Serreの判定法(正則性)

$\operatorname{pd}_Ak\le\operatorname{gldim}A$ は大域次元の定義から従う。逆に、大域次元 の定理「巡回加群による大域次元」により
$$ \operatorname{gldim}A=\sup\{\operatorname{pd}_A(A/I)\mid I\text{ は }A\text{ のイデアル}\} $$
である。各 $A/I$ は有限生成なので、極小自由分解 の系「自由であることの判定」の後半により $\operatorname{pd}_A(A/I)\le\operatorname{pd}_Ak$ である。よって $\operatorname{gldim}A\le\operatorname{pd}_Ak$ である。$\square$

正則局所環 の命題「正則パラメータ系は正則列で、正則局所環は Cohen–Macaulay」により、$x_1,\dots,x_d$ は $A$ 正則列である。Koszul複体 の定理「正則列のKoszulホモロジー」により $K_\bullet$ の正の次数のホモロジーは $0$ で、$H_0(K_\bullet)=A/(x_1,\dots,x_d)=A/\mathfrak m=k$ である。よって $K_\bullet\to k$ は自由分解である。$K_q=\bigwedge^qA^d$ は階数 $\binom dq$ の自由加群で、微分の行列の成分は $0$ か $\pm x_j$ なのですべて $\mathfrak m$ に属する。したがってこれは極小自由分解である（極小自由分解 の例「正則列のKoszul複体」）。
極小自由分解 の定理「Betti 数の計算」により、$\operatorname{Tor}_q^A(k,k)\cong K_q\otimes_Ak$ の次元は $\binom dq$ で、$\operatorname{pd}_Ak$ は $K_q\ne0$ となる最大の $q$、すなわち $d$ である（$K_d=\bigwedge^dA^d\cong A\ne0$）。$d=0$ のときは $\mathfrak m=0$ で $A=k$ は体であり、$K_\bullet$ は $K_0=A$ だけからなる。$\square$

$F_\bullet\to k$ を $k$ の極小自由分解とし（極小自由分解 の定理「極小自由分解の存在」）、$r=\operatorname{pd}_Ak$ とおく。同記事の定理「Betti 数の計算」により $F_r\ne0$、$F_{r+1}=0$ である。
まず $r\ge1$ である。$r=0$ なら $F_1=0$ で $F_0\cong k$ となり、$k$ は階数 $t\ge1$ の自由加群 $A^t$ と同型になる。$\mathfrak m$ は $k$ を $0$ にするので $\mathfrak mA^t=0$、よって $\mathfrak m=0$ となり仮定に反する。
$F_{r+1}=0$ なので、次数 $r$ での完全性から $d_r\colon F_r\to F_{r-1}$ は単射である。$r\ge1$ なので極小性から $d_r(F_r)\subset\mathfrak mF_{r-1}$ である。$\mathfrak ma=0$ となる $a$ をとり、$F_r$ の基底の元 $e$ を 1 つとる。
$$ d_r(ae)=a\,d_r(e)\in a\mathfrak mF_{r-1}=0 $$
なので $ae\in\ker d_r=0$ である。$e$ は自由加群の基底の元なので $ae=0$ から $a=0$ が従う。$\square$

要点：零因子は有限個の随伴素イデアルの和集合で、$\mathfrak m$ はそのどれにも $\mathfrak m^2$ にも含まれないので、素イデアル回避で避けられる。

$B$ の極大イデアルを $\mathfrak n=\mathfrak m/xA$ とおく。$\mathfrak m/x\mathfrak m$ と $\mathfrak n$ は $x$ で零化されるので $B$ 加群である。
段 1：$\operatorname{pd}_B(\mathfrak m/x\mathfrak m)<\infty$。 完全列 $0\to\mathfrak m\to A\to k\to0$ と 射影次元 の命題「短完全列での三つの上界」の第 2 式により $\operatorname{pd}_A\mathfrak m\le\max(0,\operatorname{pd}_Ak-1)<\infty$ である。$\mathfrak m$ の有限の長さの射影分解 $P_\bullet\to\mathfrak m$ をとる。$B$ の自由分解 $0\to A\xrightarrow{x}A\to B\to0$ を使うと、$\operatorname{Tor}_1^A(\mathfrak m,B)$ は $\mathfrak m$ 上の $x$ 倍の核であり、$x$ は $A$ の非零因子なので部分加群 $\mathfrak m$ の上でも単射だから $0$ である。$i\ge2$ では分解の長さが $1$ なので $\operatorname{Tor}_i^A(\mathfrak m,B)=0$ である。Tor関手 の命題「平衡性」により、Tor は $P_\bullet$ にテンソルしても計算できるので
$$ H_i(P_\bullet\otimes_AB)=\operatorname{Tor}_i^A(\mathfrak m,B)=0\quad(i\ge1),\qquad H_0(P_\bullet\otimes_AB)=\mathfrak m\otimes_AB=\mathfrak m/x\mathfrak m $$
である。射影加群は自由加群の直和因子なので $P_i\otimes_AB$ は射影 $B$ 加群であり、$P_\bullet\otimes_AB$ は $\mathfrak m/x\mathfrak m$ の有限の長さの射影分解である。
段 2：$\mathfrak n$ は $\mathfrak m/x\mathfrak m$ の直和因子。 $x\notin\mathfrak m^2$ なので、$x$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像は $0$ でなく、これを基底に延ばして $\mathfrak m$ の最小生成系 $x_1=x,x_2,\dots,x_s$ をとれる。$\mathfrak b=(x_2,\dots,x_s)$ とおくと $\mathfrak m=\mathfrak b+xA$ である。
まず $\mathfrak b\cap xA\subset x\mathfrak m$ を示す。$ax\in\mathfrak b$ とする。$a\notin\mathfrak m$ なら $a$ は単元で $x\in\mathfrak b$ となり、$x$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像が $x_2,\dots,x_s$ の像の一次結合になって、最小生成系の像が一次独立であることに反する。よって $a\in\mathfrak m$、$ax\in x\mathfrak m$ である。
この包含により、$\mathfrak b\to\mathfrak m/x\mathfrak m$ は $\mathfrak b/(\mathfrak b\cap xA)$ を経由する。$\mathfrak b/(\mathfrak b\cap xA)\cong(\mathfrak b+xA)/xA=\mathfrak n$ と合わせて、写像
$$ \sigma\colon\mathfrak n\longrightarrow\mathfrak m/x\mathfrak m,\qquad b+xA\longmapsto b+x\mathfrak m\quad(b\in\mathfrak b) $$
が定まる。自然な全射 $\pi\colon\mathfrak m/x\mathfrak m\to\mathfrak m/xA=\mathfrak n$ との合成 $\pi\sigma$ は $\mathfrak n$ の恒等写像である。$\sigma,\pi$ は $A$ 線形で、どちらの加群も $x$ で零化されるので $B$ 線形でもある。よって $\mathfrak m/x\mathfrak m\cong\mathfrak n\oplus\ker\pi$ であり、射影次元 の命題「直和と直和因子」と段 1 から $\operatorname{pd}_B\mathfrak n<\infty$ である。
段 3。 完全列 $0\to\mathfrak n\to B\to k\to0$ と命題「短完全列での三つの上界」の第 3 式から $\operatorname{pd}_Bk\le\max(0,\operatorname{pd}_B\mathfrak n+1)<\infty$ である。$\square$

lem-serre-gldim-residue により 2 と 3 は同値で、つねに $\operatorname{gldim}A=\operatorname{pd}_Ak$ である。1 ⇒ 2 と、1 のもとでの $\operatorname{pd}_Ak=\dim A$ は prop-serre-forward による。正則なら定義により $\dim A=\operatorname{edim}A$ である。
2 ⇒ 1 を $s=\operatorname{edim}A$ に関する帰納法で示す（$\mathfrak m$ は有限生成なので $s$ は有限）。$s=0$ なら $\mathfrak m/\mathfrak m^2=0$ で、Nakayama の補題により $\mathfrak m=0$、すなわち $A$ は体であり、$\dim A=0=\operatorname{edim}A$ で正則である。
$s\ge1$ とし、$\operatorname{pd}_Ak<\infty$ とする。$\mathfrak m\ne0$ なので lem-serre-m-not-associated により $\mathfrak m\notin\operatorname{Ass}A$ であり、lem-serre-choice により $A$ の非零因子 $x\in\mathfrak m\setminus\mathfrak m^2$ がとれる。$B=A/xA$ とおくと、lem-serre-transfer により $\operatorname{pd}_Bk<\infty$ であり、埋め込み次元 の系「一つの元で割ったときの変化」により $\operatorname{edim}B=s-1$ である。帰納法の仮定により $B$ は正則で、$\dim B=s-1$ である。一方、$x$ は $\mathfrak m$ に属する非零因子なので、正則局所環 の定理「正則元による商の次元」により $\dim B=\dim A-1$ である。よって $\dim A=s=\operatorname{edim}A$ であり、$A$ は正則局所環である。$\square$

主定理により $\operatorname{gldim}A=\dim A<\infty$ なので、有限生成加群 $A/\mathfrak p$ は有限の長さの自由分解 $F_\bullet\to A/\mathfrak p$ をもつ（極小自由分解は射影次元の段数で止まる。極小自由分解 の定理「Betti 数の計算」）。$\mathfrak p$ で局所化すると、局所化は完全なので（局所化 の命題「局所化の完全性」）$(F_\bullet)_{\mathfrak p}\to(A/\mathfrak p)_{\mathfrak p}$ は完全で、$(F_i)_{\mathfrak p}$ は自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群である。$(A/\mathfrak p)_{\mathfrak p}=A_{\mathfrak p}/\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は Noether 局所環 $A_{\mathfrak p}$ の剰余体なので、その射影次元は有限である。主定理の 2 ⇒ 1 により $A_{\mathfrak p}$ は正則である。$\square$

1：正則環なら、極大イデアルは素イデアルなので $R_{\mathfrak n}$ は正則である。逆に、素イデアル $\mathfrak p$ を含む極大イデアル $\mathfrak n$ をとる（極大イデアル の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）。$\mathfrak pR_{\mathfrak n}$ は $R_{\mathfrak n}$ の素イデアルで、$R_{\mathfrak p}\cong(R_{\mathfrak n})_{\mathfrak pR_{\mathfrak n}}$ である（$R\setminus\mathfrak n\subset R\setminus\mathfrak p$ なので、先に $R\setminus\mathfrak n$ を可逆にしてから残りを可逆にしても同じ環になる）。cor-serre-localization により $R_{\mathfrak p}$ は正則である。
2：大域次元 の命題「可換環の局所化」により $\operatorname{gldim}R_{\mathfrak p}\le\operatorname{gldim}R<\infty$ なので、主定理により $R_{\mathfrak p}$ は正則である。$\square$