局所双対定理(Grothendieck)

同義語：Grothendieckの局所双対定理Grothendieck local dualitylocal duality theorem (Grothendieck)

概要

前提知識: 局所コホモロジー, Matlis双対, 正則局所環, 標準加群

局所双対定理（Grothendieck の局所双対定理、local duality theorem）とは、完備な Noether 局所環の上で、極大イデアルに台をもつ局所コホモロジー $H^i_{\mathfrak m}(M)$ と $\operatorname{Ext}$ 加群が、剰余体の入射包 $E$ による Matlis 双対 $(-)^\vee=\operatorname{Hom}(-,E)$ で互いに移り合うという定理である。$n$ 次元の完備正則局所環 $S$ と有限生成 $S$ 加群 $M$ については
$$H^i_{\mathfrak m}(M)^\vee\cong\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S),\qquad H^i_{\mathfrak m}(M)\cong\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S)^\vee$$
となり、$d$ 次元の完備 Cohen–Macaulay 局所環 $A$ では、$S$ を標準加群 $\omega_A$ に、$n$ を $d$ に取り替えた形が成り立つ。
局所コホモロジーは Artin 加群で計算しにくい。双対定理は、それを有限生成加群の $\operatorname{Ext}$ という扱いやすい対象に言い換える。たとえば Grothendieckの非消滅定理の深さと次元の情報は、$\operatorname{Ext}^j_S(M,S)$ が零でない次数の範囲として読み直せる。射影空間上の Serre 双対定理（Serre双対性）が大域的な双対であるのに対し、こちらは $1$ 点の近傍での双対であり、Grothendieck の双対理論の局所版にあたる。Galois コホモロジーの Tate の局所双対定理（Poitou–Tate双対を参照）とは別の定理である。
この記事では、まず冪級数環 $k[\![X_1,\dots,X_n]\!]$ の最上次局所コホモロジーを逆単項式で具体的に計算し（thm-gld-model）、それを使って完備正則局所環の場合の双対定理を証明する（thm-gld-regular）。さらに環の取り替えで、完備 Cohen–Macaulay 局所環の場合を導く（thm-gld-cm）。

記号

環は単位元をもつ可換環とする。Noether 局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ について、$E_A=E_A(k)$ を剰余体の入射包とし、$M^\vee=\operatorname{Hom}_A(M,E_A)$ を Matlis 双対とする（Matlis双対の定義「Matlis 双対」）。$E_A$ は入射的なので $(-)^\vee$ は完全な反変関手である。$A$ が完備なら $\operatorname{Hom}_A(E_A,E_A)=A$（$a$ 倍を対応させる。Matlis双対の定理「完備化上の入射包と自己準同型環」の 3）である。
局所コホモロジー $H^i_{\mathfrak m}(M)$ は、$\mathfrak m$ を根基にもつイデアルの生成元 $\mathbf f$ の Čech 複体 $\check C^\bullet(\mathbf f;M)$ で計算でき、生成元の選び方や、環準同型 $A\to B$ による環の取り替え（$B$ 加群の局所化は $A$ の元で取っても $B$ の像で取っても同じ）によらない（Grothendieckの非消滅定理の節「記号と基本事項」の 1〜3）。

模型：冪級数環の最上次局所コホモロジー

冪級数環の局所コホモロジー

体 $k$ と $n\ge1$ について $S=k[\![X_1,\dots,X_n]\!]$、$\mathfrak m=(X_1,\dots,X_n)$ とし、$u=X_1\cdots X_n$ とおく。

$i\ne n$ なら $H^i_{\mathfrak m}(S)=0$ である。
$H^n_{\mathfrak m}(S)=S_u\big/\sum_iS_{u/X_i}$ は、指数がすべて負の単項式 $X^{-a}=X_1^{-a_1}\cdots X_n^{-a_n}$（$a_i\ge1$）の類を $k$ 上の基底にもつ。$S$ の作用は、$X^b\cdot X^{-a}$ が、$b_i< a_i$ がすべての $i$ で成り立つとき $X^{b-a}$ の類、それ以外のとき $0$ で与えられる。
$H^n_{\mathfrak m}(S)$ は剰余体の入射包 $E_S$ と同型であり、$\operatorname{Hom}_S(H^n_{\mathfrak m}(S),H^n_{\mathfrak m}(S))=S$ である。

1. $S$ は $n$ 次元の正則局所環なので Cohen–Macaulay であり（正則局所環の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」）、Grothendieckの非消滅定理の系「Cohen–Macaulay性の判定」により $H^i_{\mathfrak m}(S)$ は $i=n$ でだけ $0$ でない。
2. $S$ は整域なので、$S_u$ の元 $f/u^t$（$f=\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\in S$）を、指数が下に有界な形式和 $\sum_\alpha c_\alpha X^{\alpha-t\mathbf 1}$（$\mathbf 1=(1,\dots,1)$）と同一視できる。この形式和の各単項式の係数は $f/u^t$ の表し方によらない。
張ること：$f$ の単項式を、$\alpha_1\ge t$ のもの、$\alpha_1< t$ かつ $\alpha_2\ge t$ のもの、…、$\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}< t$ かつ $\alpha_n\ge t$ のもの、そしてすべての $\alpha_i< t$ のもの（有限個）に分け、$f=f_1+\dots+f_n+f_0$ と書く。$f_i$ は $X_i^t$ で割り切れるので、$f_i/u^t=(f_i/X_i^t)/(u/X_i)^t$ は $S_{u/X_i}$ の像に入る。よって $f/u^t$ の類は $f_0/u^t=\sum c_\alpha X^{\alpha-t\mathbf 1}$ の類に等しく、これは指数がすべて負の単項式の有限 $k$ 線形結合である。
一次独立性：$S_{u/X_i}$ の元を上のように形式和と見ると、$X_i$ の指数はすべて $0$ 以上である。したがって $\sum_iS_{u/X_i}$ の像のどの元も、指数がすべて負の単項式の係数は $0$ である。指数がすべて負の単項式の有限結合 $\sum c_aX^{-a}$ がこの像に入れば、すべての $c_a=0$ である。
作用は形式和の掛け算であり、$X^{b-a}$ に $0$ 以上の指数があればその類は上の議論で $0$ になる。
3. 2 の基底 $X^{-a}$ を $x^{-(a-\mathbf 1)}$ に対応させると、作用の式は Matlis双対の例「逆多項式による $E$ の記述」の作用の式と一致する。同じ例により、これは $E_S$ と同型である。$S$ は完備なので、自己準同型環は $S$ である（記号の節）。

2 の基底を使うと、留数 $\operatorname{res}\colon H^n_{\mathfrak m}(S)\to k$ を「$X^{-\mathbf 1}=(X_1\cdots X_n)^{-1}$ の係数」で定められる。$f\in S$ と $X^{-a}$ について $\operatorname{res}(fX^{-a})$ は $f$ の $X^{a-\mathbf 1}$ の係数であり、$1$ 変数の複素関数論で $\frac1{2\pi i}\oint f(z)z^{-a}\,dz$ が $f$ の $z^{a-1}$ の係数を取り出すことの形式版である。この対 $(f,e)\mapsto\operatorname{res}(fe)$ により、$H^n_{\mathfrak m}(S)$ は「ある $\mathfrak m^t$ の上で消える $k$ 線形形式 $S\to k$」の全体と同一視される。
$k$ を含まない完備正則局所環（混標数）でも、$n$ 次元の完備正則局所環 $S$ と正則パラメータ系 $\mathbf x$ について、$\check C^\bullet(\mathbf x;S)$ のコホモロジーは $n$ 次だけにあり、そこで $E_S$ と同型である（局所コホモロジーの命題「最高Čechコホモロジーと単射包」）。以下の thm-gld-regular はこの事実だけを使うので、等標数・混標数を区別しない。冪級数環では thm-gld-model がその具体的な形を与えている。

主定理：完備正則局所環の場合

正則局所環の局所双対

$(S,\mathfrak m,k)$ を $n$ 次元の完備正則局所環、$E=E_S$、$M$ を有限生成 $S$ 加群とする。すべての $i$ について自然な同型
$$\operatorname{Hom}_S(H^i_{\mathfrak m}(M),E)\cong\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S),\qquad H^i_{\mathfrak m}(M)\cong\operatorname{Hom}_S(\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S),E)$$
がある。ただし負の次数の $\operatorname{Ext}$ は $0$ とする。

有限自由分解と Čech 複体. $S$ は正則なので、$M$ は長さ $n$ 以下の有限自由分解 $0\to F_n\to\dots\to F_0\to M\to0$ をもつ（正則局所環の定理「大域次元による特徴づけ（Serre、Auslander–Buchsbaum–Serre）」。局所環上の有限射影加群は自由）。正則パラメータ系 $\mathbf x$ の Čech 複体を $Q=\check C^\bullet(\mathbf x;S)$ とする。二重複体 $Q^j\otimes_SF_q$（$0\le j\le n$、$0\le q\le n$）を、全次数 $j-q$ の全複体 $T$ にまとめる。
行で見る. $Q^j$ は局所化の有限直和なので平坦であり、$Q^j\otimes F_\bullet\to Q^j\otimes M$ は完全なままである。有界な二重複体で各行が完全なら、増大写像は全複体の擬同型を与えるので
$$H^p(T)\cong H^p(Q\otimes_SM)=H^p(\check C^\bullet(\mathbf x;M))=H^p_{\mathfrak m}(M).$$
列で見る. $Q$ のコホモロジーは $n$ 次の $E$ だけなので（模型の節の最後の段落）、$Q^n\to E$ は擬同型 $Q\to E[-n]$ を与える。$F_q$ は有限自由なので $Q\otimes F_q\to E\otimes F_q[-n]$ も擬同型であり、同じく有界な二重複体の議論で
$$H^p(T)\cong H_{n-p}(E\otimes_SF_\bullet).$$
よって $H^i_{\mathfrak m}(M)\cong H_{n-i}(E\otimes_SF_\bullet)$ である。
双対を取る. $D=\operatorname{Hom}_S(-,E)$ は完全なので、任意の鎖複体 $C_\bullet$ について $D(H_p(C))\cong H^p(D(C))$ である。有限自由な $F_q$ について、テンソルと Hom の随伴と $\operatorname{Hom}_S(E,E)=S$ から
$$D(E\otimes_SF_q)=\operatorname{Hom}_S(F_q,\operatorname{Hom}_S(E,E))=\operatorname{Hom}_S(F_q,S)$$
であり、これは微分と両立する。$\operatorname{Hom}_S(F_\bullet,S)$ のコホモロジーは $\operatorname{Ext}^\bullet_S(M,S)$ なので、$D(H^i_{\mathfrak m}(M))\cong D(H_{n-i}(E\otimes F_\bullet))\cong\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S)$ を得る。
逆向きには、$\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S)=H^{n-i}(\operatorname{Hom}_S(F_\bullet,S))$ に $D$ を施す。有限自由な $F_q$ では評価写像 $F_q\otimes_SE\to\operatorname{Hom}_S(\operatorname{Hom}_S(F_q,S),E)$ が同型なので
$$D(\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S))\cong H_{n-i}(D(\operatorname{Hom}_S(F_\bullet,S)))\cong H_{n-i}(F_\bullet\otimes_SE)\cong H^i_{\mathfrak m}(M)$$
である。どの同型も $M$ の写像と（分解の持ち上げを通じて）両立するので自然である。

有界な二重複体の補題の確認

有限個の行と列だけが零でない二重複体 $X^{j,q}$ が、各行（$q$ を固定した列 $j$ 方向、または逆）で完全なら、全複体は完全である。全次数 $p$ のサイクル $z=\sum z^{j,q}$ をとり、端の成分 $z^{j,q}$（$j$ 方向が完全なら $q$ が最大の成分、$q$ 方向が完全なら $q$ が最小の成分）は、完全な方向の微分で消えるので、完全性からある元の像になる。その元の全微分を $z$ から引くと、端の $q$ が $1$ つ内側へ動く。有限回で $z$ は境界になる。上の 2 つの擬同型は、増大写像の写像錐（各行が完全な有界二重複体）にこれを当てて得られる。

$i>n$ や $i<0$ では両辺とも $0$ であり、Grothendieckの非消滅定理の深さと次元の情報は、双対側では「$\operatorname{Ext}^j_S(M,S)\ne0$ となる $j$ は $n-\dim M\le j\le n-\operatorname{depth}M$ にあり、両端で $0$ でない」と言い換えられる（Matlis 双対 $D$ は $0$ でない加群を $0$ でない加群に送る。Matlis双対の定理「双対の基本性質」の 2）。

Cohen–Macaulay 環の場合

$A$ を $d$ 次元の完備 Noether 局所環とする。Cohen の構造定理により、完備正則局所環 $S$ からの全射 $S\twoheadrightarrow A$ がある（Cohenの構造定理、Mat89 定理 29.4 (ii)）。$n=\dim S$、$c=n-d$ とし、$A$ の標準加群を $\omega_A=\operatorname{Ext}^c_S(A,S)$ とする。その同型類は全射の選び方によらない（標準加群の定義「完備局所環の標準加群」）。

Cohen–Macaulay環の局所双対

$(A,\mathfrak m,k)$ を $d$ 次元の完備 Noether Cohen–Macaulay 局所環、$E_A$ を剰余体の入射包、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。すべての $i$ について
$$\operatorname{Hom}_A(H^i_{\mathfrak m}(M),E_A)\cong\operatorname{Ext}^{d-i}_A(M,\omega_A),\qquad H^i_{\mathfrak m}(M)\cong\operatorname{Hom}_A(\operatorname{Ext}^{d-i}_A(M,\omega_A),E_A)$$
が成り立つ。

$\operatorname{Ext}_S(A,S)$ は $1$ つの次数に集中する. thm-gld-regular を $M=A$ に当てると $\operatorname{Ext}^{n-i}_S(A,S)\cong H^i_{\mathfrak m}(A)^\vee$ である。$A$ は Cohen–Macaulay なので、Grothendieckの非消滅定理の系「Cohen–Macaulay性の判定」により $H^i_{\mathfrak m}(A)=0$（$i\ne d$）であり、$\operatorname{Ext}^j_S(A,S)=0$（$j\ne c$）となる。
環の取り替え. このとき、すべての $A$ 加群 $N$ について
$$\operatorname{Ext}^j_S(N,S)\cong\operatorname{Ext}^{j-c}_A(N,\omega_A)\qquad(\ast)$$
が成り立つ（下の折りたたみ）。
結論. $H^i_{\mathfrak m}(M)$ は $A$ で計算しても $S$ で計算しても同じである（記号の節）。$E_A=\operatorname{Hom}_S(A,E_S)$ は $A$ 上の剰余体の入射包であり（Matlis双対の命題「$E$ の構造」の 2）、$A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Hom}_A(N,E_A)=\operatorname{Hom}_S(N,E_S)$ である（$g\mapsto(v\mapsto g(v)(1))$）。thm-gld-regular と $(\ast)$ から
$$\operatorname{Hom}_A(H^i_{\mathfrak m}(M),E_A)=\operatorname{Hom}_S(H^i_{\mathfrak m}(M),E_S)\cong\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S)\cong\operatorname{Ext}^{d-i}_A(M,\omega_A)$$
であり、もう一方の同型も同様に $\operatorname{Hom}_S(\operatorname{Ext}^{n-i}_S(M,S),E_S)=\operatorname{Hom}_A(\operatorname{Ext}^{d-i}_A(M,\omega_A),E_A)$ から得る。

環の取り替え $(\ast)$ の証明

$S$ の入射分解 $S\to I^\bullet$ をとり、$X^\bullet=\operatorname{Hom}_S(A,I^\bullet)$ とおく。各 $X^j$ は入射的な $A$ 加群である（$\operatorname{Hom}_A(N,X^j)=\operatorname{Hom}_S(N,I^j)$ が $N$ について完全）。$X^\bullet$ のコホモロジーは $\operatorname{Ext}^\bullet_S(A,S)$ なので、$c$ 次の $\omega_A$ だけである。$c>0$ なら $X^0\to X^1$ は単射で、像は入射的なので直和因子として分かれる。これを $c-1$ 次まで繰り返すと、$X^\bullet$ は、分裂完全な部分 $0\to X^0\to\dots\to X^{c-1}\to B^c\to0$（$B^c$ は $c$ 次の境界）と、$B^c$ の補因子 $Y^c$ から始まる複体 $0\to Y^c\to X^{c+1}\to\cdots$ の直和になる。後者は $\omega_A$ の入射分解を $c$ だけずらしたものである。$A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Hom}_S(N,I^\bullet)=\operatorname{Hom}_A(N,X^\bullet)$ であり、分裂完全な部分は $\operatorname{Hom}_A(N,-)$ を施しても完全なので、$$\operatorname{Ext}^j_S(N,S)=H^j(\operatorname{Hom}_A(N,X^\bullet))=\operatorname{Ext}^{j-c}_A(N,\omega_A)$$となる。$c=0$ なら $X^\bullet$ 自身が $\omega_A$ の入射分解である。

$M=A$、$i=d$ とすると $H^d_{\mathfrak m}(A)\cong\operatorname{Hom}_A(\omega_A,E_A)$ であり、$\omega_A$ は最上次の局所コホモロジーの Matlis 双対として内在的に特徴づけられる。$A$ が完備でなくても、正規化された双対化複体 $\omega_A^\bullet$ をもてば、$\operatorname{Ext}^{-i}_A(M,\omega_A^\bullet)$ の完備化が $\operatorname{Hom}_A(H^i_{\mathfrak m}(M),E_A)$ に同型になる（StacksDC Lemma 18.4、Tag 0AAK、p. 35）。$A$ が Cohen–Macaulay なら $\omega_A^\bullet$ は $1$ つの加群を $d$ だけずらしたものになり（同 Lemma 20.2、Tag 0AWS、p. 36）、左辺は $\operatorname{Ext}^{d-i}_A(M,-)$ の完備化の形になる。これらはこの記事では証明しない。

例

剰余体

$n$ 次元の完備正則局所環 $S$ と $M=k$ では、$H^0_{\mathfrak m}(k)=k$、ほかの次数は $0$ である。一方 $k$ は正則パラメータ系の Koszul 複体で分解され（Koszul複体の定理「正則列のKoszulホモロジー」）、Koszul 複体の自己双対性（局所コホモロジーの補題「Koszul分解と自己双対」）から $\operatorname{Ext}^n_S(k,S)\cong k$、ほかの次数は $0$ である。thm-gld-regular の $i=0$ の場合 $k^\vee=k\cong\operatorname{Ext}^n_S(k,S)$ と一致する。

1変数の有限長加群

$S=k[\![X]\!]$、$M=S/(X^a)$ とする。$M$ は有限長なので $H^0_{\mathfrak m}(M)=M$、$H^1_{\mathfrak m}(M)=0$ である。分解 $0\to S\xrightarrow{X^a}S\to M\to0$ から $\operatorname{Hom}_S(M,S)=0$、$\operatorname{Ext}^1_S(M,S)=S/(X^a)$ である。双対定理は $M^\vee\cong S/(X^a)$ を述べ、留数で書けば、$M$ の元 $g$ に $f\mapsto\operatorname{res}(fgX^{-a})$ を対応させる対が完全であることにあたる（$\{1,X,\dots,X^{a-1}\}$ と $\{X^{a-1},\dots,1\}$ が双対基底になる）。

Cohen–Macaulay でない環

$S=k[\![x,y,z,w]\!]$、$A=S/\big((x,y)\cap(z,w)\big)$（$2$ 次元）とする。Grothendieckの非消滅定理の例「1点で交わる2つの平面」により、$H^0_{\mathfrak m}(A)=0$、$H^1_{\mathfrak m}(A)\cong k$、$H^2_{\mathfrak m}(A)\ne0$ である。thm-gld-regular から
$$\operatorname{Ext}^4_S(A,S)=0,\qquad\operatorname{Ext}^3_S(A,S)\cong k,\qquad \omega_A=\operatorname{Ext}^2_S(A,S)\cong H^2_{\mathfrak m}(A)^\vee\ne0$$
である。$\operatorname{Ext}^3_S(A,S)\ne0$ が、$A$ が Cohen–Macaulay でないことを双対側で表している。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
$S$ が完備であること（thm-gld-regular）	$S=k[x]_{(x)}$、$M=S$、$i=1$	$\operatorname{Hom}_S(H^1_{\mathfrak m}(S),E)\cong\operatorname{Ext}^0_S(S,S)$
$A$ が Cohen–Macaulay であること（thm-gld-cm）	ex-gld-two-planes の $A$、$M=A$、$i=1$	$H^1_{\mathfrak m}(A)\cong\operatorname{Hom}_A(\operatorname{Ext}^{1}_A(A,\omega_A),E_A)$

1 行目：$S$ は離散付値環で $E=k(x)/S$ であり、$H^1_{\mathfrak m}(S)=S_x/S=k(x)/S=E$ である。$\operatorname{Hom}_S(E,E)$ は完備化 $k[\![x]\!]$ であり（Matlis双対の定理「完備化上の入射包と自己準同型環」）、$\operatorname{Ext}^0_S(S,S)=S$ と $S$ 加群として同型でない。実際、同型 $S\to k[\![x]\!]$ が $1\mapsto g$ なら $k[\![x]\!]=Sg$ であり、$1=sg$（$s\in S$）から $k[\![x]\!]=Ss^{-1}\subset k(x)$ となる。しかし $\sum_{m\ge1}x^{m!}$ は有理関数でない（有理関数の展開の係数列はある線形漸化式をみたし、漸化式の階数より長く $0$ が続けばその後もずっと $0$ になるが、この係数列は長い $0$ の後に $1$ が現れる）。
2 行目：$A$ は自由 $A$ 加群なので $\operatorname{Ext}^1_A(A,\omega_A)=0$ だが、$H^1_{\mathfrak m}(A)\cong k\ne0$ である。$\omega_A$ は定義できても、Cohen–Macaulay でなければ $(\ast)$ が成り立たず、双対は $\operatorname{Ext}_S(-,S)$ の形でしか述べられない。

参考文献

[1]

Hideyuki Matsumura (translated by Miles Reid), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1989, 定理 29.4 (ii)（p. 225、完備局所環は正則局所環の商）

[2]

The Stacks Project Authors, The Stacks Project, Chapter Dualizing Complexes (Tag 08XG), The Stacks Project Authors, 閲覧日 2026年10月1日, https://stacks.math.columbia.edu/tag/08XG

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局所双対定理(Grothendieck)

局所双対定理(Grothendieck)

概要

記号

模型：冪級数環の最上次局所コホモロジー

主定理：完備正則局所環の場合

Cohen–Macaulay 環の場合

例

反例と注意

関連項目

参考文献