Lawvere–Tierney位相

1：$K\rightarrowtail\Omega$ を $j$ が分類する部分対象とする。$j\circ\mathrm{true}=\mathrm{true}$ は $\mathrm{true}$ が $K$ を経由すること、すなわち $T\le K$ を意味する。$S=\chi_S^*(T)$ で、$\overline S$ の分類射は $j\circ\chi_S=\chi_K\circ\chi_S$ なので $\overline S=\chi_S^*(K)$ であり、$\chi_S^*$ は順序を保つから $S\le\overline S$。$\overline{\overline S}$ の分類射は $j\circ j\circ\chi_S=j\circ\chi_S$ なので $\overline{\overline S}=\overline S$。$\overline{S\wedge S'}$ の分類射は
$$ j\circ\wedge\circ(\chi_S,\chi_{S'})=\wedge\circ(j\circ\chi_S,\,j\circ\chi_{S'}) $$
で、これは $\overline S\wedge\overline{S'}$ の分類射である。引き戻しとの可換性は定義の直後に述べた。$S\le S'$ なら $S=S\wedge S'$ なので $\overline S=\overline S\wedge\overline{S'}\le\overline{S'}$。
2：$S=\chi_S^*(T)$ なので、可換性から $c_X(S)=\chi_S^*c_\Omega(T)$ であり、その分類射は $\chi_{c_\Omega(T)}\circ\chi_S=j\circ\chi_S$ である。よって $c$ は $j$ 閉包と一致する。$j\circ\mathrm{true}=\mathrm{true}$：$T\le c_\Omega(T)$ なので $\mathrm{true}$ は $c_\Omega(T)$ を経由し、$\mathrm{true}^*c_\Omega(T)$ は $1$ 全体である。その分類射 $j\circ\mathrm{true}$ は $1$ 全体の分類射 $\mathrm{true}$ に等しい。$j\circ j=j$：$X=\Omega$、$S=T$ とすると $j\circ j=j\circ\chi_{c(T)}=\chi_{c(c(T))}=\chi_{c(T)}=j$。交わり：$X=\Omega\times\Omega$ とし、$P_1,P_2$ を射影 $\pi_1,\pi_2$ が分類する部分対象とすると $\chi_{P_1\wedge P_2}=\wedge\circ(\pi_1,\pi_2)=\wedge$ なので、
$$ j\circ\wedge=\chi_{c(P_1\wedge P_2)}=\chi_{c(P_1)\wedge c(P_2)}=\wedge\circ(j\circ\pi_1,\,j\circ\pi_2)=\wedge\circ(j\times j). $$
一意性：位相 $j$ は $T$ の閉包 $\overline T$ の分類射 $j\circ\chi_T=j$ として閉包から決まる。$\square$

1：$\overline{\overline A}=\overline A$ なので $\overline A$ は閉である。$i\colon\overline A\rightarrowtail E$ とすると、$A\le\overline A$ なので $A$ を $\overline A$ の部分対象とみたものは $i^*A$ であり、引き戻しとの可換性からその閉包は $i^*(\overline A)$、すなわち $\overline A$ 全体である。2：$S$ が閉であることは分類射が等しいこと $j\circ\chi_S=\chi_S$ と同値であり、これは $\chi_S$ が等化子 $\Omega_j$ を経由することと同値である。$\Omega_j\to\Omega$ はモノ射なので経由の仕方はただ 1 つである。$\square$

引き戻しとの可換性は、$f^*$ が $\Rightarrow$ と $\vee$ を保つ Heyting 代数の準同型であることと $f^*(U_X)=U_{X'}$ による。Heyting 代数の随伴 $Y\le(a\Rightarrow b)\iff Y\wedge a\le b$ を使う。開位相：$S\wedge U_X\le S$ から $S\le(U_X\Rightarrow S)$。$Y\le U_X\Rightarrow(U_X\Rightarrow S)\iff Y\wedge U_X\wedge U_X\le S\iff Y\le(U_X\Rightarrow S)$ から冪等。$Y\le U_X\Rightarrow(S\wedge S')\iff Y\wedge U_X\le S$ かつ $Y\wedge U_X\le S'$ から交わりを保つ。閉位相：増大と冪等は明らかで、交わりは分配律（Heyting代数 の命題「含意から従う式」）による $(S\vee U_X)\wedge(S'\vee U_X)=(S\wedge S')\vee U_X$ から従う。稠密性の判定：$U_X\Rightarrow S=X\iff X\wedge U_X\le S\iff U_X\le S$。$\square$

閉なら層：稠密なモノ射 $d\colon D\rightarrowtail B$ と射 $f\colon D\to A$ をとる。$F$ は層なので、$g\circ d=m\circ f$ となる $g\colon B\to F$ がただ 1 つある。$g\circ d$ は $A$ を経由するので $D\le g^*(A)$ であり、$g^*(A)$ は閉部分対象の引き戻しなので閉である。thm-lt-closure の 1 の単調性から $B=\overline D\le\overline{g^*(A)}=g^*(A)$ となり、$g$ は $A$ を経由する：$g=m\circ h$。$m$ はモノ射なので $m\circ h\circ d=m\circ f$ から $h\circ d=f$。別の $h'$ で $h'\circ d=f$ なら、$m\circ h'$ と $g$ はともに $m\circ f$ の延長なので一致し、$h'=h$ である。
層なら閉：prop-lt-closure-basic の 1 により $A$ は $\overline A$ の稠密な部分対象である。包含を $i\colon A\rightarrowtail\overline A$、$k\colon\overline A\rightarrowtail F$（$m=k\circ i$）とする。$A$ は層なので、$\mathrm{id}_A$ は $r\circ i=\mathrm{id}_A$ となる $r\colon\overline A\to A$ に延びる。$k$ と $m\circ r$ はどちらも $\overline A\to F$ で、$i$ との合成がともに $m$ なので、$F$ が層であることから $k=m\circ r$。よって $\overline A\le A$ であり、$A=\overline A$。$\square$

$j$ は自然変換なので、$g\colon D\to C$ について $j_D(g^*S)=g^*(j_CS)$ である。$\wedge$ は共通部分なので、各 $j_C$ は共通部分を保ち、とくに包含を保つ。最大篩：$j\circ\mathrm{true}=\mathrm{true}$ から $j_C(t_C)=t_C$。引き戻しで安定：$S\in J(C)$ なら $j_D(g^*S)=g^*t_C=t_D$。局所性：$S\in J(C)$ とし、篩 $R$ が $S$ のすべての $g\colon D\to C$ について $g^*R\in J(D)$ をみたすとする。$g^*(j_CR)=j_D(g^*R)=t_D$ は $\mathrm{id}_D$ を含むので $g\in j_CR$ であり、$S\subset j_CR$。包含を保つことと $j\circ j=j$ から $t_C=j_C(S)\subset j_C(j_CR)=j_CR$ となり、$R\in J(C)$。
閉包の式：$\overline A$ の分類射は $j\circ\chi_A$ なので、$e\in\overline A(C)$ は $j_C(\chi_A(e))=t_C$、すなわち $\chi_A(e)\in J(C)$ と同値である。$\square$