Čech複体

$d^2$ の $J=\{j_1<\cdots< j_{q+2}\}$ 成分を考える。二つの位置 $a< b$ の添字を消す項は二回現れる。先に $j_a$ を消すと、残った列で $j_b$ の位置は $b-1$ となり、符号は $(-1)^{a-1+b-2}$ である。先に $j_b$ を消すと $j_a$ の位置は変わらず、符号は $(-1)^{b-1+a-1}$ である。これらは逆符号であり、局所化の合成は同じ写像だから打ち消し合う。すべての二位置の組がこの形なので $d^2=0$ となる。標数二では逆符号が同じに見えるが、その和は二倍で零なので同じ結論である。
テンソル積複体の微分は、次数 $a_i\in\{0,1\}$ の元に対し、第 $i$ 因子に微分を作用させるとき符号 $(-1)^{a_1+\cdots+a_{i-1}}$ を付ける。次数 $q$ の成分は、次数一を選んだ位置の集合 $I$ に対応し、$\bigotimes_{i\in I}A_{f_i}\otimes_A M=M_{f_I}$ である。$J$ に新たに $j_a$ を加える場合、それより前の次数一の位置は $a-1$ 個なので符号は $(-1)^{a-1}$ となる。従って項と微分の両方が定義に一致する。$\square$

$K_n$ の $I$ 成分の $m\in M$ を $m/f_I^n\in M_{f_I}$ へ送る。$m$ の次段での像 $f_I^{m'-n}m$ を送ると $f_I^{m'-n}m/f_I^{m'}=m/f_I^n$ だから遷移と両立する。
この写像は各成分で全射である。任意の分数 $m/f_I^t$ は、$n\ge\max(1,t)$ を選べば $f_I^{n-t}m/f_I^n$ と書ける。核も零である。段 $n$ の元の像が零なら、ある $s$ で $f_I^sm=0$ となる。段 $n+s$ への遷移でその元は零になるので、直極限でも零である。空集合 $I$ では分母は一、遷移は恒等であり、同じ議論は $M$ の恒等同型になる。有限個の成分の直和とも直極限は交換するので、次数ごとに同型を得る。
微分について、$J=I\cup\{j_a\}$ とすると $K_n$ の対応する微分項は $(-1)^{a-1}f_{j_a}^nm$ である。これを $J$ 成分で送ると
$$ (-1)^{a-1}\frac{f_{j_a}^nm}{f_J^n} =(-1)^{a-1}\frac{m}{f_I^n} $$
となる。右辺は局所化による制限を意味し、Čech の微分項と一致する。従って得た次数別同型は複体の同型である。$\square$

直極限の元はある段の元で代表され、その元が零であることは、ある後段で零になることを意味する。この記述から、有向直極限は単射と全射および完全列を保つ。たとえば段 $n$ の元の像が零なら後段で像が零となり、その段の核の元として回収できる。
コホモロジーについても直接確認できる。直極限のサイクルを段 $n$ の $x$ で代表すると、$dx$ の像が零なので後段で $dx=0$ となり、その段のサイクルで代表できる。これで全射性を得る。段のサイクルの像が直極限で境界なら、境界を作る元とその等式を十分後の共通段へ移して、その段で境界と書ける。従って直極限コホモロジーでも零であり、単射性を得る。$\square$

零次の核に属することは、すべての $M_{f_i}$ で像が零となることである。局所化の零判定により各 $i$ について $f_i^{n_i}m=0$ となる正整数 $n_i$ がある。$N=1+\sum_i(n_i-1)$ とすると、次数 $N$ の各単項式にはどれかの $f_i$ が $n_i$ 回以上現れるので、その単項式は $m$ を殺す。$I^N$ はこのような単項式で生成されるから $I^Nm=0$ となる。
逆に $I^Nm=0$ なら $f_i^Nm=0$ が各 $i$ で成立するので、局所化ではすべて零となる。空列の場合は微分先が零だから核は $M$ であり、$0M=0$ と一致する。$\square$

まずある $f_i$ が単元の場合、その二項因子 $[A\to A_{f_i}]$ は恒等写像と同型である。次数一から零への恒等写像 $h$ に対し $dh+hd=1$ が成り立つ。テンソル表示でこの因子を最初へ移し、$h$ をその因子に作用させると、他因子の微分との交差項はテンソル微分の符号により打ち消し合う。従って全テンソル複体も可縮である。因子の順序交換は次数 $a,b$ の元の交換に符号 $(-1)^{ab}$ を付ければ複体同型になる。
一般に、各素イデアル $\mathfrak p$ ではいずれかの $f_i$ が $\mathfrak p$ に入らず、$A_{\mathfrak p}$ の単元となる。局所化した複体は前段により完全であり、局所化の完全性から各 $H^q$ の $\mathfrak p$ 局所化は零である。
すべての素点で局所化が零となる加群 $N$ は零である。もし $0\ne x\in N$ があれば、真のイデアル $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大イデアル $\mathfrak p$ を選べる。$x/1=0$ なら、$\mathfrak p$ の外の元で $x$ が殺されるはずで、零化イデアルが $\mathfrak p$ に含まれることに矛盾する。従って全 $H^q$ は零である。$\square$

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ なら空集合で生成されるので有限生成である。以下 $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。選んだ多項式は少なくとも一つあるので、$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。 $N=0$ なら $c=0$ として結論は直ちに成立する。以下 $N\ne0$ とし、これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性が誘導位相と完備化の比較を可能にする。

$K_n$ は $f_1^n,\ldots,f_r^n$ の有限自由Koszul鎖複体とする。$K_m\to K_n$ の集合 $J$ 成分を $f_J^{m-n}$ 倍とする。微分の $j$ を除く項では
$$f_j^n f_J^{m-n}=f_j^m f_{J\setminus\{j\}}^{m-n}$$
だから鎖写像である。次数 $q>0$ の像は $I^{m-n}(K_n)_q$ に含まれる。
各 $f_j^n$ 倍は外積 $u\mapsto e_j\wedge u$ で零とホモトピックである。外積微分の積則を展開すると
$$d(e_j\wedge u)+e_j\wedge du=f_j^n u$$
となり、$j$ 以外の項は交代符号で相殺する。従って各 $f_j^n$ は $H_q(K_n)$ を零化する。$r\ge1$ なら $N=1+r(n-1)$ と置くと、次数 $N$ の各生成単項式はどれかの $f_j$ を $n$ 回含むため $I^NH_q(K_n)=0$。
$Z_q=\ker(d:(K_n)_q\to(K_n)_{q-1})$ に上のArtin–Reesの補題を適用する。ある固定 $c$ について
$$Z_q\cap I^t(K_n)_q\subset I^{t-c}Z_q\quad(t\ge c)$$
となる。$m-n\ge c+N$ とすれば、後段のサイクルの像は $I^NZ_q$ に入り、ホモロジー上で零、従って境界である。これで遷移が零になる。$c$ は固定 $n,q$ ごとに選び、全 $n$ で一様とは仮定しない。空列なら正次数の鎖項自体が零で結論は自明である。

入射加群 $E$ とは、部分加群から $E$ への写像を全加群へ延長できる加群である。まず
$$H^q(\operatorname{Hom}_A(K_n,E))\cong\operatorname{Hom}_A(H_q(K_n),E)$$
を直接示す。$B_q=\operatorname{im}d_{q+1}$ とすると、コサイクルは $B_q$ を零化し、$Z_q/B_q$ への制限を与える。入射性で任意の $Z_q/B_q\to E$ は $(K_n)_q/B_q$ へ延長できるので制限は全射。制限が零なら $(K_n)_q/Z_q\cong B_{q-1}$ を通り、再び入射性で写像を $(K_n)_{q-1}$ へ延長できるため、元のコサイクルはコバウンダリーである。これで同型を得る。
有限自由項の双対なので $\operatorname{Hom}(K_n,E)$ は上で定めたKoszulコチェイン複体であり、鎖の逆向き遷移をHomしたものは既定のコチェイン遷移と同じである。$q>0$ の各段の類は、直前の補題により後段で零になる。従って直極限とコホモロジーの交換から $H^q(\check C(\mathbf f;E))=0$。次数零は prop-cech-torsion により $\Gamma_I(E)$ である。
任意の $M$ の入射解像度 $0\to M\to E^0\to E^1\to\cdots$ を取り、$Q^0=M$ として $0\to Q^j\to E^j\to Q^{j+1}\to0$ と書く。右導来の定義はこの解像度へ $\Gamma_I$ を適用した複体のコホモロジーである。Čechの係数長完全列と入射係数での消滅から
$$H^1(\check C(Q^j))\cong\operatorname{coker}(\Gamma_I(E^j)\to\Gamma_I(Q^{j+1})),$$
$$H^{a+1}(\check C(Q^j))\cong H^a(\check C(Q^{j+1}))\quad(a\ge1)$$
を得る。
$\Gamma_I$ は左完全である。部分加群の元が $I$ の冪で殺される条件は全加群でも同じで、核に属する元の回収でも条件は変わらない。従って $\Gamma_I(Q^{j+1})$ は $\Gamma_I(E^{j+1})\to\Gamma_I(E^{j+2})$ の核である。右導来の次数 $q\ge1$ は、上の余核の式を $j=q-1$ としたものになり、次元移動を $q-1$ 回使えば $H^q(\check C(M))$ と一致する。次数零も $\Gamma_I(M)$ で一致する。接続写像は自然で、入射解像度間の比較写像も構成できるので、同型は $M$ の写像に関して自然である。比較写像は各次数で入射性により延長し、二つの比較の差も同じ延長の帰納でホモトピーにできる。
空列では $I=0$、$\Gamma_0$ は恒等関手で正次数右導来は零、Čechも $M$ だけなので同じ結論になる。