Brownの表現可能性定理

最初の段. $K_1:=Z\vee\bigvee_{\beta\in h(S^1)}S^1_\beta$ とする。ウェッジ公理により $u_1|_Z=z$、$u_1|_{S^1_\beta}=\beta$ となる $u_1\in h(K_1)$ があり、$S^1_\beta$ の包含の類が $\beta$ へ写るので $(K_1,u_1)$ は $1$-普遍である。

単射にする. $(K_n,u_n)$ が $n$-普遍、$Z\subset K_n$、$u_n|_Z=z$ とする。$a\ne b$ かつ $T_{u_n}(a)=T_{u_n}(b)$ となる $\pi_n(K_n)$ の元の組 $p=(a,b)$ の全体を $P$ とし、各 $p$ について胞体的な代表元 $f_p,g_p\colon S^n\to K_n$ を選ぶ（Hat02 Theorem 4.8、p. 349）。被約柱 $S^n\rtimes I$ を $P$ の元ごとに用意し、$S^n\times\{0\}$ を $f_p$ で、$S^n\times\{1\}$ を $g_p$ で $K_n$ に貼った空間を $K'$ とする。$S^n\rtimes I$ は $S^n\times\{0,1\}$ に $(n+1)$ 胞体を 1 つ貼ったものなので、$K'$ は $K_n$ に $(n+1)$ 胞体を貼った CW 複体である。Mayer–Vietoris 公理を使う次の段落でだけ、同じ空間に $I$ を $\tfrac13,\tfrac23$ で分割した胞体構造を入れる（恒等写像は 2 つの CW 構造の間の同相写像なので、$h$ の値は対応する）。

柱の $[0,\tfrac13]\cup[\tfrac23,1]$ の部分と $K_n$ の和を $\mathcal A$、柱の $[\tfrac13,\tfrac23]$ の部分のウェッジ和を $\mathcal B$ とすると、$\mathcal A\cup\mathcal B=K'$、$\mathcal A\cap\mathcal B=\bigvee_p(S^n_{1/3}\vee S^n_{2/3})$ で、どれも連結である。$r\colon\mathcal A\to K_n$ を柱の点 $(s,t)$ を $t\le\tfrac13$ なら $f_p(s)$、$t\ge\tfrac23$ なら $g_p(s)$ へ写す写像とすると、$r$ は $K_n$ の上で恒等写像で、柱を端へ縮めるホモトピーにより包含とともに基点付きホモトピー同値を与える。$a_0:=r^*u_n$ とおく。$\mathcal B$ の各成分 $S^n\rtimes[\tfrac13,\tfrac23]$ は射影 $q_p$ で $S^n$ とホモトピー同値なので、ウェッジ公理により各成分への制限が $q_p^*f_p^*u_n$ となる $b_0\in h(\mathcal B)$ がある。$\mathcal A\cap\mathcal B$ の各球面の上で、$a_0$ は $f_p^*u_n$ または $g_p^*u_n$ に、$b_0$ は $f_p^*u_n$ に制限され、$f_p^*u_n=g_p^*u_n$ なので、ウェッジ公理（単射性）により $a_0|_{\mathcal A\cap\mathcal B}=b_0|_{\mathcal A\cap\mathcal B}$ である。Mayer–Vietoris 公理により $w|_{\mathcal A}=a_0$ となる $w\in h(K')$ があり、$w|_{K_n}=u_n$ である。

全射にする. $K_{n+1}:=K'\vee\bigvee_{\beta\in h(S^{n+1})}S^{n+1}_\beta$ とし、ウェッジ公理で $u_{n+1}|_{K'}=w$、$u_{n+1}|_{S^{n+1}_\beta}=\beta$ となる $u_{n+1}$ をとる。$K_{n+1}$ は $K_n$ に $n+1$ 次元の胞体だけを貼ったものなので、包含 $\iota$ は $i< n$ で $\pi_i$ の同型、$i=n$ で全射を誘導し、$T_{u_{n+1}}\circ\iota_*=T_{u_n}$ である。よって $T_{u_{n+1}}$ は $i< n$ で全単射、$i=n$ で全射である。$i=n$ での単射性：$T_{u_{n+1}}(a')=T_{u_{n+1}}(b')$ なら $a',b'$ は $T_{u_n}$ の値が等しい $a,b\in\pi_n(K_n)$ の像であり、$a\ne b$ なら柱 $S^n\rtimes I$ が $f_p$ と $g_p$ の基点付きホモトピーを与えるので $a'=b'$ である。$i=n+1$ での全射性は $S^{n+1}_\beta$ の類による。よって $(K_{n+1},u_{n+1})$ は $(n+1)$-普遍である。

極限. $K:=\bigcup_nK_n$ とする。被約積で作った写像望遠鏡 $T:=\bigcup_iK_i\rtimes[i,i+1]\subset K\rtimes[1,\infty)$ について、射影 $\pi\colon T\to K$ は基点付きホモトピー同値である（Hat02 §4.E、p. 451。Lemma 2.34 の証明、p. 138 と同じ議論）。$i$ が奇数の $K_i\rtimes[i,i+1]$ の和を $\mathcal A$、偶数のものの和を $\mathcal B$ とすると、どちらも $K_i$ とホモトピー同値なもののウェッジ和で、$\mathcal A\cap\mathcal B=\bigvee_iK_i\times\{i+1\}$ である。ウェッジ公理で各 $K_i\rtimes[i,i+1]$ への制限が射影による $u_i$ の引き戻しとなる元を $\mathcal A$、$\mathcal B$ の上にとると、$u_{i+1}|_{K_i}=u_i$ なので $\mathcal A\cap\mathcal B$ の上で一致し、Mayer–Vietoris 公理で $t\in h(T)$ が得られる。$\pi$ のホモトピー逆写像 $\sigma$ について $u:=\sigma^*t$ とおくと、$K_n$ を $T$ の高さ $n$ に入れる包含 $j_n$ について $\sigma|_{K_n}=\sigma\circ\pi\circ j_n\simeq j_n$ なので $u|_{K_n}=j_n^*t=u_n$ である。

球面とそのホモトピーの像はコンパクトなので有限部分複体に、したがってある $K_m$ に入る（CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）。$i< n$ なら $\pi_i(K_n)\to\pi_i(K)$ は同型で $T_u$ と $T_{u_n}$ は可換なので、$T_u\colon\pi_i(K)\to h(S^i)$ は全単射である。$\square$