Alexanderカンドル

$(x+c)\ast(y+c)=tx+(1-t)y+(t+1-t)c=x\ast y+c$ である。$\Lambda$ 加群の準同型 $h$ は $h(tx+(1-t)y)=th(x)+(1-t)h(y)$ をみたす。どちらも全単射なら自己同型である。$\square$

$S_y(x)-x=(t-1)x+(1-t)y=(1-t)(y-x)$、$S_y^{-1}(x)-x=t^{-1}(1-t)(x-y)$ はどちらも $(1-t)M$ に入る。よって右移動とその逆は剰余類を保ち、軌道は剰余類に含まれる。逆に $x$ と $m\in M$ について $y:=x+m$ とすると $S_y(x)=x+(1-t)m$ なので、剰余類 $x+(1-t)M$ のすべての元は $x$ から 1 回の右移動で得られる。したがって軌道は剰余類そのもので、軌道が 1 つであることは $(1-t)M=M$ と同値である。$\square$

1：$1-t=2$ 倍が $\mathbb{Z}/n$ の全射であるのは $n$ が奇数のときである。2：$1-a$ 倍が全射であることは $1-a$ が $\mathbb{Z}/n$ の単元であることと同値である。3：体の $0$ でない元 $1-\omega$ は単元である（$S_4$ では $1-\omega=1+\omega=\omega^2$）。$\square$

$(-ty,\tau^{-1})(x,\tau)=(-ty+tx,1)$ で、これに $(y,\tau)$ を右から掛けると $(tx-ty+y,\tau)=(tx+(1-t)y,\tau)$ になる。$\square$

彩色と準同型。 彩色 $c$ に、$x_i\mapsto(c(\alpha_i),\tau)$ で定まる写像を対応させる。lem-aq-semidirect により、関係式 $x_{\text{左}}=x_{\text{上}}^{-1}x_{\text{右}}x_{\text{上}}$ が $G_M$ で成り立つことは彩色の条件と同値なので、群の表示 の普遍性と Wirtinger表示 の定理「Wirtinger 表示の定理」から、彩色は群準同型 $\rho\colon\pi_1(X)\to G_M$ で各 $x_i$ を $M\times\{\tau\}$ へ送るものと 1 対 1 に対応する。$\pi_1(X)$ は $x_i$ で生成され $\varphi(x_i)=1$ なので、この条件は「$\rho(g)$ の $\tau$ の指数が $\varphi(g)$ である」ことと同値である。
準同型の分解。 そのような $\rho$ について $\rho(\mu)=(m,\tau)$ と書き、$\rho$ を $N$ に制限すると準同型 $f\colon N\to M\times\{1\}\cong M$ を得る。$M$ は可換なので $f$ は $N^{\mathrm{ab}}$ を経由し、
$$ \rho(\mu n\mu^{-1})=(m,\tau)(f(n),1)(-tm,\tau^{-1})=(m+t^{-1}f(n)-m,1)=(t^{-1}f(n),1) $$
なので $f$ は $\Lambda$ 準同型 $A_K\to\overline M$ である。$\rho\mapsto(m,f)$ が全単射であることを示す。各 $g\in\pi_1(X)$ は $g=n\mu^k$（$k=\varphi(g)$、$n=g\mu^{-k}\in N$）と一意に書けるので、$\rho$ は $(m,f)$ で決まる。逆に $(m,f)$ が与えられたとき $\rho(n\mu^k):=(f(n),1)(m,\tau)^k$ と定める。$(m,\tau)^k=(s_k,\tau^k)$ と書くと $(s_k,\tau^k)(v,1)=(t^{-k}v,1)(s_k,\tau^k)$ なので、$f(\mu^an'\mu^{-a})=t^{-a}f(n')$ と合わせて
$$ \rho(n\mu^a)\rho(n'\mu^b)=(f(n)+t^{-a}f(n'),1)(m,\tau)^{a+b}=\rho\bigl(n\cdot\mu^an'\mu^{-a}\cdot\mu^{a+b}\bigr) $$
であり、$\rho$ は準同型で、$\tau$ の指数は $\varphi$ である。
まとめ。 彩色 $c$ について $m=c(\alpha_1)$ である。$\Lambda$ 準同型 $h\colon M\to M'$ は群準同型 $G_M\to G_{M'}$ を引き起こし、$h\circ c$ には $(h(m),h\circ f)$ が対応するので、全単射は自然である。$\square$

$\operatorname{Hom}_\Lambda(P(D),M)=\operatorname{Col}_M(D)$ であり、$c(\alpha_1)=0$ の彩色の全体は $\operatorname{Hom}_\Lambda(P(D)/\Lambda\alpha_1,M)$ である。$\operatorname{Hom}_\Lambda(A_K,\overline M)=\operatorname{Hom}_\Lambda(\overline{A_K},M)$ なので、thm-aq-alexander-module の全単射は $c(\alpha_1)=0$ の彩色を $\{0\}\times\operatorname{Hom}_\Lambda(\overline{A_K},M)$ へ $M$ について自然に写す。米田の補題 の系「表現可能関手による同型判定」により $P(D)/\Lambda\alpha_1\cong\overline{A_K}$ である。全体の全単射から同様に $P(D)\cong\Lambda\oplus\overline{A_K}$ である。$P(D)/\Lambda\alpha_1$ は $\alpha_2,\dots,\alpha_n$ を生成元とし $n$ 個の関係式で表示されるので、Alexander多項式 の定義「位数と Alexander 多項式」により、小行列式の最大公約元は $\operatorname{ord}(\overline{A_K})$ である。$A_K$ の表示行列の $t$ を $t^{-1}$ に替えると $\overline{A_K}$ の表示行列になるので $\operatorname{ord}(\overline{A_K})\doteq\Delta_K(t^{-1})$ で、これは同記事の命題「対称性」により $\Delta_K(t)$ に単元倍を除いて等しい。$\square$