志村多様体

$Y:=\operatorname{Im}\tau$、$\begin{pmatrix}P\\Q\end{pmatrix}:=\gamma\begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}$（$P=A\tau+B$、$Q=C\tau+D$）とおく。$2g\times g$ 行列 $M,N$ について $M^{\mathsf T}\Omega N=M_1^{\mathsf T}N_2-M_2^{\mathsf T}N_1$（添字は上下のブロック）であり、$\tau$ が対称なので
$$ \begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}^{\mathsf T}\Omega \begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}=\tau^{\mathsf T}-\tau=0,\qquad\overline{\begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}}^{\mathsf T}\Omega \begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}=\bar\tau-\tau=-2iY. $$
$\gamma$ は実で $\gamma^{\mathsf T}\Omega \gamma=\Omega $ なので、$P,Q$ についても
$$ P^{\mathsf T}Q-Q^{\mathsf T}P=0,\qquad\bar P^{\mathsf T}Q-\bar Q^{\mathsf T}P=-2iY\qquad(\ast) $$
が成り立つ。
正則性． $Qv=0$（$v\in\mathbb{C}^g$）なら、$(\ast)$ の第 2 式を $v^*$ と $v$ で挟んで $(Pv)^*Qv-(Qv)^*Pv=-2iv^*Yv$、左辺は $0$ なので $v^*Yv=0$、$Y$ が正定値なので $v=0$ である。
$\gamma\tau\in\mathfrak{H}_g$． $\tau':=PQ^{-1}$ とおく。$(\ast)$ の第 1 式に左から $(Q^{\mathsf T})^{-1}$、右から $Q^{-1}$ を掛けて $\tau'^{\mathsf T}=\tau'$ を得る。第 2 式に左から $(\bar Q^{\mathsf T})^{-1}$、右から $Q^{-1}$ を掛けると $\bar\tau'^{\mathsf T}-\tau'=-2i(Q^{-1})^*YQ^{-1}$、左辺は $\bar\tau'-\tau'=-2i\operatorname{Im}\tau'$ なので、虚部の式を得る。右辺は正定値 Hermite 行列で、$\operatorname{Im}\tau'$ は実なので実対称正定値である。
作用であること． $\begin{pmatrix}\gamma\tau\\I\end{pmatrix}=\gamma\begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}Q^{-1}$ なので、$\gamma'\begin{pmatrix}\gamma\tau\\I\end{pmatrix}=(\gamma'\gamma)\begin{pmatrix}\tau\\I\end{pmatrix}Q^{-1}$ であり、上下のブロックの比 $(\text{上})(\text{下})^{-1}$ をとると $\gamma'(\gamma\tau)=(\gamma'\gamma)\tau$ である。単位行列は自明に作用する。
推移性． $\tau=R+iY$（$R,Y$ は実対称、$Y$ は正定値）とし、$Y^{1/2}$ を $Y$ の正定値平方根とする。$\gamma_1:=\begin{pmatrix}I&R\\0&I\end{pmatrix}$、$\gamma_2:=\begin{pmatrix}Y^{1/2}&0\\0&Y^{-1/2}\end{pmatrix}$ はブロックの条件 $A^{\mathsf T}C,\ B^{\mathsf T}D$ が対称で $A^{\mathsf T}D-C^{\mathsf T}B=I$（$\gamma^{\mathsf T}\Omega \gamma=\Omega $ をブロックで書いたもの）を満たすので $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{R})$ に入り、$\gamma_1\gamma_2(iI)=\gamma_1(iY)=iY+R=\tau$ である。
固定部分群． $A,B,C,D$ は実なので、$(Ai+B)(Ci+D)^{-1}=iI$、すなわち $Ai+B=-C+iD$ は $A=D$、$B=-C$ と同値である。このとき上のブロックの条件は $A^{\mathsf T}B$ が対称かつ $A^{\mathsf T}A+B^{\mathsf T}B=I$ となり、これは $U:=A+iB$ について $U^*U=(A^{\mathsf T}A+B^{\mathsf T}B)+i(A^{\mathsf T}B-B^{\mathsf T}A)=I$ と同値である。$\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}\mapsto A+iB$ は積を保つ単射で、像は $U(g)$ である。$\square$

要点：行列式が $1$ なので $x\mapsto E(x,\cdot)$ は $\Lambda$ から双対加群への同型で、原始的な元 $\lambda_1$ に $E(\lambda_1,\mu_1)=1$ となる $\mu_1$ がとれ、直交補空間で帰納法を回す。

段 1（$\mu$ は $\mathbb{C}$ 上の基底）． $W$ を $\mu_1,\dots,\mu_g$ の $\mathbb{R}$ 上の張る空間とすると、$E$ は $W$ 上で $0$ である。$w\in W\cap iW$ を $w=iw'$（$w'\in W$）と書くと、$H(w',w')=E(iw',w')=E(w,w')=0$ なので、$H$ の正定値性から $w'=0$ である。$\dim_{\mathbb{R}}W=g$ なので $V=W\oplus iW$ であり、$\mu_1,\dots,\mu_g$ は $V$ の $\mathbb{C}$ 上の基底である。
段 2（$\tau\in\mathfrak{H}_g$ と $H=H_\tau$）． 基底 $\mu$ で $V=\mathbb{C}^g$（$\mu_j=e_j$）とし、$\tau=R+iY$（$R,Y$ は実行列）とおく。$S_{jk}:=E(ie_j,e_k)$ とおくと、$H(e_j,e_k)=E(ie_j,e_k)+iE(e_j,e_k)=S_{jk}$ なので、$S$ は実対称正定値で、$H$ は $H(v,w)=v^{\mathsf T}S\bar w$ と書ける。$\lambda_j=\sum_a(R_{aj}e_a+Y_{aj}\,ie_a)$ と $E(e_a,e_k)=0$ から
$$ \delta_{jk}=E(\lambda_j,e_k)=\sum_aY_{aj}S_{ak}=(Y^{\mathsf T}S)_{jk} $$
であり、$Y=S^{-1}$ は実対称正定値である。さらに $E(ie_a,ie_b)=E(e_a,e_b)=0$、$E(e_a,ie_b)=-S_{ab}$ を使うと
$$ 0=E(\lambda_j,\lambda_k)=(Y^{\mathsf T}SR)_{jk}-(R^{\mathsf T}SY)_{jk}=R_{jk}-R_{kj} $$
となり、$R$ も対称である。よって $\tau\in\mathfrak{H}_g$、$\Lambda=\tau\mathbb{Z}^g+\mathbb{Z}^g=\Lambda_\tau$、$H=H_\tau$ である。
段 3（基底の取り替え）． 別のシンプレクティック基底は $(\lambda'\ \mu')=(\lambda\ \mu)M$、$M=\begin{pmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{pmatrix}\in\mathrm{GL}_{2g}(\mathbb{Z})$ と書け、$E$ の行列が両方の基底で $\Omega $ なので $M^{\mathsf T}\Omega M=\Omega $、すなわち $M\in\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ である。座標では $(\lambda'\ \mu')=(\tau A'+C'\ \ \tau B'+D')$ で、段 1 により $Q':=\tau B'+D'$ は正則であり、新しい行列は $\tau'=Q'^{-1}(\tau A'+C')$ である。段 2 により $\tau'$ は対称なので、転置して
$$ \tau'=(A'^{\mathsf T}\tau+C'^{\mathsf T})(B'^{\mathsf T}\tau+D'^{\mathsf T})^{-1}=M^{\mathsf T}\tau $$
であり、$M^{\mathsf T}\in\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ である。同型 $f\colon(X,H)\to(X',H')$ はシンプレクティック基底をシンプレクティック基底に写し、$f$ で写した基底からは同じ $\tau$ が得られる。よって軌道は基底と同型類の代表によらない。
段 4（全単射）． 全射：$(X_\tau,H_\tau)$ のシンプレクティック基底 $\tau e_j, e_j$ からは $\tau$ 自身が得られる。単射：$\tau'=\gamma\tau$（$\gamma\in\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$）とし、$M:=\gamma^{\mathsf T}$ で $\Lambda_\tau$ のシンプレクティック基底 $(\lambda'\ \mu'):=(\tau\ I)M$ を作る。段 3 の計算から、$\mathbb{C}$ 線形写像 $f(v):=Q'^{-1}v$ は $\mu'_j$ を $e_j$ に、$\lambda'_j$ を $\tau'e_j$ に写す。よって $f(\Lambda_\tau)=\Lambda_{\tau'}$ で、$f$ はシンプレクティック基底どうしを写すので $E_{\tau'}(fv,fw)=E_\tau(v,w)$ である。$H$ は $H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)$ で $E$ から決まり、$f$ は $\mathbb{C}$ 線形なので $H_{\tau'}(fv,fw)=H_\tau(v,w)$ である。したがって $(X_\tau,H_\tau)\cong(X_{\tau'},H_{\tau'})$ である。$\square$