Hodgeの定理

前提知識: Laplace–de Rham作用素, 調和形式, de Rhamコホモロジー, 楕円正則性, Fredholm作用素

Hodgeの定理（Hodge theorem）とは、コンパクトで境界のない向き付けられた Riemann 多様体 $(M,g)$ の上で、$p$ 次微分形式の空間が
$$ \Omega^p(M)=\mathcal H^p(M)\oplus d\,\Omega^{p-1}(M)\oplus d^*\Omega^{p+1}(M) $$
と、調和形式・完全形式・余完全形式の 3 つに直交分解され、調和形式の空間 $\mathcal H^p(M)$ が有限次元で de Rham コホモロジー $H^p_{\mathrm{dR}}(M)$ と同型になる、という定理である。とくに、各 de Rham コホモロジー類はただ一つの調和形式で代表される。
Hodge の定理は、計量を一つ選ぶと各コホモロジー類に標準的な代表元（その類の中でノルムが最小の閉形式）が決まることを述べ、Betti 数を楕円型の方程式 $\Delta\omega=0$ の解の空間の次元として表す。代表元が高々一つであることは $\Delta$ の非負性だけから従う（Laplace–de Rham作用素 の系「調和形式のノルム最小性と一意性」）が、代表元が存在すること、つまり方程式 $\Delta u=f$ が解けることには楕円型作用素の解析が要る。
この記事では主定理を次の 4 段で証明する。

1. Gårding の不等式と Rellich の定理から、$\Delta$ が Sobolev 空間の間の Fredholm 作用素であることを導く。
2. 楕円正則性から、方程式 $\Delta u=f$ の解が滑らかであることを示す。
3. 直交分解を得る。
4. de Rham コホモロジーとの同型を示す。
   コンパクト多様体の上の Gårding の不等式・Rellich の定理・楕円正則性は引用する（rem-hodgethm-cited）。これらを扱う記事が証明しているのはトーラスの場合や定数係数の場合で、コンパクト多様体への一般化はそれらの記事でも引用である。平坦なトーラスの上では、引用なしで記事の中で証明が閉じることも示す（ex-hodgethm-torus）。

設定と主定理

記号

以下、$(M,g)$ は $n$ 次元のコンパクトで境界のない、向き付けられた Riemann 多様体とする（連結とは仮定しない）。$\Omega^p(M)$ は滑らかな実数値 $p$ 次微分形式の空間で、$p<0$ と $p>n$ では $\Omega^p(M)=0$ とする。Laplace–de Rham作用素 の記事と同じく、各点の内積を $\langle\ ,\ \rangle$、体積形式を $\mathrm{vol}$ と書き、
$$ \langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle=\int_M\langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol},\qquad\|\alpha\|^2=\langle\!\langle\alpha,\alpha\rangle\!\rangle $$
とおく（$L^2$ 内積）。$d^*\colon\Omega^p(M)\to\Omega^{p-1}(M)$ は余微分（外微分の形式的随伴）、$\Delta=dd^*+d^*d$ は Laplace–de Rham 作用素であり、
$$ \mathcal H^p(M):=\{\omega\in\Omega^p(M)\mid\Delta\omega=0\} $$
は $p$ 次の調和形式の空間である。$d\omega=0$ となる形式を閉形式、$d^*\omega=0$ となる形式を余閉形式、$d\alpha$ の形の形式を完全形式、$d^*\beta$ の形の形式を余完全形式という。
Laplace–de Rham作用素 の記事から、次の 3 つを使う。

• 定理「Laplace–de Rham 作用素の非負性と自己随伴性」：$\langle\!\langle\Delta\omega,\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle d\omega,d\eta\rangle\!\rangle+\langle\!\langle d^*\omega,d^*\eta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\omega,\Delta\eta\rangle\!\rangle$。
• 定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」：$\Delta\omega=0$ と「$d\omega=0$ かつ $d^*\omega=0$」は同値。
• 定理「Laplace–de Rham 作用素の局所表示」：$\Delta$ は主表象 $-|\xi|^2\mathrm{id}$ の 2 階の作用素で、とくに楕円型作用素である。
  また Hodgeのスター作用素 の定理「余微分は外微分の形式的随伴」により、$\langle\!\langle d\eta,\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\eta,d^*\omega\rangle\!\rangle$ である。

主定理

分解 2 の成分のうち $\alpha$、$\beta$ そのものは一意ではない（閉形式 $\alpha'$ を加えても $d\alpha$ は変わらない）。一意なのは $d\alpha$ と $d^*\beta$ である。
同型 3 の両辺のうち、$H^p_{\mathrm{dR}}(M)$ は計量によらないが、$\mathcal H^p(M)$ は計量 $g$ に依存する（調和形式 の命題「ワープ積計量のトーラスの調和形式」）。定理は、$\mathcal H^p(M)$ の次元は計量によらず Betti 数 $b_p(M)=\dim H^p_{\mathrm{dR}}(M)$（Betti数 の定理「Betti 数の言い換え」の 4）に等しいことを含む。
複素数値の形式についても、$\langle\ ,\ \rangle$ を Hermite 内積にして同じ主張と証明が成り立つ。実数値の調和形式の複素化が複素数値の調和形式である（$\Delta$ は実の作用素なので、$\Delta\omega=0$ は実部と虚部がそれぞれ調和形式であることと同値である）。

解析の準備

形式の Sobolev 空間

$L^2(M,\Lambda^p)$ を、可測な係数をもつ $p$ 次形式 $u$ で $\|u\|^2=\int_M|u|^2\,\mathrm{vol}<\infty$ となるもの（ほとんど至る所で等しいものを同一視する）のなす Hilbert 空間とする。内積は $\langle\!\langle\ ,\ \rangle\!\rangle$ で、$\Omega^p(M)$ はその部分空間である。
整数 $k\ge0$ について、$M$ の有限個の座標近傍 $(U_i;x_i^1,\dots,x_i^n)$ による被覆と、それに従う 1 の分割 $\{\chi_i\}$（$\operatorname{supp}\chi_i\subset U_i$ はコンパクト）を 1 組選ぶ。$u\in L^2(M,\Lambda^p)$ について $\chi_iu=\sum_Iu_{i,I}\,dx_i^I$ と書き、$u_{i,I}$ を $\mathbb R^n$ 上の関数とみなす（$U_i$ の外では $0$ とする）。すべての $i,I$ について $u_{i,I}$ が $k$ 階までの弱導関数を $L^2$ にもつとき $u\in W^k(M,\Lambda^p)$ と書き、
$$ \|u\|_k^2:=\sum_i\sum_I\sum_{|\alpha|\le k}\bigl\|\partial^\alpha u_{i,I}\bigr\|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 $$
とおく。$W^k(M,\Lambda^p)$ は 楕円正則性 の記事の $H^k(M,F)$（$F=\Lambda^pT^*M$）と同じものである。この記事では de Rham コホモロジー $H^p_{\mathrm{dR}}$ や調和形式の空間 $\mathcal H^p$ と区別するために $W^k$ と書く。$W^0(M,\Lambda^p)=L^2(M,\Lambda^p)$ で、$\|\cdot\|_0$ は $\|\cdot\|$ と同値なノルムである（rem-hodgethm-cited の 1）。

以下、3 の評価の $k=0$ の場合を Gårding の不等式と呼ぶ。$u\in W^2$ なら 1 により $\Delta u\in W^0=L^2$ で、これは超関数の意味の $\Delta u$ と一致するので（lem-hodgethm-parts）、
$$ \|u\|_2\le C_0\bigl(\|\Delta u\|_0+\|u\|_0\bigr)\qquad(u\in W^2(M,\Lambda^p)) $$
である。右辺の $\|u\|_0$ は $\|u\|_2$ より弱いノルムであり、Rellich の定理によってこれはコンパクトな誤差として扱える。これが段 1 の Fredholm 性の源である。

2 つの補題

lem-hodgethm-weyl は、調和関数についての Weylの補題（弱調和関数は調和）の、形式と閉多様体への類似である。

主定理の証明

証明は 4 段に分ける。段 1 と段 2 が解析、段 3 と段 4 は内積の計算である。

段 1：$\Delta$ は Fredholm 作用素である

Gårding の不等式は「$\Delta u$ と $u$ の弱いノルムが $u$ の強いノルムを抑える」こと、Rellich の定理は「弱いノルムでは有界列が収束部分列をもつ」ことを与え、この 2 つで $\Delta$ は有限次元の線形写像のように振る舞う。

段 2：楕円正則性と Green 作用素

$\mathcal H^p(M)$ は有限次元なので、$L^2$ 内積についての正規直交基底 $h_1,\dots,h_m$ をとり、
$$ H\omega:=\sum_{j=1}^m\langle\!\langle\omega,h_j\rangle\!\rangle\,h_j\qquad(\omega\in L^2(M,\Lambda^p)) $$
とおく。$H$ は $\mathcal H^p(M)$ への直交射影で、基底の選び方によらない。$H$ の像は滑らかな形式からなる。

段 1 だけでは解は $W^2$ の中でしか得られず、それが滑らかであることを保証するのが楕円正則性である。

段 3：直交分解

$\Delta G\omega=d(d^*G\omega)+d^*(dG\omega)$ と書けば、prop-hodgethm-green の分解はそのまま主定理の 2 の分解を与える。残るのは 3 つの部分空間の直交性である。

段 4：de Rham コホモロジーとの同型

主定理の証明

単射性は楕円型の解析を使っていない（Laplace–de Rham作用素 の系「調和形式のノルム最小性と一意性」の 2 と同じ内容）。解析が要ったのは全射性、すなわち各類に調和形式が存在することである。

Green 作用素の性質

2 から、完全形式 $\omega$ について $\omega=d(d^*G\omega)$ であり、$d^*G\omega$ は $\omega$ の原始形式のうち $L^2$ ノルムが最小のものである（原始形式どうしの差は閉形式で、余完全形式 $d^*G\omega$ は閉形式に直交する）。

平坦なトーラスでの証明

平坦なトーラスの上では、Fourier 級数によって段 1〜段 4 の解析がすべて具体的に書け、rem-hodgethm-cited の引用を使わずに証明が閉じる。

例

反例と注意

仮定を外すと、調和形式の空間はコホモロジーと一致しなくなる。

向き付けについての注意：$\Delta$ は向きによらずに定まる（Laplace–de Rham作用素 の定義の後の注意 3）が、この記事では $d^*$ を $*$ で書く都合で向き付けを仮定した。

Hodge 分解と Hodge 理論との関係

• Hodge分解 の記事は、コンパクト Kähler 多様体の複素コホモロジーの $(p,q)$ 型への分解を主題とし、その証明の出発点として、この記事の主定理と Green 作用素の性質（thm-hodgethm-main、prop-hodgethm-green-commute）にあたる事実を定理「調和形式による表現」として引用している。この記事はその部分を証明するものである。
• 同じ論法は、楕円型作用素 の記事の定義「楕円型複体」の意味の楕円型複体に通用し、Gil84 Theorem 1.5.2（pp. 38–39）と Nic26 Theorem 10.4.30（p. 526）はその一般の形で述べている。複素多様体の Dolbeault 複体 $(\Omega^{p,\bullet},\bar\partial)$ への適用は、複素 Hodge 理論の後の記事で扱う。
• Poincaré 双対や Betti 数の対称性など、この定理からの帰結は Hodge理論 の記事で扱う。
  この記事の主定理の形は Dem12 Ch. VI (3.16)・(3.17)（p. 295）、Gil84 Theorem 1.5.2（pp. 38–39）と de Rham 複体への適用（pp. 39–41）、Nic26 Theorem 10.4.30・Corollary 10.4.32（pp. 526–528）に従う。段 1 の論法（楕円型評価とコンパクトな包含から核の有限次元性と像の閉性を導く）は Nic26 Lemma 10.4.8・10.4.9 と Theorem 10.4.7 の証明（pp. 514–515）、Dem12 Ch. VI (2.4) の証明（pp. 289–290）と同じ筋である。

関連項目

• 前提: Laplace–de Rham作用素, Hodgeのスター作用素, de Rhamコホモロジー
• 解析の道具: Gårdingの不等式, Rellichの定理, 楕円正則性, Fredholm作用素
• 比較: 調和形式, Weylの補題
• 直後に読む: Hodge理論, Hodge分解