とおく。

各点での線形代数

点 $x$ で、$h$ のユニタリ基底の双対の $(1,0)$ 形式 $\theta_1,\dots,\theta_n$ をとる（$h_x=\sum_j\theta_j\otimes\bar\theta_j$。エルミート計量 の命題「ユニタリ枠と構造群」）。$\theta_j$ と $\bar\theta_j$ の双対基底を $v_j,\bar v_j\in T_xX\otimes\mathbb C$（$\theta_k(v_j)=\delta_{jk}$、$\bar\theta_k(v_j)=0$ など）とし、1 次形式 $\theta$ との外積を $e(\theta)\colon\gamma\mapsto\theta\wedge\gamma$、ベクトル $v$ による内部積を $\iota(v)$ と書く。平坦な $\mathbb C^n$ では $\theta_j=dz_j$、$v_j=\partial/\partial z_j$、$\bar v_j=\partial/\partial\bar z_j$ である。

定義と基本性質

lem-dlap-algebra の 4 により、$*$ で $(p,q)\to(n-q,n-p)$、$\partial$ で $(n-q+1,n-p)$、$*$ で $(p,q-1)$ となるので、$\bar\partial^*$ は $\mathcal A^{p,q}(X)$ を $\mathcal A^{p,q-1}(X)$ に写す 1 階の微分作用素であり、$\Delta_{\bar\partial}$ は型 $(p,q)$ を保つ 2 階の微分作用素である。$\Delta_{\bar\partial}$ は計量 $h$ に依存するが、$\bar\partial$ は依存しない。

この等式は $\bar\partial^*$ を特徴づける。実際、微分作用素 $P_1,P_2$ がすべてのコンパクトな台の $\alpha$ について $\langle\!\langle\alpha,P_1\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\alpha,P_2\beta\rangle\!\rangle$ をみたせば、$\alpha$ として $P_1\beta-P_2\beta$ に切り落とし関数を掛けたものをとって $P_1\beta=P_2\beta$ を得る。$\bar\partial^*=-*\partial*$ の式は Dem12 Ch. VI (5.3)（p. 300）にある。

$(p,0)$ 形式については $\bar\partial^*$ の値は型 $(p,-1)$ なので $0$ であり、$\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial^*\bar\partial$ となる。したがってコンパクトな $X$ では、どの Hermite 計量についても
$$ \mathcal H^{p,0}_{\bar\partial}(X)=\{\alpha\in\mathcal A^{p,0}(X)\mid\bar\partial\alpha=0\}=\Omega^p(X) $$
（正則 $p$ 形式の空間）であり、計量によらない。$p=0$ では $\mathcal H^{0,0}_{\bar\partial}(X)$ は正則関数の空間で、$X$ が連結なら定数だけからなる（複素多様体 の命題「コンパクト複素多様体上の正則関数」）。

平坦な計量での形

平坦な $\mathbb C^n$ では、$\Delta_{\bar\partial}$ は正の定数倍を除いて各係数に働く Laplace 作用素であり、Dolbeault 調和形式とは係数がすべて調和関数（調和関数）である形式のことである。平坦な場合の $\bar\partial^*$ の式は Dem12 Ch. VI (6.1)–(6.2)（p. 304）にある（同書は $|dz_j|=1$ と規格化するので係数 $2$ が付かない）。$\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ は Kähler 多様体の上で一般に成り立つ（Kählerの恒等式、Dem12 Ch. VI Corollary (6.5)、p. 306）。

楕円性

主表象は Laplace–de Rham 作用素の主表象 $-|\xi|^2\,\mathrm{id}$（楕円型作用素 の命題「外微分・余微分・Laplace–de Rham 作用素の主表象」）のちょうど半分であり、平坦な場合の $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ と合っている。一般の Hermite 計量では $\Delta-2\Delta_{\bar\partial}$ は 0 になるとは限らないが、1 階以下の作用素である（Dem12 Ch. VI (6.15)（p. 309）が捩れの項による明示式を与える）。

主定理：Dolbeault コホモロジーの調和表現

証明に使う楕円型作用素の一般論は次の 1 つだけで、この記事では証明しない。

2 の直交分解から、各 $\alpha\in\mathcal A^{p,q}(X)$ の $\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ への直交射影 $H\alpha$ と、$\Delta_{\bar\partial}G\alpha=\alpha-H\alpha$、$G\alpha\perp\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}$ で定まる Green 作用素 $G$ が得られる。$G$ が $\bar\partial$ と可換であることを使うと、$\bar\partial$ 閉で調和成分が $0$ の $\alpha$ について、方程式 $\bar\partial u=\alpha$ の解が $u=\bar\partial^*G\alpha$ と書ける（この記事では証明しない。Wel08 Ch. IV Theorem 5.2（p. 147）が楕円型複体一般について分解と $G$ の可換性を述べる）。定理は Dem12 Ch. VI (7.1)–(7.2)（p. 309）、Wel08 Ch. IV Example 5.5（p. 150）にある。

共役スター作用素と双対性

$\bar*\alpha:=*\bar\alpha$ とおく（$\bar\alpha$ は複素共役）。$\bar\alpha$ は型 $(q,p)$ なので、lem-dlap-algebra の 4 により $\bar*$ は $\mathcal A^{p,q}(X)$ を $\mathcal A^{n-p,n-q}(X)$ に写す共役線形な写像である。

3 の $\int_X\eta\wedge\bar*\eta=\|\eta\|^2$ は、外積と積分による対 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\times H^{n-p,n-q}_{\bar\partial}(X)\to\mathbb C$ が非退化であることを示している（$\eta\neq0$ の相手として $\bar*\eta$ がとれる）。これが Serre 双対性（Serre双対性）の解析的な証明の核心である（Dem12 Ch. VI (7.3)（p. 310）。対がコホモロジー類だけで決まることは Dolbeaultコホモロジー の定理「Serre 双対」に続く注意「出典と帰結」にある）。

例

反例と注意

1 行目：thm-dlap-flat により $\Delta_{\bar\partial}x=-2\,\partial^2x/\partial z\partial\bar z=0$ だが、$\bar\partial x=\frac12d\bar z\neq0$ である。prop-dlap-nonneg の部分積分で $\|\bar\partial x\|^2$ が現れるには、境界のないコンパクトな $X$ の上で積分できることが要る。破る含意は「Dolbeault 調和形式は $\bar\partial$ 閉」であり、このため $\mathcal H^{0,0}_{\bar\partial}(\mathbb C)\to H^{0,0}_{\bar\partial}(\mathbb C)$ という写像さえ定義できない。
2〜4 行目の破る含意は、順に「$\mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ は有限次元」「$\bar\partial$ の核は有限次元」「Dolbeault 調和形式の空間は計量によらない」である。

• Kähler の場合．$h$ が Kähler 計量なら $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}=2\Delta_\partial$ が成り立ち（Kählerの恒等式）、Dolbeault 調和形式と $d$ に関する調和形式（調和形式）が一致する。これが Hodge 分解（Hodge分解）の証明の要である。thm-dlap-flat はその最も簡単な場合である。
• 符号の流儀．$\Delta_{\bar\partial}$ は非負の作用素として定義した（prop-dlap-nonneg）。$\mathbb C$ の上で $\Delta_{\bar\partial}=-2\,\partial^2/\partial z\partial\bar z$ であり、通常の $\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2$ とは符号と定数倍が異なる。ベクトル束 $E$ に値をとる形式にも、$E$ の Hermite 計量を使って同じ理論が成り立つ（Dem12 Ch. VI §7、Wel08 Ch. IV Example 5.7、p. 151）。

関連項目

• 前提: Dolbeaultコホモロジー, エルミート計量, Hodgeのスター作用素, 楕円型作用素
• 比較: Laplace–de Rham作用素, Hodgeの定理, 調和形式
• 直後に読む: Dolbeaultの定理, Kählerの恒等式, Hodge分解
• 発展: Serre双対性, Hodge数, Hodge理論