pcf理論

1：三つの集合 $\{a\mid f(a)< g(a)\}$、$\{a\mid f(a)=g(a)\}$、$\{a\mid f(a)>g(a)\}$ は $A$ を分割するので、超フィルターの性質（超フィルター の記事の定理「超フィルターの特徴づけ」）からちょうど一つが $D$ に入る。前の二つのどちらかなら $f\le_D g$、最後なら $g<_D f$ である。

2：$\prod A/D$ は最大元をもたない（$f+1$ を $a\mapsto f(a)+1$ とすると、$a$ は極限順序数なので $f+1\in\prod A$ で $f<_Df+1$）。$\kappa:=\operatorname{cf}(\prod A/D)$ とし、共終集合 $\{e_\xi\mid\xi<\kappa\}$ をとる。超限再帰で $d_\xi$ を定める。$\{d_\eta\mid\eta<\xi\}\cup\{e_\xi\}$ は濃度 $\kappa$ 未満なので共終でなく、そのどの元 $y$ についても $x\le_Dy$ とならない $x$ がある。1 の分割から、これらすべての $y$ について $\{y< x\}\in D$、すなわち $y<_Dx$ である。共終性から $x\le_D e$ となる $e$ を選び、$d_\xi:=e$ とする（$\{e_\xi\}$ を整列しておけば最小の添字のものをとれる）。$\{y< x\}\cap\{x\le e\}\subseteq\{y< e\}$ なので $y<_De$ であり、$(d_\xi)_{\xi<\kappa}$ は増加し、$e_\xi\le_D d_\xi$ なので共終である。lem-pcft-tcf-regular の後半を当てると、$\operatorname{tcf}$ は正則で $\kappa$ に等しい。$\square$

$D\cap I=\emptyset$ なら、$\{f>g\}\in I$ のとき $\{f>g\}\notin D$、すなわち $\{f\le g\}\in D$ なので、$f\le_Ig\Rightarrow f\le_Dg$ である。同様に $f<_Ig$ なら $\{f\ge g\}\in I$ なので $f<_Dg$ である。よって $\prod A/I$ の増加共終列は $\prod A/D$ でも増加共終列であり、lem-pcft-tcf-regular から $\operatorname{cf}(\prod A/D)=\lambda$。$A\notin I$ なら $I$ の元の補集合の族は有限交叉性をもつので、$I$ と交わらない超フィルターが存在する（超フィルター の記事の定理「超フィルターへの拡張」）。したがって Kojman の定義の元は Shelah の定義の元である。逆に超フィルター $D$ の双対イデアル $I$ では $\le_I=\le_D$ で、prop-pcft-uf-linear により真の共終数をもつ。$\square$

1：主超フィルターからは $A_\omega$ の元が出る（prop-pcft-basic の 1）。可算集合 $A_\omega$ 上の非単項超フィルターは有限集合を含まない（超フィルター の記事の命題「有限集合を含めば主」）。$A_\omega$ の有界な部分集合は有限なので、prop-pcft-basic の 2 から共終数は $\aleph_\omega$ より大きく、正則なので $\aleph_{\omega+1}$ 以上である。

2：各点で $f\le g$ なら $f\le_Dg$ なので、$(\prod A_\omega,\le)$ の共終集合は $\prod A_\omega/D$ でも共終であり、前半の不等式が成り立つ。後半：$\mathcal Y\subseteq[\aleph_\omega]^{\aleph_0}$ を共終な族とし、$Y\in\mathcal Y$ に $f_Y(\aleph_n):=\sup(Y\cap\aleph_n)$ を対応させる。$Y\cap\aleph_n$ は可算で $\aleph_n$（$n\ge1$）は非可算な正則基数なので $f_Y\in\prod A_\omega$ である。$f\in\prod A_\omega$ の値域を含む可算無限集合 $X$ をとり、$X\subseteq Y\in\mathcal Y$ とすると、$f(\aleph_n)\in Y\cap\aleph_n$ より $f\le f_Y$ である。よって $\{f_Y\mid Y\in\mathcal Y\}$ は共終である。

3：$\kappa$ を無限基数とすると $\lvert[\kappa]^{\aleph_0}\rvert=\kappa^{\aleph_0}$ である（可算無限集合に $\omega$ からの全単射を一つずつ選べば $[\kappa]^{\aleph_0}$ から $\kappa^\omega$ への単射ができ、関数をそのグラフに写せば $\kappa^\omega$ から $[\kappa\times\omega]^{\aleph_0}$ への単射ができる）。$\mathcal Y$ を濃度 $\mu:=\operatorname{cf}([\aleph_\omega]^{\aleph_0},\subseteq)$ の共終な族とする。可算無限集合はどれも、ある $Y\in\mathcal Y$ の可算無限部分集合なので$$\aleph_\omega^{\aleph_0}=\lvert[\aleph_\omega]^{\aleph_0}\rvert\le\sum_{Y\in\mathcal Y}\lvert[Y]^{\aleph_0}\rvert=\mu\cdot\aleph_0^{\aleph_0}=\max(\mu,2^{\aleph_0})$$である。逆に $\mu\le\lvert[\aleph_\omega]^{\aleph_0}\rvert$ と $2^{\aleph_0}=\lvert[\omega]^{\aleph_0}\rvert\le\lvert[\aleph_\omega]^{\aleph_0}\rvert$ から、右辺は左辺以下である。$\square$

1：$\lvert\prod A\rvert^+$ 以上の $\lambda$ では $A\in J_{<\lambda}$ なので、右辺の最小値 $\lambda$ がある。$B\in D\cap J_{<\lambda^+}$ をとると定義から $\operatorname{cf}(\prod A/D)<\lambda^+$、すなわち $\le\lambda$ である。逆に、最小性からすべての $\nu<\lambda$ で $D\cap J_{<\nu^+}=\emptyset$ である。$\lambda=\nu^+$ が後続基数なら $D\cap J_{<\lambda}=\emptyset$ で、thm-pcft-directed と上の注意から $\operatorname{cf}(\prod A/D)\ge\lambda$。$\lambda$ が極限基数なら、すべての $\nu<\lambda$ で $D\cap J_{<\nu^+}=\emptyset$ から $\operatorname{cf}(\prod A/D)\ge\nu^+$ となり、$\operatorname{cf}(\prod A/D)\ge\lambda$。

2：$J:=\bigcup_{\lambda<\mu}J_{<\lambda}=\bigcup_{\lambda<\mu}J_{<\lambda^+}$ はイデアルの増加和なのでイデアルで、$J\subseteq J_{<\mu}$ である。$B\notin J$ なら、$\{B\}\cup\{A\setminus C\mid C\in J\}$ は有限交叉性をもつので、これを含む超フィルター $D$ がある。$D$ はすべての $J_{<\lambda^+}$（$\lambda<\mu$）と交わらないので、1 の後半と同じく $\operatorname{cf}(\prod A/D)\ge\lambda^+$ がすべての $\lambda<\mu$ で成り立ち、$\operatorname{cf}(\prod A/D)\ge\mu$。$B\in D$ なので $B\notin J_{<\mu}$ である。

3：$A\in J_{<\mu}$ となる最小の基数 $\mu$ をとる。$\mu$ は極限基数でない（2 により $A\in J_{<\lambda}$ となる $\lambda<\mu$ が出てしまう）ので $\mu=\lambda^+$ である。$A\in J_{<\lambda^+}$ からすべての超フィルターの共終数は $\lambda$ 以下であり、$A\notin J_{<\lambda}$ から共終数が $\lambda$ 以上の超フィルターがある。よって $\lambda=\max\operatorname{pcf}(A)$。

4：$\lambda\in\operatorname{pcf}(A)$ ごとに $\operatorname{cf}(\prod A/D)=\lambda$ となる $D$ をとり、1 により $B_\lambda\in D\cap J_{<\lambda^+}$ を選ぶ。$B_\lambda\in D$ なので $B_\lambda\notin J_{<\lambda}$ である。$\lambda<\lambda'$ なら $B_\lambda\in J_{<\lambda^+}\subseteq J_{<\lambda'}$ だが $B_{\lambda'}\notin J_{<\lambda'}$ なので $B_\lambda\ne B_{\lambda'}$。よって $\lambda\mapsto B_\lambda$ は $\operatorname{pcf}(A)$ から $A$ の冪集合への単射である。$\square$