K位相

要点は、$K$ の各点 $1/n$ が $K$ の中で孤立していることである。

1：$f(t):=\min\{1,|t-x|/|y-x|\}$ は通常の位相について連続である。K 位相は通常の位相より細かいので、$[0,1]$ の開集合の $f$ による逆像は K 位相でも開であり、$f$ は $\mathbb{R}_K$ 上で連続である。$f(x)=0$、$f(y)=1$ である。$U:=f^{-1}([0,1/3))$、$V:=f^{-1}((2/3,1])$ は $x,y$ の開近傍で、閉包はそれぞれ閉集合 $f^{-1}([0,1/3])$、$f^{-1}([2/3,1])$ に含まれるので交わらない。
2：$K$ が閉集合であることは prop-k-open-sets の 2 による。$U,V$ をそれぞれ $0$、$K$ を含む開集合とする。prop-k-open-sets の 3 により、ある $\varepsilon>0$ で $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K\subset U$ である。$1/n<\varepsilon$ となる $n$ をとる。$1/n\in V$ で $1/n\ne0$ なので、同じく 3 により $V$ は $1/n$ を含む開区間 $I\subset(-\varepsilon,\varepsilon)$ を含む。$I$ の中の無理数 $s$ は $K$ に属さないので $s\in U\cap V$ であり、$U\cap V\ne\emptyset$ である。$\square$

Tychonoff 空間・距離化可能空間・擬距離の族で位相が定まる空間はどれも正則性条件を満たす（完全正則性条件を満たす空間では、分離関数 $f$ の $f^{-1}([0,1/2))$ と $f^{-1}((1/2,1])$ が点と閉集合を分ける。擬距離の族については 擬距離 の定理「擬距離の族による完全正則性の特徴づけ」）。正規性条件は、閉集合 $\{0\}$ と $K$ が開集合で分けられないので満たさない。第 2 可算性は rem-k-comparison による。$\square$

$C$ が $\mathbb{R}_K$ でコンパクトだとする。恒等写像 $\mathbb{R}_K\to\mathbb{R}$ は連続なので（K 位相は通常の位相より細かい）、像 $C$ は通常の意味でコンパクトである。$K$ は $\mathbb{R}_K$ の閉集合なので、$C\cap K$ は $C$ の閉集合であり、コンパクトである。$C\cap K$ の各点 $1/n$ は、$K$ と $1/n$ だけで交わる開区間（prop-k-open-sets の証明の 1 で使った区間）をとれば $C\cap K$ の中で孤立しているので、$C\cap K$ は離散空間である。コンパクトな離散空間は有限集合なので、$C\cap K$ は有限である。
逆に $C$ が通常の意味でコンパクトで $C\cap K$ が有限だとし、$C$ の二つの相対位相（K 位相から入るものと、通常の位相から入るもの）が一致することを示す。prop-k-open-sets の 1 により、K 位相の開集合 $V\setminus B$（$V$ は通常の開集合、$B\subset K$）について $(V\setminus B)\cap C=(V\cap C)\setminus(B\cap C)$ である。$B\cap C$ は有限集合なので通常の閉集合であり、これは通常の位相の相対位相で開である。逆向きの包含は K 位相が細かいことによる。$C$ は通常の位相の相対位相でコンパクトなので、$\mathbb{R}_K$ でもコンパクトである。$\square$

1：$[0,1]\cap K=K$ は無限集合である。2：$N$ を $0$ の近傍とし、$N\subset C$ となるコンパクト集合 $C$ があったとする。prop-k-open-sets の 3 により $N\supset(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ となる $\varepsilon>0$ がある。thm-k-compact により $C$ は通常の意味でコンパクト、したがって通常の閉集合なので、$(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ の通常の閉包 $[-\varepsilon,\varepsilon]$ を含み、$K$ の点を無限個含む。これは thm-k-compact に反する。$x\ne0$ なら、$0$ を含まず $K$ と高々 1 点で交わる閉区間 $[x-\delta,x+\delta]$ は thm-k-compact によりコンパクトで、その内部は $x$ の近傍である。$\square$

$(0,\infty)$ は $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ の開集合なので、prop-k-open-sets の 3 によりその相対位相は通常のものである。$(-\infty,0]$ は $K$ と交わらないので、K 位相の開集合 $V\setminus B$（$B\subset K$）との共通部分は $V\cap(-\infty,0]$ であり、やはり相対位相は通常のものである。よってどちらも弧状連結であり、とくに連結である。
1：$0$ の近傍 $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ は正の数（たとえば $K$ に属さない正の無理数）を含むので、$0$ は $(0,\infty)$ の閉包に属する。連結集合 $A$ について $A\subset A'\subset\overline A$ なら $A'$ は連結なので、$\{0\}\cup(0,\infty)$ は連結である。これと連結集合 $(-\infty,0]$ は点 $0$ を共有するので、和 $\mathbb{R}$ は連結である。
2：$(-\infty,0]$ と $(0,\infty)$ はそれぞれ弧状連結なので、$a\le0< x$ を結ぶ道がないことを示せば、この二つが弧状連結成分である。さらに、$a$ と $x$ を結ぶ道があれば、$(-\infty,0]$ の中で $0$ と $a$ を結ぶ道とつないで $0$ と $x$ を結ぶ道が得られるので、$a=0$ の場合を示せば足りる。連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{R}_K$ で $\gamma(0)=0$、$\gamma(1)=x$ となるものがあったとする。恒等写像 $\mathbb{R}_K\to\mathbb{R}$ との合成は通常の位相について連続なので、中間値の定理により $\gamma([0,1])\supset[0,x]$ である。一方 $\gamma([0,1])$ はコンパクト空間の連続像なので $\mathbb{R}_K$ でコンパクトであり、thm-k-compact により $K$ の点を有限個しか含まない。$[0,x]$ は $K$ の点 $1/n$（$1/n\le x$）を無限個含むので、矛盾する。
3：$0$ の開近傍 $W:=(-1,1)\setminus K$ を考える。$n\ge1$ について $J_n:=(1/(n+1),1/n)$ は $W$ に含まれる開区間で、$W$ の開集合である。$J_n$ の $\mathbb{R}_K$ での閉包は通常の閉包 $[1/(n+1),1/n]$ に含まれ、両端は $K$ の点なので $W$ に属さない。よって $J_n$ は $W$ の閉集合でもある。$W$ の中で $0$ を含む連結成分は、$0$ を含まない開かつ閉な集合 $J_n$ のどれとも交わらないので、$W\setminus\bigcup_nJ_n=(-1,0]$ に含まれる。$\mathbb{R}_K$ が $0$ で局所連結なら、$0$ を含む連結な開集合 $U\subset W$ があり、$U$ は $0$ を含む成分に含まれるので $U\subset(-1,0]$ となる。しかし prop-k-open-sets の 3 により $U$ はある $(-\delta,\delta)\setminus K$ を含み、正の数を含むので矛盾する。ここで点 $0$ で局所連結であるとは、$0$ のどの近傍も $0$ を含む連結な開集合を含むことをいう（Mun00 §25、p. 161）。$\square$