Chowの補題

$S$ は Noether なので有限個のアフィン開集合 $S_k=\operatorname{Spec}R_k$ で覆われる。有限型の射の定義により、各 $f^{-1}(S_k)$ はアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$（$A$ は有限生成 $R_k$ 代数）で覆われる。$X$ は Noether スキーム上有限型なので Noether であり、とくに準コンパクトだから、このような $\operatorname{Spec}A$ の有限個 $U_1,\dots,U_n$ で $X$ が覆われる。空なものは除く。
$U_i=\operatorname{Spec}A_i\subset f^{-1}(S_k)$ とし、全射 $R_k[x_1,\dots,x_m]\to A_i$ を 1 つ選ぶ。これは閉埋め込み $U_i\to\mathbb{A}^m_{R_k}$ を与える。射影 $p\colon\mathbb{P}^m_S\to S$ について $p^{-1}(S_k)=\mathbb{P}^m_{R_k}$ は開であり、$\mathbb{A}^m_{R_k}$ はその中の開集合 $D_+(x_0)$ である。そこで $m_i=m$、$W_i=D_+(x_0)\cap p^{-1}(S_k)$ とおけばよい。$j_i$ は $R_k$ 上の射なので $S$ 上の射である。$\square$

段階 1：$U$ の上での同型。$g^{-1}(U)=X'\cap(U\times_SP)$ である。$\Gamma(U)$ は開集合 $U\times_SP$ の中で閉なので、その閉包と $U\times_SP$ の共通部分は $\Gamma(U)$ 自身である。よって開部分スキーム $g^{-1}(U)$ は、$U\times_SP$ の閉集合 $\Gamma(U)$ に被約な構造を入れた閉部分スキームである。一方 $\Gamma$ は被約な $U$ からの閉埋め込みで、像は同じ閉集合 $\Gamma(U)$ である。閉集合の上の被約な閉部分スキームの構造はただ 1 つなので（台の等しい被約な閉部分スキーム $Z_1,Z_2$ について、イデアル層の和で定まる閉部分スキーム $Z_1\cap Z_2$ は $Z_1$ の閉部分スキームで台が $Z_1$ 全体であり、被約なスキームの閉部分スキームで台が全体のものは全体に限るので（分離射 の系「稠密な開集合で一致する射」の証明）$Z_1\cap Z_2=Z_1$、同様に $Z_1\cap Z_2=Z_2$ である）、$\Gamma$ は $U$ から $g^{-1}(U)$ への同型を与える。$g\circ\Gamma=\mathrm{pr}_1\circ\Gamma=\mathrm{id}_U$ だから、$g^{-1}(U)\to U$ はその逆射であり同型である。$g^{-1}(U)$ は既約な $X'$ の空でない開集合なので稠密である。
段階 2：$g$ は射影的な全射。$X\times_SP\to X$ は射影射 $P\to S$ の底変換なので射影的であり、閉埋め込み $X'\to X\times_SP$ との合成 $g$ も射影的である（射影射 の定理「合成・底変換・積で閉じること」の 1・2・4）。射影射は固有なので（射影射 の定理「射影射は固有である」）$g(X')$ は閉集合であり、稠密な $U$ を含むから $g(X')=X$ である。
段階 3：$X'_i$ 上で $p_i\circ h=j_i\circ g$。段階 1 の同型 $\Gamma\colon U\cong g^{-1}(U)$ について $h\circ\Gamma=\varphi$、$g\circ\Gamma=\mathrm{id}_U$ だから、$g^{-1}(U)$ 上では $h=\varphi\circ g$ であり $p_i\circ h=p_i\circ\varphi\circ g=j_i\circ g$ である。$X'_i$ は被約で、$g^{-1}(U)$ はその稠密な開集合であり、$P_i\to S$ は分離的である。したがって 2 つの $S$ 射 $p_i\circ h|_{X'_i}$ と $j_i\circ g|_{X'_i}\colon X'_i\to P_i$ は等しい（分離射 の系「稠密な開集合で一致する射」）。とくに $p_i(h(X'_i))\subset Y_i\subset W_i$、すなわち $X'_i\subset h^{-1}(V_i)$ である。
段階 4：$h^{-1}(V_i)=X'_i$。$Z:=h^{-1}(V_i)$ は $X'$ の開集合で、段階 3 により $g^{-1}(U)\subset X'_i\subset Z$ だから、$g^{-1}(U)$ は $Z$ で稠密である。$Z$ の閉集合 $(p_i\circ h|_Z)^{-1}(Y_i)$ は $g^{-1}(U)$ を含むので $Z$ 全体である。$Z$ は被約なので、$p_i\circ h|_Z\colon Z\to W_i$ は閉部分スキーム $Y_i$ を経由する（$W_i$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B$ の上で $Y_i$ が $\operatorname{Spec}B/\mathfrak b$ のとき、その逆像に含まれる $Z$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}C$ では $\mathfrak b$ の元の像がすべての点で消えるので冪零であり、$C$ は被約だから $0$ である。よって $B\to C$ は $B/\mathfrak b$ を経由し、閉埋め込みはモノ射なので、これらの経由は貼り合う）。その射を $q\colon Z\to Y_i$ とし、2 つの $S$ 射 $g|_Z$ と $\psi_i\circ q\colon Z\to U_i\subset X$ を比べる。包含 $Y_i\to W_i$ を $\iota_i$ と書くと $j_i=\iota_i\circ\psi_i^{-1}$ であり、$g^{-1}(U)$ の上では段階 3 により $\iota_i\circ q=p_i\circ h=j_i\circ g=\iota_i\circ\psi_i^{-1}\circ g$ となる。$\iota_i$ はモノ射なので $q=\psi_i^{-1}\circ g$、すなわち $\psi_i\circ q=g$ が $g^{-1}(U)$ の上で成り立つ。$X\to S$ は分離的なので、再び「稠密な開集合で一致する射」により $Z$ 全体で $g=\psi_i\circ q$ であり、$g(Z)\subset U_i$、すなわち $Z\subset X'_i$ である。
段階 5：$h|_{X'_i}\colon X'_i\to V_i$ は閉埋め込み。$X'_i=X'\cap(U_i\times_SP)$ は開集合 $U_i\times_SP$ の閉部分スキームである。$U_i\times_SP$ 上の 2 つの射 $j_i\circ\mathrm{pr}_1$、$p_i\circ\mathrm{pr}_2$ の一致点を表す閉部分スキームを $E_i$ とする（分離射 の命題「分離射への 2 つの射の一致点集合」）。段階 3 により包含 $X'_i\to U_i\times_SP$ は $E_i$ を経由し、$X'_i\to E_i$ は閉埋め込みである。次に $E_i$ と、閉埋め込み $Y_i\to W_i$ の $p_i|_{V_i}$ による底変換 $p_i^{-1}(Y_i):=V_i\times_{W_i}Y_i$ を比べる。$S$ スキーム $T$ に対し、$E_i$ の $T$ 値点は $j_i\circ u=p_i\circ v$ をみたす組 $(u,v)\in U_i(T)\times P(T)$ である。この等式は「$p_i\circ v$ が $Y_i$ を経由し、その経由の射が $j_i$ を通じて $u$ に対応する」ことと同値であり、$Y_i\to P_i$ はモノ射なので経由の射は一意である。よって $(u,v)\mapsto v$ は $E_i(T)$ から $p_i^{-1}(Y_i)(T)$ への全単射で、逆は $v\mapsto(\psi_i\circ(p_i\circ v),v)$ である。$T$ について自然なので、$\mathrm{pr}_2$ は同型 $E_i\cong p_i^{-1}(Y_i)$ を与える。以上から $h|_{X'_i}$ は閉埋め込みの合成
$$ X'_i\longrightarrow E_i\xrightarrow{\ \cong\ }p_i^{-1}(Y_i)\longrightarrow V_i $$
である。
段階 6：$h$ ははめ込み。$V:=V_1\cup\cdots\cup V_n$ は $P$ の開集合で、段階 4 から $h^{-1}(V)=X'$、$h^{-1}(V_i)=X'_i$ である。閉埋め込みであることは底の上で局所的なので、段階 5 により $h\colon X'\to V$ は閉埋め込みであり、$h\colon X'\to P$ ははめ込みである。$P$ は Segre 埋め込みにより $S$ 上のある $\mathbb{P}^N_S$ の閉部分スキームになる（射影射 の命題「Segre埋め込みは閉埋め込みである」）。$V=P\cap V'$ となる $\mathbb{P}^N_S$ の開集合 $V'$ をとれば $X'\to V\to V'$ は閉埋め込みなので、合成 $X'\to\mathbb{P}^N_S$ もはめ込みである。これで 1・2・3 が示された。
段階 7：固有な場合。$f$ が固有なら、$X\times_SP\to X\to S$ は固有射の合成で固有であり、その閉部分スキーム $X'$ も $S$ 上固有である（固有射 の系「固有射の像と閉部分スキーム」）。$P\to S$ は分離的なので、$S$ 射 $h\colon X'\to P$ は固有であり、$h(X')$ は $P$ の閉集合である。$h$ は $X'$ から閉集合 $h(X')$ への同相で、$P$ の開被覆 $\{V,\ P\setminus h(X')\}$ の各開集合の上で閉埋め込みである（後者の上では始域が空）。よって $h\colon X'\to P$ は閉埋め込みであり、$P\to\mathbb{P}^N_S$ との合成も閉埋め込みだから $X'$ は $S$ 上射影的である。$\square$

1：分離性と有限型は仮定にあるので、普遍閉であることを示せばよい。$T\to S$ を任意の射とし、底変換 $g_T\colon X'_T\to X_T$、$X'_T\to T$、$X_T\to T$ を考える。全射は底変換で保たれるので（Stacks Tag 01S1）$g_T$ は全射である。$X_T$ の閉集合 $C$ について、$g_T$ が全射だから $C$ の $T$ での像は $g_T^{-1}(C)$ の像に等しく、$g_T^{-1}(C)$ は $X'_T$ の閉集合で $X'_T\to T$ は閉写像だから、これは閉集合である。よって $X_T\to T$ は閉写像である。
2：thm-chow-lemma の 2 と 4 から従う。$\square$