重み構造

同義語：weight structureco-t構造co-t-structure

概要

重み構造（weight structure）とは、三角圏の対象の二つの類 $\mathcal C^{w\le0}$、$\mathcal C^{w\ge0}$ の組で、加法的・Karoubi 閉・移動について半不変であり、$\mathcal C^{w\ge0}$ から $\mathcal C^{w\le0}[1]$ への射が零で、任意の対象が完全三角形 $B[-1]\to X\to A\to B$（$A\in\mathcal C^{w\le0}$、$B\in\mathcal C^{w\ge0}$）に分解されるものである。複体を項の次数で切る操作の公理化で、t構造と直交の向きが逆なため、分解は一意でなく、心は一般にアーベル圏でない。標数 $0$ の完全体上の幾何的モチーフの三角圏には Chow モチーフを心とする重み構造があり、実現に重みスペクトル系列を与える。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 三角圏, 加法圏, t構造, ホモトピー圏

重み構造は、三角圏の対象を「重みの高い部分」と「重みの低い部分」に切り分ける仕組みを公理にしたものである。複体のホモトピー圏で、複体を次数のところで項ごとに切り離す操作（愚直な切断、stupid truncation）がその典型である。M. V. Bondarko が導入した。公理は t構造 とよく似ているが、直交の向きが逆である。そのため、切り分けの三角形は一意に定まらず、境目にある対象の全体（心）は加法圏で、一般にはアーベル圏にならない。標数 $0$ の完全体の上の Voevodsky のモチーフの三角圏では Chow モチーフを心とする重み構造があり、モチーフの実現（実現関手(モチーフ)）のコホモロジーに重みのフィルトレーションとスペクトル系列を与える。
この記事では重み構造を定義し、直交による特徴づけとそこから従う基本性質を証明し、ホモトピー圏の愚直な重み構造が公理を満たすことを確かめる。分解の非一意性と心がアーベル圏にならない例を示し、重み複体・重みスペクトル系列とモチーフへの応用を引用で述べる。

定義

三角圏 $\mathcal C$ の移動関手 $\Sigma$（三角圏）を、Bondarko にならって $X[1]:=\Sigma X$、$X[n]:=\Sigma^nX$ と書く。部分類 $\mathcal D\subset\operatorname{Ob}\mathcal C$ が Karoubi 閉であるとは、$X\in\mathcal D$ のレトラクト（$r\circ i=\operatorname{id}_Y$ となる射 $i\colon Y\to X$、$r\colon X\to Y$ があるときの $Y$）がまた $\mathcal D$ に属することをいう。同型な対象は互いのレトラクトなので、Karoubi 閉な類は同型で閉じている。

重み構造

三角圏 $\mathcal C$ の対象の部分類の組 $w=(\mathcal C^{w\le0},\mathcal C^{w\ge0})$ が重み構造（weight structure）であるとは、次をみたすことをいう。

  1. （加法性）$\mathcal C^{w\le0}$ と $\mathcal C^{w\ge0}$ は零対象を含み、有限直和で閉じ、Karoubi 閉である。
  2. （移動について半不変）$\mathcal C^{w\le0}[1]\subset\mathcal C^{w\le0}$、$\mathcal C^{w\ge0}\subset\mathcal C^{w\ge0}[1]$。
  3. （直交）$X\in\mathcal C^{w\ge0}$、$Y\in\mathcal C^{w\le0}$ ならば $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y[1])=0$。
  4. （重み分解）任意の $X\in\mathcal C$ について、完全三角形
    $$ B[-1]\longrightarrow X\longrightarrow A\longrightarrow B,\qquad A\in\mathcal C^{w\le0},\ B\in\mathcal C^{w\ge0} $$
    がある。これを $X$ の重み分解（weight decomposition）という。

これは Bon10 Definition 1.1.1（p. 14）である。Pauksztello が独立に co-t構造 として導入したことは同 p. 6 に述べられている。整数 $l$ について $\mathcal C^{w\le l}:=\mathcal C^{w\le0}[-l]$、$\mathcal C^{w\ge l}:=\mathcal C^{w\ge0}[-l]$ とおく。条件 2 は $\mathcal C^{w\le-1}\subset\mathcal C^{w\le0}$ かつ $\mathcal C^{w\ge1}\subset\mathcal C^{w\ge0}$ のことで、ここから $\mathcal C^{w\le l}\subset\mathcal C^{w\le l+1}$、$\mathcal C^{w\ge l+1}\subset\mathcal C^{w\ge l}$ が従う。条件 3 は $\operatorname{Hom}(X[-1],Y)=\operatorname{Hom}(X,Y[1])$ により「$\mathcal C^{w\ge1}$ の対象から $\mathcal C^{w\le0}$ の対象への射は零」と言い換えられる。重み分解の $B[-1]$ は $\mathcal C^{w\ge1}$ に属する。

心

$\mathcal C^{w=0}:=\mathcal C^{w\le0}\cap\mathcal C^{w\ge0}$ を対象とする $\mathcal C$ の充満部分圏 $\mathcal Hw$ を、重み構造 $w$ の心（heart）という。$\bigcup_l\mathcal C^{w\le l}=\bigcup_l\mathcal C^{w\ge l}=\operatorname{Ob}\mathcal C$ のとき $w$ は有界であるという（Bon10 Definition 1.2.1、p. 15）。

記号の流儀

この記事の不等号の向きは Bon10 に従う。複体の次数はコホモロジー的に $X^n$ と書き、$X[1]^n=X^{n+1}$ である（三角圏 の記号では $X^n=X_{-n}$）。重みの符号を逆にとり、$\mathcal C^{w\le0}$ と $\mathcal C^{w\ge0}$ の役割を入れ替えて書く流儀もあるので、文献を読むときは条件 2・3 で向きを確かめる。

t構造 との違いを表にまとめる。

t構造 $(\mathcal D^{\le0},\mathcal D^{\ge0})$重み構造 $(\mathcal C^{w\le0},\mathcal C^{w\ge0})$
消える射低い側 $\mathcal D^{\le0}$ から高い側 $\mathcal D^{\ge1}$ へ高い側 $\mathcal C^{w\ge1}$ から低い側 $\mathcal C^{w\le0}$ へ
切り分けの三角形$A\to X\to B\to A[1]$（$A\in\mathcal D^{\le0}$、$B\in\mathcal D^{\ge1}$）$B[-1]\to X\to A\to B$（$B[-1]\in\mathcal C^{w\ge1}$、$A\in\mathcal C^{w\le0}$）
三角形の一意性同型を除いて一意、関手的一意でない（ex-ws-nonunique）
心アーベル圏加法圏（アーベル圏とは限らない。ex-ws-heart-not-abelian）
典型例導来圏をコホモロジーの次数で切るホモトピー圏を項の次数で切る（thm-ws-stupid）

直交による特徴づけ

重み構造の性質の多くは、次の特徴づけから従う。$\mathcal C^{w\le0}$ と $\mathcal C^{w\ge0}$ は、互いに相手の（移動した）直交として決まる。

直交による特徴づけ

$w$ を三角圏 $\mathcal C$ の重み構造とし、$X\in\mathcal C$ とする。

  1. $X\in\mathcal C^{w\le0}$ であるための必要十分条件は、すべての $Y\in\mathcal C^{w\ge1}$ について $\operatorname{Hom}(Y,X)=0$ となることである。
  2. $X\in\mathcal C^{w\ge0}$ であるための必要十分条件は、すべての $Y\in\mathcal C^{w\le-1}$ について $\operatorname{Hom}(X,Y)=0$ となることである。
  1. 必要性：$Y\in\mathcal C^{w\ge1}$ なら $Y=Y'[-1]$（$Y'\in\mathcal C^{w\ge0}$）と書けて、$\operatorname{Hom}(Y'[-1],X)=\operatorname{Hom}(Y',X[1])=0$ である（条件 3）。
    十分性：$X$ の重み分解 $B[-1]\xrightarrow{g}X\xrightarrow{f}A\to B$ をとる。$B[-1]\in\mathcal C^{w\ge1}$ なので仮定から $g=0$ である。完全三角形に反変な $\operatorname{Hom}(-,X)$ を施した列
    $$ \operatorname{Hom}(A,X)\xrightarrow{\ f^*\ }\operatorname{Hom}(X,X)\xrightarrow{\ g^*\ }\operatorname{Hom}(B[-1],X) $$
    は完全である（三角圏 の命題「反変な $\operatorname{Hom}$ の完全性」）。$g^*(\operatorname{id}_X)=g=0$ なので、$r\circ f=\operatorname{id}_X$ となる $r\colon A\to X$ がある。よって $X$ は $A\in\mathcal C^{w\le0}$ のレトラクトで、Karoubi 閉性により $X\in\mathcal C^{w\le0}$ である。
  2. 必要性：$Y\in\mathcal C^{w\le-1}$ なら $Y=Y'[1]$（$Y'\in\mathcal C^{w\le0}$）で、条件 3 により $\operatorname{Hom}(X,Y'[1])=0$ である。
    十分性：$X[-1]$ の重み分解 $B[-1]\xrightarrow{g}X[-1]\xrightarrow{f}A\to B$ をとる。$f[1]\colon X\to A[1]$ の行き先 $A[1]$ は $\mathcal C^{w\le-1}$ に属するので、仮定から $f[1]=0$、したがって $f=0$ である。共変な $\operatorname{Hom}(X[-1],-)$ を施した完全列（三角圏 の命題「$\operatorname{Hom}$ のコホモロジー的関手性」）
    $$ \operatorname{Hom}(X[-1],B[-1])\xrightarrow{\ g_*\ }\operatorname{Hom}(X[-1],X[-1])\xrightarrow{\ f_*\ }\operatorname{Hom}(X[-1],A) $$
    で $f_*(\operatorname{id})=f=0$ なので、$g\circ s=\operatorname{id}_{X[-1]}$ となる $s$ がある。$X[-1]$ は $B[-1]$ のレトラクトであり、$[1]$ を施すと $X$ は $B\in\mathcal C^{w\ge0}$ のレトラクトになる。よって $X\in\mathcal C^{w\ge0}$ である。$\square$

これは Bon10 Proposition 1.3.3 の 1・2（pp. 16–17）である。次の系は、この特徴づけと三角圏の $\operatorname{Hom}$ の完全性から従う。

重み構造の基本性質

$w$ を三角圏 $\mathcal C$ の重み構造とする。

  1. （拡大で閉じる）完全三角形 $U\to V\to W\to U[1]$ で $U,W\in\mathcal C^{w\le0}$ なら $V\in\mathcal C^{w\le0}$ である。$\mathcal C^{w\ge0}$、$\mathcal C^{w=0}$ についても同じである。
  2. $\mathcal C^{w\le0}$ は $\mathcal C$ に存在する任意の積で閉じ、$\mathcal C^{w\ge0}$ は $\mathcal C$ に存在する任意の余積で閉じる。
  3. 完全三角形 $U\xrightarrow{u}V\xrightarrow{v}W\xrightarrow{\delta}U[1]$ で $U,W\in\mathcal C^{w=0}$ なら $\delta=0$ であり、$V\cong U\oplus W$ である。
  4. $w$ は $\mathcal C^{w\le0}$ だけで決まる。すなわち $\mathcal C^{w\ge0}=\{X\mid \operatorname{Hom}(X,Y[1])=0\ (Y\in\mathcal C^{w\le0})\}$ である。さらに、二つの重み構造 $v,w$ が $\mathcal C^{v\le0}\subset\mathcal C^{w\le0}$ と $\mathcal C^{v\ge0}\subset\mathcal C^{w\ge0}$ をみたせば $v=w$ である。
証明を開く

1. $Y\in\mathcal C^{w\ge1}$ について完全列 $\operatorname{Hom}(Y,U)\to\operatorname{Hom}(Y,V)\to\operatorname{Hom}(Y,W)$ の両端は $0$ なので中央も $0$ で、prop-ws-orthogonal の 1 により $V\in\mathcal C^{w\le0}$ である。$\mathcal C^{w\ge0}$ は $Y\in\mathcal C^{w\le-1}$ と反変な完全列 $\operatorname{Hom}(W,Y)\to\operatorname{Hom}(V,Y)\to\operatorname{Hom}(U,Y)$ で同様に示せる。$\mathcal C^{w=0}$ は二つの共通部分である。

2. $\operatorname{Hom}(Y,\prod_iX_i)=\prod_i\operatorname{Hom}(Y,X_i)$、$\operatorname{Hom}(\coprod_iX_i,Y)=\prod_i\operatorname{Hom}(X_i,Y)$ と prop-ws-orthogonal から従う。

3. $W\in\mathcal C^{w\ge0}$、$U\in\mathcal C^{w\le0}$ なので条件 3 により $\delta\in\operatorname{Hom}(W,U[1])$ は $0$ である。三角圏 の命題「第 3 の射が零の完全三角形は分裂する」により $V\cong U\oplus W$ である。

4. 前半は prop-ws-orthogonal の 2 を $\mathcal C^{w\le-1}=\mathcal C^{w\le0}[1]$ で書き直したものである。後半：$X\in\mathcal C^{w\le0}$ とする。$Y\in\mathcal C^{v\ge1}$ なら $Y\in\mathcal C^{w\ge1}$ なので $\operatorname{Hom}(Y,X)=0$ であり、$v$ に prop-ws-orthogonal の 1 を使うと $X\in\mathcal C^{v\le0}$ である。よって $\mathcal C^{v\le0}=\mathcal C^{w\le0}$ で、前半から $\mathcal C^{v\ge0}=\mathcal C^{w\ge0}$ である。$\square$

1〜3 は Bon10 Proposition 1.3.3 の 3〜5・7（pp. 16–17）、4 の後半は同 Lemma 1.3.8（p. 19）である。3 は、心の中では完全三角形がすべて分裂することを意味する。t構造 の心はアーベル圏で（t構造 の定理「心はアーベル圏である」）、その短完全列は一般には分裂しないのと対照的である。

例：ホモトピー圏の愚直な重み構造

$\mathcal A$ を加法圏、$K(\mathcal A)$ を $\mathcal A$ 上の複体のホモトピー圏とし、三角圏 の記事のとおり写像錐の三角形で三角圏とみる。次数はコホモロジー的に書くので、鎖写像 $f\colon U\to V$ の写像錐は
$$ \operatorname{Cone}(f)^n=U^{n+1}\oplus V^n,\qquad d(u,v)=(-d_Uu,\ f(u)+d_Vv) $$
で、$U\xrightarrow{f}V\to\operatorname{Cone}(f)\to U[1]$ が完全三角形である。
複体 $X$ について、$n\le0$ の項だけを残して $d^0$ を $0$ に替えた複体を $\sigma_{\le0}X$、$n\ge1$ の項だけを残した複体を $\sigma_{\ge1}X$ と書き、愚直な切断という。
$$ \sigma_{\le0}X:\ \cdots\to X^{-1}\to X^0\to0\to0\to\cdots,\qquad \sigma_{\ge1}X:\ \cdots\to0\to0\to X^1\to X^2\to\cdots $$
$n>0$ で $X^n=0$ となる複体の類を $\mathcal P_{\le0}$、$n<0$ で $X^n=0$ となる複体の類を $\mathcal P_{\ge0}$ とする。$K(\mathcal A)$ の中で $\mathcal P_{\le0}$ のある対象のレトラクトになる複体の類を $K(\mathcal A)^{w\le0}$、$\mathcal P_{\ge0}$ のある対象のレトラクトになる複体の類を $K(\mathcal A)^{w\ge0}$ とおく。

愚直な重み構造

$(K(\mathcal A)^{w\le0},K(\mathcal A)^{w\ge0})$ は $K(\mathcal A)$ の重み構造である。複体 $X$ の重み分解として、包含 $\sigma_{\ge1}X\to X$ と射影 $X\to\sigma_{\le0}X$ を辺にもつ完全三角形
$$ \sigma_{\ge1}X\longrightarrow X\longrightarrow\sigma_{\le0}X\longrightarrow(\sigma_{\ge1}X)[1] $$
がとれる。$\mathcal A$ の対象を次数 $0$ に置いた複体は心に属する。

1（加法性）：$X,X'$ が $P,P'\in\mathcal P_{\le0}$ のレトラクトなら $X\oplus X'$ は $P\oplus P'\in\mathcal P_{\le0}$ のレトラクトであり、レトラクトのレトラクトはレトラクトである。零対象は $\mathcal P_{\le0}$ に属する。$\mathcal P_{\ge0}$ の側も同じである。
2（半不変）：$P\in\mathcal P_{\le0}$ なら $P[1]^n=P^{n+1}$ は $n>0$ で $0$ なので $P[1]\in\mathcal P_{\le0}$ である。$Q\in\mathcal P_{\ge0}$ なら $Q[-1]^n=Q^{n-1}$ は $n<0$ で $0$ なので $Q[-1]\in\mathcal P_{\ge0}$、すなわち $Q\in\mathcal P_{\ge0}[1]$ である。$[\pm1]$ はレトラクトを保つので、$K(\mathcal A)^{w\le0}$、$K(\mathcal A)^{w\ge0}$ でも成り立つ。
3（直交）：$Q\in\mathcal P_{\ge0}$、$P\in\mathcal P_{\le0}$ とする。各 $n$ で $Q^n=0$（$n<0$）か $P[1]^n=P^{n+1}=0$（$n\ge0$）なので、鎖写像 $Q\to P[1]$ は $0$ だけである。一般に $X\xrightarrow{i}Q\xrightarrow{r}X$、$Y\xrightarrow{i'}P\xrightarrow{r'}Y$（$ri=\operatorname{id}$、$r'i'=\operatorname{id}$）なら、射 $h\colon X\to Y[1]$ は
$$ h=r'[1]\circ\bigl(i'[1]\circ h\circ r\bigr)\circ i $$
と書け、括弧の中は $Q\to P[1]$ の射なので $0$ である。
4（重み分解）：$A:=\sigma_{\le0}X$、$V:=\sigma_{\ge1}X$ とおき、鎖写像 $\varphi\colon A[-1]\to V$ を、$A[-1]^1=X^0$ から $V^1=X^1$ への成分を $d_X^0$、ほかの成分を $0$ として定める。$A[-1]$ の微分は $-d_A$ なので、鎖写像の条件は $d_X^0\circ(-d_X^{-1})=0$ と $d_X^1\circ d_X^0=0$ に帰着し、成り立つ。写像錐は
$$ \operatorname{Cone}(\varphi)^n=A[-1]^{n+1}\oplus V^n=A^n\oplus V^n=X^n $$
で、微分 $(a,v)\mapsto(d_Aa,\ \varphi(a)+d_Vv)$ は、$a\in X^0$ を $d_X^0a\in X^1$ に送る成分を含めてちょうど $d_X$ である。よって写像錐の三角形 $A[-1]\xrightarrow{\varphi}V\to X\to A$ は完全であり、回転すると完全三角形 $V\to X\to A\xrightarrow{-\varphi[1]}V[1]$ を得る。$B:=V[1]$ とおくと $B^n=X^{n+1}$（$n\ge0$）、$B^n=0$（$n<0$）なので $B\in\mathcal P_{\ge0}$、また $A\in\mathcal P_{\le0}$ であり、これは重み分解である。
最後に、次数 $0$ だけに対象を置いた複体は $\mathcal P_{\le0}\cap\mathcal P_{\ge0}$ に属する。$\square$

これは Bon10 Definition 1.1.1 の直後の例（p. 14）で、Bondarko はこれを愚直な重み構造（stupid weight structure）と呼ぶ。同所によれば、その心は $\mathcal A$ の $K(\mathcal A)$ の中での Karoubi 閉包であり、$\mathcal A$ が擬アーベル（冪等元がすべて分裂する）なら $\mathcal A$ と圏同値である（この記事では証明しない）。$\mathcal A$ の対象 $M,N$ を次数 $0$ に置くと、$i>0$ で $N[i]$ は次数 $-i$ にあるので $\operatorname{Hom}(M,N[i])=0$ である。この性質を一般化したのが thm-ws-heart-construction の「負の部分圏」である。

重み分解は一意でない

$w$ を三角圏 $\mathcal C$ の重み構造とし、心に零でない対象 $H$ があるとする。零対象 $0$ には、$A=B=0$ の重み分解 $0\to0\to0\to0$ のほかに、$A=B=H$ の重み分解
$$ H[-1]\longrightarrow0\longrightarrow H\xrightarrow{\ -\operatorname{id}_H\ }H $$
がある。実際、TR1 の完全三角形 $H[-1]\xrightarrow{\operatorname{id}}H[-1]\to0\to H$ を回転（TR2）するとこの三角形になり、$H\in\mathcal C^{w\le0}$、$H\in\mathcal C^{w\ge0}$ である。$H\not\cong0$ なので、重み分解の $A$ は $X$ から同型を除いても決まらない。たとえば $K(\mathcal A)$ では $\mathcal A$ の零でない対象を次数 $0$ に置けばよい。

t構造 では切り分けの三角形が同型を除いて一意で関手的になる（t構造 の命題「切断の三角形の一意性と随伴性」）。重み構造ではこれが成り立たず、Bon10 は重み分解が「コホモロジーで消える射を除いて」関手的になることを示している（同 Remark 1.2.2 の 2（p. 16）、Theorem 3.2.2（p. 42）。この記事では証明しない）。

心がアーベル圏でない例

$\mathcal F$ を有限生成自由アーベル群の圏とする。

  1. $\mathcal F$ は擬アーベルである。$e\colon\mathbb Z^n\to\mathbb Z^n$ が $e^2=e$ をみたせば $\mathbb Z^n=\operatorname{Im}e\oplus\operatorname{Ker}e$ であり、$\operatorname{Im}e$ と $\operatorname{Ker}e$ は $\mathbb Z^n$ の部分群なので有限生成自由である。
  2. $\mathcal F$ はアーベル圏でない。$2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ は単射なので $\mathcal F$ のモノ射である。また $f\circ2=g\circ2$（$f,g\colon\mathbb Z\to F$、$F$ は自由）なら $2(f(1)-g(1))=0$ で、$F$ はねじれをもたないので $f=g$ となり、$2$ はエピ射でもある。アーベル圏ではモノ射かつエピ射は同型射だが、$2$ は同型射でない。
    上の注意により $K(\mathcal F)$ の愚直な重み構造の心は $\mathcal F$ と圏同値であり、アーベル圏でない。

重み複体と重みスペクトル系列

重み分解を $X$ のすべての移動 $X[i]$ について選ぶと、t構造の切断と同じように、$X$ を心の対象 $X^i$ を「因子」とする塔（重み Postnikov 塔、Postnikov塔 の三角圏版）に分解できる。因子をつなぐ射から心の対象の複体 $t(X)=(X^i)$ が得られ、これを $X$ の重み複体（weight complex）という（Bon10 Definition 2.2.1、p. 29）。愚直な重み構造では、$X$ を項ごとに切り離すことに当たる。重み分解が一意でないので $t(X)$ も選び方によるが、次が成り立つ（Bon10 Theorem 3.3.1、p. 45。この記事では証明しない）。

  • $X\mapsto t(X)$ は、$K(\mathcal Hw)$ の射をさらに粗く同一視した圏 $K_w(\mathcal Hw)$ への関手で、完全三角形を「弱い意味の」完全三角形に送る。
  • $X\in\mathcal C^{w\le i}$ なら $t(X)$ は $i$ 以下の次数に集中した複体とホモトピー同値にとれる（$\mathcal C^{w\ge i}$ も同様）。
  • $w$ が非退化（$\bigcap_l\mathcal C^{w\le l}=\bigcap_l\mathcal C^{w\ge l}=\{0\}$）なら、$t$ は $\mathcal C^{-}:=\bigcup_i\mathcal C^{w\le i}$ と $\mathcal C^{+}:=\bigcup_i\mathcal C^{w\ge i}$ のそれぞれの上で保守的である（射が同型であることを $t$ で判定できる）。
    アーベル圏 $\mathcal A'$ に値をとるコホモロジー的関手 $H\colon\mathcal C\to\mathcal A'$ に対しては、重み Postnikov 塔から完全対が得られ、重みスペクトル系列
    $$ E_1^{pq}=H^q(X^{-p})\ \Longrightarrow\ H^{p+q}(X) $$
    が定まる（$H^q$ は $H$ を移動でずらしたもの）。$X$ が有界（ある $l\le l'$ で $X\in\mathcal C^{w\ge l}\cap\mathcal C^{w\le l'}$）なら収束し、$E_2$ 項から先は重み分解の選び方によらず $X$ と $H$ について関手的である（Bon10 Theorem 2.4.2、p. 32。この記事では証明しない）。収束先 $H^{*}(X)$ に入るフィルトレーションを $H$ の重みフィルトレーションという。

モチーフの重み構造

心から重み構造を作る次の定理が、具体的な三角圏で重み構造を得る主な方法である。$\mathcal C$ の充満加法部分圏 $\mathcal H$ が負であるとは、$\mathcal H$ の任意の対象 $M,N$ と $i>0$ について $\operatorname{Hom}(M,N[i])=0$ となることをいう（Bon10 Definition 4.3.1、p. 54）。

負の部分圏から作る重み構造（引用）

三角圏 $\mathcal C$ の充満加法部分圏 $\mathcal H$ が負で、$\mathcal H$ を含む最小の（同型で閉じた）三角部分圏が $\mathcal C$ 全体であるとする。このとき、$\mathcal H$ を心に含む $\mathcal C$ の重み構造 $w$ がただ一つ存在し、$w$ は有界で、その心は $\mathcal H$ の $\mathcal C$ の中での Karoubi 閉包である。

所在と例

この記事では証明しない（Bon10 Theorem 4.3.2 の II、p. 54）。愚直な重み構造の注意で見たとおり、$\mathcal A$ を次数 $0$ に置いた部分圏は $K(\mathcal A)$ の中で負である。

$k$ を標数 $0$ の完全体とし、$\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$ を Voevodsky の有効幾何的モチーフの三角圏とする（Voevodskyのモチーフ圏）。滑らかな射影多様体のモチーフの全体から作る有効 Chow モチーフ（モチーフ）の圏 $\mathrm{Chow}^{\mathrm{eff}}(k)$ は $\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$ に充満に埋め込まれる（Bon10 §6.6、p. 92）。Bondarko は次を示した。

Chow 重み構造（引用）

$k$ を標数 $0$ の完全体とする。$\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$ には、心が $\mathrm{Chow}^{\mathrm{eff}}(k)$ である有界な重み構造 $w_{\mathrm{Chow}}$ がある。Tate捻り を逆にした $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}(k)$ にも延び、その心は Chow モチーフの圏 $\mathrm{Chow}(k)$ である。

所在

この記事では証明しない（Bon10 §6.5 の冒頭の設定（p. 89）、Proposition 6.5.3（p. 91）、§6.6（p. 92））。これを Chow 重み構造という。滑らかな射影多様体 $X$ のモチーフ $M(X)$ は心に属する。

Chow 重み構造の重みスペクトル系列は、モチーフの任意のコホモロジー的関手、たとえば Betti 実現・エタール実現・モチーフ的コホモロジーに対して定まる。有理係数のエタール実現と特異（Betti）実現では、異なる重みの間に射がないので、得られる重みフィルトレーションは添字のずれを除いて古典的な（Deligne の）重みフィルトレーション（混合Hodge構造）と一致する（Bon10 Remark 2.4.3 の 1・2、pp. 32–33）。整数係数でも定義できる点が、この構成の利点である。

Gysin の三角形と局所化完全列

$X$ を滑らかな射影多様体、$Z\subset X$ を余次元 $c$ の滑らかな閉部分多様体とすると、$\mathbf{DM}^{\mathrm{eff}}_{\mathrm{gm}}(k)$ に Gysin の完全三角形
$$ M(X\setminus Z)\longrightarrow M(X)\longrightarrow M(Z)(c)[2c]\longrightarrow M(X\setminus Z)[1] $$
がある。$M(X)$ と $M(Z)(c)[2c]$ はどちらも Chow モチーフで、心に属する。$M(X\setminus Z)$ のモチーフ的コホモロジーの Chow 重みスペクトル系列は、Bloch の高次 Chow 群の局所化完全列に帰着する（Bon10 Remark 2.4.3 の 2、p. 33。この記事では証明しない）。

条件を外したときの反例

prop-ws-orthogonal と cor-ws-basic は条件 1・3・4 を使う（条件 2 は使わない）。これらを一つずつ外した組では結論が崩れる。以下 $\mathcal C$ は零でない対象をもつ三角圏とする。

外す条件反例成り立たなくなること
3（直交）$\mathcal C^{w\le0}=\mathcal C^{w\ge0}=\operatorname{Ob}\mathcal C$心の完全三角形の分裂（cor-ws-basic の 3）
4（重み分解）$\mathcal C^{w\le0}=\mathcal C^{w\ge0}=$ 零対象の全体prop-ws-orthogonal の 1 の十分性
1 の Karoubi 閉性$K(\mathcal A)$ で $\mathcal P_{\le0}$、$\mathcal P_{\ge0}$ そのものprop-ws-orthogonal の 1 の十分性
各行の確かめ

1 行目：条件 1・2 は明らかで、条件 4 は $0\to X\xrightarrow{\operatorname{id}}X\to0$（$B=0$、$A=X$）でみたされる。心は $\mathcal C$ 全体になるが、$\mathcal C=K(\mathbf{Ab})$ の完全三角形 $\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\to\operatorname{Cone}(2)\to\mathbb Z[1]$ は分裂しない（第 3 の射が $0$ なら 三角圏 の系「モノ射とエピ射は分裂する」の証明と同じく $r\circ2=\operatorname{id}$ となる $r$ があり、$\operatorname{Hom}_{K(\mathbf{Ab})}(\mathbb Z,\mathbb Z)=\mathbb Z$ で $2r=1$ となる整数 $r$ が要る）。2 行目：条件 1〜3 はみたされるが、$X\neq0$ では $\mathcal C^{w\ge1}=\{0\}$ からの射はすべて $0$ なのに $X\notin\mathcal C^{w\le0}$ である（このとき条件 4 も成り立たない）。3 行目：$A\neq0$ を対象にもつ加法圏 $\mathcal A$ をとり、$\operatorname{id}_A$ の写像錐 $C$（次数 $-1$ と $0$ に $A$ を置き、$\operatorname{id}_A$ でつないだ複体）を $[1]$ だけずらした複体 $C[-1]$ を考える。$C$ は可縮で $K(\mathcal A)$ の零対象なので、$C[-1]$ への射はすべて $0$ である。一方 $C[-1]$ は次数 $0$ と $1$ に $A$ をもつので $\mathcal P_{\le0}$ に属さない。条件 2〜4 は thm-ws-stupid の証明のとおり $\mathcal P_{\le0}$、$\mathcal P_{\ge0}$ のままでみたされ、同型で閉じていないことだけが欠けている。

関連項目

参考文献

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