有限交叉性

1 ⇒ 2。$n=0$ をとれば $X\in\langle\mathcal A\rangle$ である。$\emptyset\in\langle\mathcal A\rangle$ なら、ある有限個の成員の共通部分が $\emptyset$ に含まれ、有限交叉性に反する。$B\supset A_1\cap\cdots\cap A_n$、$B'\supset A'_1\cap\cdots\cap A'_m$ なら、$B\cap B'$ は $A_1,\dots,A_n,A'_1,\dots,A'_m$ の共通部分を含むので $\langle\mathcal A\rangle$ に属する。上に閉じていることは定義から明らかである。
2 ⇒ 3。$n=1$ をとれば $\mathcal A\subset\langle\mathcal A\rangle$ である。
3 ⇒ 1。フィルター $\mathcal F\supset\mathcal A$ は有限個の共通部分で閉じ、$X$ を含み、$\emptyset$ を含まない。よって $\mathcal A$ の有限個の成員の共通部分は $\mathcal F$ に属し、空でない。$\square$

1 ⇒ 2。$\mathcal C$ が有限交叉性をもつ閉集合の族で $\bigcap\mathcal C=\emptyset$ とすると、$\{X\setminus C\mid C\in\mathcal C\}$ は $X$ の開被覆である。有限部分被覆 $X\setminus C_1,\dots,X\setminus C_n$ をとれば $C_1\cap\cdots\cap C_n=\emptyset$ となり、有限交叉性に反する。
2 ⇒ 1。$\mathcal U$ を有限部分被覆をもたない開被覆とする。$X=\emptyset$ なら空族が部分被覆になるので、$X\ne\emptyset$ である。$\mathcal C=\{X\setminus U\mid U\in\mathcal U\}$ は閉集合の族で、有限個の共通部分 $X\setminus(U_1\cup\cdots\cup U_n)$ は、$U_1,\dots,U_n$ が $X$ を覆わないので空でない（$n=0$ でも $X\ne\emptyset$）。よって $\mathcal C$ は有限交叉性をもち、2 により $\bigcap\mathcal C=X\setminus\bigcup\mathcal U\ne\emptyset$ となるが、これは $\mathcal U$ が被覆であることに反する。
2 ⇒ 3。$A\subset\overline A$ なので、$\{\overline A\mid A\in\mathcal A\}$ の有限個の共通部分は $\mathcal A$ の対応する成員の共通部分を含み、空でない。この閉集合の族に 2 を使えばよい。
3 ⇒ 2。閉集合 $C$ では $\overline C=C$ である。$\square$

ex-fip-examples の 1 により $\{F_n\}$ は有限交叉性をもつので、thm-fip-compact の 2 により共通部分は空でない。距離 $d$ について $x,y\in\bigcap_nF_n$ なら、すべての $n$ で $d(x,y)\le\operatorname{diam}F_n$ であり、右辺は $0$ に収束するので $x=y$ である。$\square$

$\mathbb P$ を、$\mathcal A\subset\mathcal B$ を満たし有限交叉性をもつ $X$ の部分集合の族 $\mathcal B$ 全体の集合とし、包含で順序づける。$\mathcal A\in\mathbb P$ なので $\mathbb P$ は空でない。
$\mathbb P$ の空でない鎖 $\mathfrak K$ をとり、$\mathcal B^\ast=\bigcup_{\mathcal B\in\mathfrak K}\mathcal B$ とおく。$\mathcal A\subset\mathcal B^\ast$ である。$D_1,\dots,D_n\in\mathcal B^\ast$ に対し、$D_i\in\mathcal B_i$ となる $\mathcal B_i\in\mathfrak K$ をとる。$\mathfrak K$ は鎖なので有限個の $\mathcal B_1,\dots,\mathcal B_n$ の中に最大のもの $\mathcal B_k$ があり、$D_1,\dots,D_n\in\mathcal B_k$ である。$\mathcal B_k$ は有限交叉性をもつので $D_1\cap\cdots\cap D_n\ne\emptyset$ である（$n=0$ のときは $\mathcal A$ が有限交叉性をもつことから $X\ne\emptyset$）。よって $\mathcal B^\ast\in\mathbb P$ は $\mathfrak K$ の上界である。空の鎖には $\mathcal A$ が上界になる。
Zornの補題 により $\mathbb P$ に極大元 $\mathcal D$ がある。有限交叉性をもつ族 $\mathcal E\supsetneq\mathcal D$ があれば $\mathcal A\subset\mathcal E$ なので $\mathcal E\in\mathbb P$ となり、$\mathcal D$ の極大性に反する。$\square$

1. $B=D_1\cap\cdots\cap D_n$（$D_i\in\mathcal D$、$n\ge0$）とする。$\mathcal D\cup\{B\}$ の有限個の成員の共通部分は、$B$ を含まなければ $\mathcal D$ の成員の共通部分であり、含めば $\mathcal D$ の有限個の成員と $D_1,\dots,D_n$ の共通部分である。どちらも空でないので $\mathcal D\cup\{B\}$ は有限交叉性をもち、極大性から $B\in\mathcal D$ である。
2. $\mathcal D\cup\{B\}$ の有限個の成員の共通部分で $B$ を含むものは $B\cap E$ の形であり、$E$ は $\mathcal D$ の有限個の成員の共通部分なので 1 により $E\in\mathcal D$、仮定から $B\cap E\ne\emptyset$ である。$B$ を含まないものは $\mathcal D$ の有限交叉性から空でない。極大性から $B\in\mathcal D$ である。
3. どちらも $\mathcal D$ に属さないとすると、2 により $B$ と交わらない $D_1\in\mathcal D$ と、$X\setminus B$ と交わらない $D_2\in\mathcal D$ がある。$D_1\subset X\setminus B$、$D_2\subset B$ なので $D_1\cap D_2=\emptyset$ となり、有限交叉性に反する。
4. 1 により $X\in\mathcal D$ で $\mathcal D$ は 2 個の共通部分で閉じ、有限交叉性から $\emptyset\notin\mathcal D$ である。$D\in\mathcal D$ と $B\supset D$ について、$B$ は $\mathcal D$ のどの成員 $D'$ とも $B\cap D'\supset D\cap D'\ne\emptyset$ で交わるので、2 により $B\in\mathcal D$ である。よって $\mathcal D$ はフィルターである。$\mathcal D$ を含むフィルターは prop-fip-filter により有限交叉性をもつので、極大性から $\mathcal D$ に等しい。よって $\mathcal D$ は超フィルターである。
   逆に $\mathcal U$ を超フィルターとすると、prop-fip-filter により $\mathcal U$ は有限交叉性をもつ。有限交叉性をもつ族 $\mathcal E\supset\mathcal U$ について、$\langle\mathcal E\rangle$ は $\mathcal U$ を含むフィルターなので $\langle\mathcal E\rangle=\mathcal U$ であり、$\mathcal E\subset\langle\mathcal E\rangle=\mathcal U$ である。$\square$

$J=\emptyset$ なら $X$ は 1 点なのでコンパクトである。ある $X_j$ が空なら $X=\emptyset$ でコンパクトである。以下、$J\ne\emptyset$ ですべての $X_j$ は空でないとし、$\pi_j\colon X\to X_j$ を射影とする。
$\mathcal A$ を有限交叉性をもつ $X$ の部分集合の族とする。thm-fip-compact の 3 により、$\bigcap_{A\in\mathcal A}\overline A\ne\emptyset$ を示せばよい。lem-fip-maximal により、$\mathcal A$ を含む極大な有限交叉族 $\mathcal D$ をとる。
座標ごとに点を選ぶ。 $j\in J$ を固定する。$D_1,\dots,D_n\in\mathcal D$ について、$D_1\cap\cdots\cap D_n$ の点 $z$ をとれば、$\pi_j(z)$ はすべての $\pi_j(D_i)$ に属する。よって $\{\pi_j(D)\mid D\in\mathcal D\}$ は $X_j$ の部分集合の族として有限交叉性をもつ（$n=0$ のときは $X_j\ne\emptyset$）。$X_j$ はコンパクトなので、thm-fip-compact の 3 により
$$ K_j:=\bigcap_{D\in\mathcal D}\overline{\pi_j(D)}\ne\emptyset $$
である。選択公理により、すべての $j$ について $x_j\in K_j$ となる点 $x=(x_j)_{j\in J}\in X$ をとる。
選んだ点の近傍は $\mathcal D$ に入る。 $j\in J$ と $x_j$ の開近傍 $U_j\subset X_j$ をとる。各 $D\in\mathcal D$ について $x_j\in\overline{\pi_j(D)}$ なので、$U_j$ は $\pi_j(D)$ と交わる。交わりの点を $\pi_j(z)$（$z\in D$）と書けば $z\in\pi_j^{-1}(U_j)\cap D$ である。よって $\pi_j^{-1}(U_j)$ は $\mathcal D$ のすべての成員と交わり、prop-fip-maximal-properties の 2 により $\pi_j^{-1}(U_j)\in\mathcal D$ である。直積位相での $x$ の基本近傍は、このような集合の有限個の共通部分なので、prop-fip-maximal-properties の 1 により $\mathcal D$ に属する。
結論。 $x$ の任意の開近傍 $V$ は基本近傍 $N\in\mathcal D$ を含む。各 $D\in\mathcal D$ について $N\cap D\ne\emptyset$（有限交叉性）なので $V\cap D\ne\emptyset$ であり、$x\in\overline D$ である。$\mathcal A\subset\mathcal D$ なので $x\in\bigcap_{A\in\mathcal A}\overline A$ である。$\square$

$C_0$ は、反射的Banach空間 の系「有界閉凸集合の弱コンパクト性」により弱位相 $\sigma(E,E^*)$ でコンパクトである。各 $C\in\mathcal C$ はノルムで閉じた凸集合なので弱閉である（Mazurの補題 の定理「凸集合の強閉と弱閉」。複素 Banach 空間では汎関数の実部をとって同じ議論を行う）。よって $\{C\cap C_0\mid C\in\mathcal C\}$ は、$C_0$ に弱位相の相対位相を入れたコンパクト空間の閉集合の族である。その有限個の共通部分は $C_0\cap C_1\cap\cdots\cap C_n$ であり、$\mathcal C$ の有限交叉性から空でない。thm-fip-compact の 2 により $\bigcap_{C\in\mathcal C}(C\cap C_0)\ne\emptyset$ であり、$C_0\in\mathcal C$ なのでこれは $\bigcap\mathcal C$ に等しい。$\square$

$m=\inf_E\varphi\in[-\infty,+\infty)$ とし、実数 $t>m$ について $L_t=\{x\in E\mid\varphi(x)\le t\}$ とおく。$L_t$ は空でなく（$m< t$）、凸であり（$\varphi$ が凸）、閉じており（下半連続）、有界である（$\|x\|\to\infty$ で $\varphi(x)\to\infty$ なので、ある $R$ について $\|x\|>R$ なら $\varphi(x)>t$）。$t< t'$ なら $L_t\subset L_{t'}$ なので、$\{L_t\mid t>m\}$ は有限交叉性をもつ。prop-fip-reflexive により点 $x_0\in\bigcap_{t>m}L_t$ がある。すべての実数 $t>m$ で $\varphi(x_0)\le t$ なので、$m=-\infty$ はありえず（$\varphi(x_0)$ は $-\infty$ でない）、$\varphi(x_0)\le m$、すなわち $\varphi(x_0)=m$ である。$\square$