Bettiコホモロジー
概要
Bettiコホモロジー（Betti cohomology）とは、複素数体上の代数多様体 $X$ の複素点の集合 $X(\mathbb{C})$ に古典位相を入れた空間の特異コホモロジー $H^n_B(X,A)=H^n(X(\mathbb{C}),A)$ であり、体 $k$ 上の多様体では埋め込み $\sigma\colon k\hookrightarrow\mathbb{C}$ ごとに定まる。代数的 de Rham コホモロジー・エタールコホモロジーと比較同型で結ばれ、標数 $0$ の体上の滑らかな多様体の Betti 数は $\sigma$ によらない。整数係数の格子と de Rham 側の $k$ 構造のずれが周期であり、Tate 捻りや複素共役の作用 $F_\infty$ とともに、モチーフの実現関手や Hodge 構造の土台になる。
前提知識: 特異コホモロジー, 解析化, de Rhamコホモロジー, 代数多様体
複素数体上の代数多様体 $X$ の複素点の集合 $X(\mathbb{C})$ は、通常の距離から入る位相（古典位相）で多様体や複体のような位相空間になる。その特異コホモロジー $H^n(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$ を $X$ の Betti コホモロジー（Betti cohomology）という。名前は次元 $b_n$（Betti 数）に由来する。代数的に定義される de Rham コホモロジー・エタールコホモロジーとは比較同型で結ばれ、それらの中で Betti コホモロジーだけが整数係数の格子をもつ。この格子と代数的 de Rham コホモロジーの $k$ 構造との「ずれ」が周期であり、モチーフの理論では Betti コホモロジーがファイバー関手の役を果たす（実現関手(モチーフ)、モチーフ的Galois群）。
この記事では、体 $k$ と埋め込み $\sigma\colon k\hookrightarrow\mathbb{C}$ に対する Betti コホモロジー、Tate 捻り、実数体上の多様体の複素共役の作用 $F_\infty$ を定義し、比較同型を整理する。主定理として、標数 $0$ の体上の滑らかな多様体の Betti 数が埋め込み $\sigma$ によらないこと、および $\mathbb{R}$ 上の滑らかな affine 多様体で代数的 de Rham コホモロジーの実構造が $F_\infty$ と複素共役の合成の固定部分として Betti 側から読み取れることを証明する。
定義
$X$ を $\mathbb{C}$ 上有限型の分離的スキームとし、$X(\mathbb{C})$ に解析化 $X^{an}$（解析化 の定義「スキームの解析化」）の位相を入れる。$X$ が滑らかなら $X^{an}$ は複素多様体である。
アーベル群 $A$ について、
$$
H^n_B(X,A):=H^n\bigl(X(\mathbb{C}),A\bigr)
$$
（右辺は古典位相に関する特異コホモロジー）を $X$ の $A$ 係数の Betti コホモロジーという。$b_n(X):=\dim_{\mathbb{Q}}H^n_B(X,\mathbb{Q})$ を $X$ の $n$ 次の Betti 数という。
$k$ を体、$\sigma\colon k\hookrightarrow\mathbb{C}$ を体の埋め込み、$X$ を $k$ 上有限型の分離的スキームとするとき、$X_\sigma:=X\times_{\operatorname{Spec}k,\sigma}\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ とおき、$H^n_\sigma(X,A):=H^n_B(X_\sigma,A)$ と書く。$k\subset\mathbb{C}$ で $\sigma$ が包含のときは単に $H^n_B(X,A)$ と書く。
$\mathbb{C}$ 上の射 $f\colon X\to Y$ は連続写像 $X(\mathbb{C})\to Y(\mathbb{C})$ を与えるので（解析化 の命題「射と解析化」）、$H^n_B$ は反変関手である。カップ積で $\bigoplus_nH^n_B(X,A)$ は次数付き環になる（特異コホモロジー の定理「コホモロジー環と次数付き可換性」）。$X(\mathbb{C})$ はパラコンパクトで局所可縮なので、$H^n_B(X,A)$ は定数層 $A$ の層コホモロジー $H^n(X^{an},A)$ とも一致する（同記事の定理「層コホモロジーとの一致」）。記号 $H^n_B$ は Del82 §1（p. 7）にならった（同書は滑らかで完備な多様体の有理係数の場合に使う）。
- 整数 $m$ と部分環 $A\subset\mathbb{R}$ について $A(m):=(2\pi i)^mA\subset\mathbb{C}$ とおき、$H^n_B(X,A(m)):=H^n(X(\mathbb{C}),(2\pi i)^mA)$ を Betti コホモロジーの Tate 捻りという（Tate捻り）。
- $X$ が $\mathbb{R}$ 上有限型の分離的スキームのとき、$X_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=X(\mathbb{C})$ の座標ごとの複素共役 $c\colon X(\mathbb{C})\to X(\mathbb{C})$ は位相同型な対合で、$F_\infty:=c^*$ を $H^n_B(X,A)$ の 実 Frobenius（Frobenius at infinity）という。
$A(m)$ は抽象群としては $A$ と同型だが、$\mathbb{C}$ の中での位置が違う。比較同型で $2\pi i$ の冪が現れるので、それを係数に組み込んでおくと Galois 群や $F_\infty$ の作用が正しく書ける（Del82 §1、p. 9。下の ex-betti-gm）。2 の $c$ は、$X$ の affine 開集合を実係数の多項式で $\mathbb{C}^N$ の中に定めたとき座標の複素共役 $z\mapsto\bar z$ の制限であり、定義式が実係数なので $X(\mathbb{C})$ を保つ。$c$ は正則写像ではなく反正則写像である。
比較同型
Betti コホモロジーは、ほかのコホモロジー理論と次の比較同型で結ばれる。いずれもこの記事では証明しない。
- 代数的 de Rham コホモロジー。$X$ が $\mathbb{C}$ 上滑らかなら $H^n_{dR}(X/\mathbb{C})\cong H^n_B(X,\mathbb{C})$（de Rhamコホモロジー の定理「Grothendieck の比較定理」、Gro66 Theorem 1・Theorem 1'、pp. 95–96）。$X$ が $k\subset\mathbb{C}$ 上の滑らかな多様体なら、この同型は代数的な閉形式を特異輪体の上で積分する写像で与えられ、$H^n_{dR}(X/k)\otimes_k\mathbb{C}\cong H^n_B(X,\mathbb{C})$ となる（周期(代数多様体) の定理「周期の比較同型」）。
- エタールコホモロジー。$X$ が $\mathbb{C}$ 上有限型なら $H^n(X_{\mathrm{\acute et}},\mathbb{Z}/m)\cong H^n_B(X,\mathbb{Z}/m)$（Artin の比較定理。エタールコホモロジー の節「大きな定理（引用）」）。これから滑らかで完備な $X$ について $H^n_B(X,\mathbb{Q})\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}_\ell\cong H^n_{\mathrm{\acute et}}(X,\mathbb{Q}_\ell)$ が得られる（Del82 §1、pp. 8–9。同書は有限アデール係数で述べ、p. 9 で素数 $\ell$ ごとの成分に分けている）。
- Hodge 構造。$X$ が $\mathbb{C}$ 上滑らかで射影的なら、$X(\mathbb{C})$ はコンパクト Kähler 多様体で、$H^n_B(X,\mathbb{Z})$ は Hodge 分解 $H^n_B(X,\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q}$ により重さ $n$ の Hodge 構造になる（Hodge分解、Hodge構造）。
Betti コホモロジーは古典位相を使うことが本質で、Zariski 位相の定数層のコホモロジーでは代わりにならない（下の反例の 1 行目）。
主定理 1：Betti 数は埋め込みによらない
$k$ が $\mathbb{C}$ に何通りにも埋め込めるとき（たとえば $k=\mathbb{Q}(\sqrt2)$ の二つの埋め込みや、$\mathbb{C}$ の連続でない自己同型との合成）、$X_\sigma(\mathbb{C})$ と $X_{\sigma'}(\mathbb{C})$ は別々の位相空間である。それでも Betti 数は一致する。
$k$ を標数 $0$ の体、$X$ を $k$ 上有限型で滑らかな分離的スキームとする。任意の埋め込み $\sigma\colon k\hookrightarrow\mathbb{C}$ について
$$
H^n_\sigma(X,\mathbb{C})\cong H^n_{dR}(X/k)\otimes_{k,\sigma}\mathbb{C}
$$
であり、$b_n(X_\sigma)=\dim_kH^n_{dR}(X/k)$ である。とくに $b_n(X_\sigma)$ は $\sigma$ によらない。
$\sigma$ により $\mathbb{C}$ を $k$ の拡大体とみる。de Rhamコホモロジー の系「体の拡大による底変換」により $H^n_{dR}(X_\sigma/\mathbb{C})\cong H^n_{dR}(X/k)\otimes_{k,\sigma}\mathbb{C}$ である。$X_\sigma$ は $\mathbb{C}$ 上有限型で滑らかな分離的スキームなので、同記事の定理「Grothendieck の比較定理」により $H^n_{dR}(X_\sigma/\mathbb{C})\cong H^n(X_\sigma(\mathbb{C}),\mathbb{C})=H^n_\sigma(X,\mathbb{C})$ である。これで第 1 の同型を得る。とくに $\dim_{\mathbb{C}}H^n_\sigma(X,\mathbb{C})=\dim_kH^n_{dR}(X/k)$ である（有限か無限かも含めて）。
次に $\dim_{\mathbb{C}}H^n(Y,\mathbb{C})=\dim_{\mathbb{Q}}H^n(Y,\mathbb{Q})$（$Y:=X_\sigma(\mathbb{C})$）を示す。特異コホモロジー の定理「普遍係数定理」により、$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{C}$ は可除群なので Ext 項が消え、$V:=H_n(Y,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Q}$ とおくと
$$
H^n(Y,\mathbb{Q})=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_n(Y,\mathbb{Z}),\mathbb{Q})=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(V,\mathbb{Q}),\qquad H^n(Y,\mathbb{C})=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(V,\mathbb{C})
$$
である。$\dim_{\mathbb{Q}}V=r<\infty$ なら両者の次元はともに $r$ であり、$V$ が無限次元なら両者とも無限次元である。したがって $b_n(X_\sigma)=\dim_{\mathbb{C}}H^n_\sigma(X,\mathbb{C})=\dim_kH^n_{dR}(X/k)$ であり、右辺は $\sigma$ を含まない。$\square$
右辺 $H^n_{dR}(X/k)$ は有限次元である（de Rhamコホモロジー の注意「有限次元性と Hodge–de Rhamスペクトル系列の退化」）。この定理は Betti 数についての主張で、位相空間 $X_\sigma(\mathbb{C})$ そのものは $\sigma$ によって変わりうる。また同型 $H^n_\sigma(X,\mathbb{C})\cong H^n_{dR}(X/k)\otimes_{k,\sigma}\mathbb{C}$ は $\mathbb{C}$ 上の同型であって、$\mathbb{Q}$ 構造 $H^n_\sigma(X,\mathbb{Q})$ と $k$ 構造 $H^n_{dR}(X/k)$ を対応させはしない（反例の 3 行目）。その「ずれ」を測るのが周期である。Gro66（p. 101）は、$k\subset\mathbb{C}$ のとき $H^n(X(\mathbb{C}),\mathbb{C})$ の中に係数拡大で全体を与える $k$ 部分空間があることを注意し、それと整数係数の格子との位置関係を周期の一般化として論じている。
主定理 2：実数体上の多様体と実 Frobenius
$X$ を $\mathbb{R}$ 上の多様体とすると、$X(\mathbb{C})$ には複素共役 $c$ が作用し、Betti コホモロジーに $F_\infty=c^*$ が作用する。他方、代数的 de Rham コホモロジー $H^n_{dR}(X/\mathbb{R})$ は実ベクトル空間で、その複素化が $H^n_B(X,\mathbb{C})$ である。両者の関係を述べる。$H^n_B(X,\mathbb{C})=\operatorname{Hom}(H_n(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}),\mathbb{C})$（普遍係数定理）とみて、
$$
(\tau\varphi)(\gamma):=\overline{\varphi(c_*\gamma)}\qquad(\gamma\in H_n(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}))
$$
とおく。$\tau$ は $F_\infty$ と係数の複素共役の合成で、$\mathbb{C}$ 上反線形な対合である。
$X$ を $\mathbb{R}$ 上有限型で滑らかな affine スキームとし、$\rho\colon H^n_{dR}(X/\mathbb{R})\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\xrightarrow{\sim}H^n_B(X,\mathbb{C})$ を thm-betti-embedding の比較同型とする。このとき
$$
\rho\bigl(H^n_{dR}(X/\mathbb{R})\otimes1\bigr)=\bigl\{\varphi\in H^n_B(X,\mathbb{C})\ \big|\ \tau\varphi=\varphi\bigr\}
$$
である。すなわち、Betti コホモロジーの元が実係数の代数的微分形式で代表されるのは、それが $F_\infty$ と複素共役の合成で固定されるときに限る。
$X=\operatorname{Spec}R$、$R=\mathbb{R}[x_1,\dots,x_N]/I$ とし、$X(\mathbb{C})\subset\mathbb{C}^N$ とみる。de Rhamコホモロジー の定理「affine スキームの場合」により、$H^n_{dR}(X/\mathbb{R})$ は Kähler 微分の複体 $\Omega^\bullet_{R/\mathbb{R}}$ の $n$ 次コホモロジーであり、各元は実係数の多項式 $f_J$ による $\omega=\sum_Jf_J\,dx_{j_1}\wedge\cdots\wedge dx_{j_n}$ の形の閉形式の類である。$\omega$ を $X(\mathbb{C})$ 上の複素数値 $C^\infty$ 級形式 $\omega^{an}$ とみると、比較同型 $\rho$ は $[\omega]$ を、$C^\infty$ 級特異輪体 $\gamma$ に $\int_\gamma\omega^{an}$ を対応させる類に写す（周期(代数多様体) の定理「周期の比較同型」）。
固定されること。$c$ は $\mathbb{C}^N$ の座標の複素共役の制限なので $c^*x_j=\bar x_j$、$c^*dx_j=d\bar x_j$ であり、$f_J$ は実係数だから $f_J\circ c=\overline{f_J}$ である。よって $c^*\omega^{an}=\overline{\omega^{an}}$ である。$C^\infty$ 級特異単体 $\gamma$ について $c\circ\gamma$ も $C^\infty$ 級で、
$$
\int_{c\circ\gamma}\omega^{an}=\int_\gamma c^*\omega^{an}=\int_\gamma\overline{\omega^{an}}=\overline{\int_\gamma\omega^{an}}
$$
である。$C^\infty$ 級特異ホモロジーは特異ホモロジーと一致するので（de Rhamの定理 の定理「$C^\infty$ 級特異コホモロジーと特異コホモロジーの一致」）、$\varphi:=\rho([\omega]\otimes1)$ について $(\tau\varphi)(\gamma)=\overline{\varphi(c_*\gamma)}=\varphi(\gamma)$、すなわち $\tau\varphi=\varphi$ である。
次元を比べること。$V:=H^n_B(X,\mathbb{C})$ は有限次元で、$\dim_{\mathbb{C}}V=d$ とする。$V^\tau:=\{v\mid\tau v=v\}$ は実部分空間で、$v=\frac{v+\tau v}2+i\cdot\frac{v-\tau v}{2i}$ の二つの項はどちらも $V^\tau$ に入るから（$\tau$ は反線形）$V=V^\tau+iV^\tau$、また $V^\tau\cap iV^\tau=0$（$v=iw$、$v,w\in V^\tau$ なら $v=\tau v=-iw=-v$）なので $\dim_{\mathbb{R}}V^\tau=d$ である。一方 $W:=H^n_{dR}(X/\mathbb{R})$ について $W\to W\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ は単射で $\rho$ は同型なので、$\rho(W\otimes1)$ は $\dim_{\mathbb{R}}W=\dim_{\mathbb{C}}(W\otimes\mathbb{C})=d$ の実部分空間であり、前段により $V^\tau$ に含まれる。次元が等しいので一致する。$\square$
affine でない滑らかな $X$ への拡張は、この記事では扱わない（thm-betti-real は affine の場合だけを主張する）。$X$ が $\mathbb{R}$ 上滑らかで射影的なら、$c^*dz_j=d\bar z_j$ により $c^*$ は型 $(p,q)$ の閉形式を型 $(q,p)$ の閉形式に写すので、$F_\infty$ は Hodge 成分 $H^{p,q}$ を $H^{q,p}$ に移し、$\tau$ は各 $H^{p,q}$ を保つ。
例
$X=\mathbb{G}_{m,\mathbb{R}}=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[t,t^{-1}]$ とする。$X(\mathbb{C})=\mathbb{C}^\times$ は単位円 $\gamma(\theta)=e^{i\theta}$ にホモトピー同値なので $H_1(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\gamma]$、$H^1_B(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\gamma^\vee$（$\gamma^\vee(\gamma)=1$）である。$H^1_{dR}(X/\mathbb{R})=\mathbb{R}[dt/t]$ で、$\int_\gamma dt/t=2\pi i$ だから $\rho([dt/t])=2\pi i\,\gamma^\vee$ である（周期(代数多様体) の命題「乗法群の周期」）。
- $F_\infty=-1$。$c(e^{i\theta})=e^{-i\theta}$ なので $c_*[\gamma]=-[\gamma]$ で、$F_\infty$ は $H^1_B(X,\mathbb{Z})$ に $-1$ 倍で作用する。thm-betti-real と合わせると、$\tau(2\pi i\,\gamma^\vee)(\gamma)=\overline{2\pi i\cdot(-1)}=2\pi i$ で、実係数の類 $\rho([dt/t])$ は確かに $\tau$ で固定される。一方 $\gamma^\vee$ 自身は $\tau\gamma^\vee=-\gamma^\vee$ で固定されず、実係数の形式では代表されない。
- Tate 捻り。$\rho([dt/t])=2\pi i\,\gamma^\vee$ は $\operatorname{Hom}(H_1,2\pi i\mathbb{Z})=H^1_B(X,\mathbb{Z}(1))$ の生成元である。つまり $\mathbb{Q}$ 上の de Rham の類 $[dt/t]$ は、捻らない $H^1_B(X,\mathbb{Q})$ の元ではないが、捻った $H^1_B(X,\mathbb{Q}(1))$ の生成元になる。$H^1_B(X,\mathbb{Q}(1))$ に係数の複素共役（$2\pi i\mapsto-2\pi i$）と $F_\infty$ を合わせて作用させると自明になる。この意味で $\mathbb{G}_m$ の $H^1$ は $\mathbb{Q}(-1)$ と同じ振る舞いをする（Del82 §1、p. 9 の $\mathbb{Q}_B(1)=2\pi i\mathbb{Q}$ の規約）。
| 多様体 $X$（$\mathbb{C}$ 上） | $X(\mathbb{C})$ の位相 | Betti 数 |
|---|---|---|
| affine 空間 $\mathbb{A}^n$ | $\mathbb{C}^n$（可縮） | $b_0=1$、ほかは $0$ |
| 乗法群の積 $\mathbb{G}_m^r$ | $(\mathbb{C}^\times)^r\simeq(S^1)^r$ | $b_k=\binom rk$ |
| 射影空間 $\mathbb{P}^n$ | $\mathbb{CP}^n$ | $b_{2i}=1$（$0\le i\le n$）、奇数次は $0$ |
| 種数 $g$ の連結な滑らかな射影曲線 | 向き付け可能な閉曲面 $\Sigma_g$ | $1,\ 2g,\ 1$ |
| $g$ 次元アーベル多様体 | $\mathbb{C}^g/\Lambda\cong(S^1)^{2g}$ | $b_k=\binom{2g}k$ |
要点：各行は位相空間の Betti 数の計算に帰着する。
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$\mathbb{C}^n$ は一点に可縮で、$(\mathbb{C}^\times)^r$ は $(z_j)\mapsto(z_j/|z_j|)$ への変形レトラクトによりトーラス $(S^1)^r$ にホモトピー同値である。$\mathbb{C}^g/\Lambda$（$\Lambda$ は階数 $2g$ の格子）は実ベクトル空間 $\mathbb{R}^{2g}$ を格子で割ったものなので $(S^1)^{2g}$ と微分同相である。コンパクト Riemann 面としての滑らかな射影曲線の基礎となる曲面は向き付け可能な閉曲面で、種数 $g$ はその種数に等しい（種数）。これらの空間の Betti 数は Betti数 の例「基本的な空間の Betti 数」の表（トーラス・閉曲面・複素射影空間）による。$\square$
thm-betti-embedding により、たとえば数体 $k$ 上の幾何的に連結な種数 $g$ の滑らかな射影曲線 $X$ では、$b_1(X_\sigma)=\dim_kH^1_{dR}(X/k)$ は $k$ のどの埋め込み $\sigma$ でも $2g$ である。
反例
各行は、Betti コホモロジーと代数的 de Rham コホモロジーの比較（thm-betti-embedding・thm-betti-real）の前提を 1 つずつ外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 古典位相を使うこと | 楕円曲線 $E$ の Zariski 位相での定数層 $\mathbb{Q}$ のコホモロジー | $\dim H^1=b_1=2$（Zariski 位相では $0$） |
| 形式が実係数であること | $\mathbb{G}_{m,\mathbb{R}}$ 上の複素係数の形式 $i\,dt/t$ | $\tau$ による固定（thm-betti-real の結論） |
| 係数を $\mathbb{C}$ に広げること | $\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}$ の $H^1_{dR}(X/\mathbb{Q})$ と $H^1_B(X,\mathbb{Q})$ | 比較同型 $\rho$ が $\mathbb{Q}$ 構造どうしを対応させること |
要点：1 行目は定数層の脆弱性、2・3 行目は周期 $2\pi i$ の計算による。
各行の確認を開く
1 行目：既約な位相空間の上の定数層は脆弱層で、正の次数の層コホモロジーが $0$ である（エタールコホモロジー の例「反例：Zariski位相の定数層」）。楕円曲線 $E$ の基礎空間は既約なので $H^1(E_{\mathrm{Zar}},\mathbb{Q})=0$ だが、$E(\mathbb{C})$ はトーラスで $b_1=2$ である。
2 行目：$\rho([i\,dt/t])=i\cdot2\pi i\,\gamma^\vee=-2\pi\gamma^\vee$ で、$\tau(-2\pi\gamma^\vee)(\gamma)=\overline{-2\pi\cdot(-1)}=2\pi$ なので $\tau$ は $-2\pi\gamma^\vee$ を $2\pi\gamma^\vee$ に写し、固定しない。thm-betti-real の結論は実係数の形式の類にだけ当てはまる。
3 行目：$H^1_{dR}(X/\mathbb{Q})=\mathbb{Q}[dt/t]$ と $H^1_B(X,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}\gamma^\vee$ は、$H^1_B(X,\mathbb{C})$ の中でそれぞれ $\mathbb{Q}\cdot2\pi i\gamma^\vee$ と $\mathbb{Q}\gamma^\vee$ という直線を張る。$2\pi i\notin\mathbb{Q}$ なので二つの $\mathbb{Q}$ 部分空間は $0$ でしか交わらず、比較同型 $\rho$ は $\mathbb{Q}$ 構造どうしを対応させない。$\mathbb{C}$ に広げて初めて同型になる。
関連項目
- 前提: 特異コホモロジー, 解析化, de Rhamコホモロジー
- 比較: エタールコホモロジー, Weilコホモロジー, 周期(代数多様体)
- 構造: Hodge構造, Hodge分解, Tate捻り, Betti数
- 応用: 実現関手(モチーフ), モチーフ的Galois群, Deligneコホモロジー
- 関連: 非可換コホモロジー
参考文献
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