極限(圏論)
概要
極限(圏論)（limit）とは、図式 $D\colon\mathcal{J}\to\mathcal{C}$ 上の錐 $(L,(\pi_j)_j)$ であって、任意の錐 $(X,(\lambda_j)_j)$ が $\pi_j\circ u=\lambda_j$ を満たすただ一つの射 $u\colon X\to L$ を通るものであり、終対象・積・等化子・引き戻しはその特別な場合である。極限は錐を保つ同型を除いて一意で、小さい積と等化子があればすべての小さい極限が作れ、集合の圏では整合する元の族の集合になる。右随伴は極限を保ち、極限の脚はまとめてモノ射で、成分がモノ射の自然変換が誘導する射もモノ射である。小さい半順序集合が完備であることはすべての部分集合が下限をもつことと同値で、Freyd の定理により小さい積をすべてもつ小さい圏は前順序に限られる。
定義
ここでいう極限は、数列の収束先という語義ではなく、圏の中の図式を普遍的にまとめる対象である。以下、$\mathcal J$ は対象と射が集合をなす小さい圏、$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ は 関手、すなわち対象・射・恒等射・合成を保つ対応とする。Rie16 §3.1
対象 $X\in\mathcal C$ を頂点とする $D$ 上の錐（cone）は、各 $j\in\mathcal J$ に射 $\lambda_j\colon X\to D(j)$ を与え、すべての射 $\alpha\colon j\to k$ について
$$
D(\alpha)\circ\lambda_j=\lambda_k
$$
を満たすものである。頂点を固定して値を $X$、すべての射を $\operatorname{id}_X$ に送る定値関手を $\Delta X$ と書けば、錐は 自然変換 $\Delta X\Rightarrow D$ である。
極限（limit）とは錐 $(L,(\pi_j)_j)$ で、任意の対象 $X$ と任意の錐 $(X,(\lambda_j)_j)$ に対して、
$$
\pi_j\circ u=\lambda_j\quad\text{for all }j
$$
を満たす射 $u\colon X\to L$ がただ一つ存在するものをいう。$L=\lim_{\mathcal J}D$ と書くことがあるが、極限には射 $\pi_j$ の指定も含まれる。
対応 $u\mapsto(\pi_j u)_j$ が、$X\to L$ の射と頂点 $X$ の錐の間の全単射である、というのが定義の内容である。したがって極限は、図式の整合条件をすべて満たすデータを一度に受け取る対象と考えられる。
例と反例
$\mathcal J$ が空なら錐の脚は一つもなく、任意の $X$ から $L$ への射がただ一つあるという条件だけが残る。このような $L$ を 終対象 という。集合の圏では一点集合 $\{*\}$ が終対象である。各元を $*$ に送る写像は必ず存在し、それ以外の写像はない。
$\mathcal J$ が二対象と恒等射だけを持つとき、図式は二つの対象 $A,B$ であり、その極限を 積(圏論) という。集合の圏では直積 $A\times B$ と射影が積になる。写像 $a\colon X\to A,\ b\colon X\to B$ に対する唯一の射は
$$
u(x)=(a(x),b(x))
$$
である。存在はこの式から、唯一性は二つの座標が指定されることから従う。
集合の写像 $f,g\colon A\rightrightarrows B$ に対し、
$$
E=\{a\in A\mid f(a)=g(a)\}
$$
と包含 $e\colon E\to A$ を取る。$fa=ga$ を満たす写像 $a\colon X\to A$ は、値が $E$ に入るのでただ一つの $X\to E$ を経由する。これを 等化子 という。平行二射の図式への錐の $B$ 成分は $fa=ga$ に強制されるので、この性質は極限の普遍性と同じである。
図式 $A\xrightarrow f C\xleftarrow g B$ の極限を 引き戻し という。集合の圏では
$$
A\times_C B=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b)\}
$$
である。錐の二本の脚 $a_X\colon X\to A,\ b_X\colon X\to B$ が $fa_X=gb_X$ を満たせば、$x\mapsto(a_X(x),b_X(x))$ が上の集合へ入り、射影との可換性を満たす唯一の写像になる。
$A=B=\{*\}$ とする。二元集合 $\{0,1\}$ から $A,B$ への写像は錐をなすが、積ではない。一点集合 $X=\{*\}$ からその錐へ移す射は $*\mapsto0$ と $*\mapsto1$ の二つあり、唯一性が破れる。
極限が存在しない圏もある。正の整数を対象とし、$a\le b$ のときにただ一つの射 $a\to b$ がある圏には最大元がないため終対象がない。従って空図式の極限さえ存在しない。
基本性質と作り方
同じ図式の極限 $(L,\pi)$ と $(L',\pi')$ の間には、$\pi'_j u=\pi_j$ を満たす同型 $u\colon L\to L'$ がただ一つある。
$L'$ の普遍性から $u\colon L\to L'$、$L$ の普遍性から $v\colon L'\to L$ を得る。$\pi_jvu=\pi'_ju=\pi_j$ なので、$L$ の普遍性による唯一性から $vu=\operatorname{id}_L$ である。同じ議論で $uv=\operatorname{id}_{L'}$ を得る。$u$ の唯一性も $L'$ の普遍性そのものである。$\square$
対象が文字通り等しいとは限らず、脚を保つ同型が指定される点が重要である。一意性と以下の構成は Rie16 §§3.1, 3.5–3.6 で扱われる（構成は Theorem 3.5.11, p. 112 の双対）。
$\mathcal C$ にすべての小さい積と、任意の平行二射の等化子が存在するなら、すべての小さい図式の極限が存在する。
$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ に対し
$$
P=\prod_{j\in\operatorname{Ob}\mathcal J}D(j),\qquad
Q=\prod_{\alpha:j\to k}D(k)
$$
を取り、$P$ の射影を $p_j$ とする。$s,t\colon P\rightrightarrows Q$ を、それぞれの $\alpha$ 成分が
$$
s_\alpha=D(\alpha)p_j,\qquad t_\alpha=p_k
$$
となる射とする。両辺の行き先を合わせるため、$Q$ には射の終域に対応する $D(k)$ を並べている。
$s,t$ の等化子を $e\colon L\to P$ とし、$\pi_j=p_je$ と置く。$se=te$ より $\pi$ は錐である。任意の錐 $\lambda$ は積の普遍性でただ一つの $a\colon X\to P$ を与える。錐の条件から $sa=ta$ なので、等化子の普遍性によりただ一つの $u\colon X\to L$ が存在して $eu=a$ となる。すると $\pi_j u=\lambda_j$ である。
逆にこの等式を満たす $u$ は、積の唯一性から $eu=a$ を満たし、等化子の唯一性から上の $u$ と等しい。従って $(L,\pi)$ は極限である。$\square$
随伴との関係
関手 $F\colon\mathcal A\to\mathcal C,\ G\colon\mathcal C\to\mathcal A$ が、両変数で自然な全単射
$$
\Phi_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(FX,Y)
\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,GY)
$$
を持つとき $F\dashv G$ といい、$G$ を右随伴という（随伴関手）。$D\colon\mathcal J\to\mathcal C$ の極限 $(L,\pi)$ が存在すれば、$(GL,G\pi)$ は $GD$ の極限になる。
頂点 $X$ の $GD$ への錐 $\lambda_j\colon X\to GD(j)$ を取る。$\bar\lambda_j=\Phi^{-1}_{X,D(j)}(\lambda_j)$ とすると、$\Phi$ の $Y$ に関する自然性から $D(\alpha)\bar\lambda_j=\bar\lambda_k$ である。
$L$ の普遍性より $\pi_j a=\bar\lambda_j$ を満たす $a\colon FX\to L$ がただ一つある。$u=\Phi_{X,L}(a)$ とすれば、再び自然性より $G\pi_j u=\lambda_j$ である。逆にこの等式を満たす $u$ を $\Phi^{-1}$ で移せば同じ $a$ になるから、$u$ も唯一である。$\square$
これは Rie16 Theorem 4.5.2（p. 158）の保存定理である。「保存する」は、すでに存在する極限錐の像が極限になるという意味であり、元の圏での存在を保証する言葉ではない。$\mathcal C$ がすべての $\mathcal J$ 型の極限をもつことは、すべての対象を定値関手に送る関手 $\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^{\mathcal J}$ が右随伴 $\lim$ をもつことと同値である（Rie16 Proposition 4.5.1, p. 157）。錐 $\Delta X\Rightarrow D$ が射 $X\to\lim D$ と一対一に対応するという定義の言い換えが、そのまま随伴の全単射になっている。
極限の計算規則
余極限(圏論) の節「余極限の計算規則」の命題は、射の向きを逆にすると極限についての命題になる。証明も射を逆にするだけなので繰り返さず、主張だけを挙げる。
- 表現可能性による言い換え：錐 $(L,\pi)$ が極限であることは、任意の $X$ について $\operatorname{Hom}(X,L)\to\operatorname{Cone}(X,D)$、$u\mapsto(\pi_ju)_j$ が全単射であることと同じで、$\operatorname{Hom}(X,\lim D)\cong\lim_j\operatorname{Hom}(X,D(j))$ と書ける（同節の注意「表現可能性による言い換え」の双対、Rie16 Theorem 3.5.6, p. 111）。
- 始対象をもつ添字圏：$\mathcal J$ が始対象 $s$ をもてば、$(D(s),(D(!_j))_j)$ は $D$ の極限である（命題「終対象をもつ添字圏上の余極限」の双対）。
- 関手性：自然変換 $\alpha\colon D\Rightarrow D'$ は、$\pi'_j\bar\alpha=\alpha_j\pi_j$ を満たす射 $\bar\alpha\colon\lim D\to\lim D'$ をただ一つ定め、合成と恒等変換を保つ（命題「余極限の関手性」の双対、Rie16 Proposition 3.3.1, p. 98）。
- 交換：$F\colon\mathcal I\times\mathcal J\to\mathcal C$ について、各 $i$ で $F(i,-)$ の極限 $G(i)$ があり、$G$ の極限があれば、それは $F$ の極限である。とくに二通りの反復極限はともに存在すれば同型である（定理「余極限どうしの交換」の双対、Rie16 Theorem 3.8.1, p. 125）。
関手圏 $\mathcal C^{\mathcal A}$ の極限が各点で計算されることは 関手圏 の命題「関手圏の極限は各点で計算される」に、$\operatorname{Hom}(X,-)$ が極限を保つことは 表現可能関手 の命題「表現可能関手は極限を保つ」にある。
脚による判定とモノ射
$(L,\pi)$ を $D$ の極限とする。射 $u,v\colon X\to L$ がすべての $j$ で $\pi_ju=\pi_jv$ を満たせば $u=v$ である。
$\lambda_j=\pi_ju=\pi_jv$ とおくと、$D(\alpha)\lambda_j=D(\alpha)\pi_ju=\pi_ku=\lambda_k$ なので $(X,\lambda)$ は錐である。$u$ と $v$ はどちらもこの錐の因子化なので、極限の普遍性の一意性から $u=v$ である。$\square$
一つ一つの $\pi_j$ はモノ射とは限らない。集合の積の射影 $A\times B\to A$ は、$A$ が空でなく $B$ が二元以上なら単射でない。脚をまとめて初めて射を区別できる。
図式 $D,D'\colon\mathcal J\to\mathcal C$ が極限 $(L,\pi)$、$(L',\pi')$ をもち、自然変換 $\alpha\colon D\Rightarrow D'$ の成分 $\alpha_j$ がすべてモノ射であるとする。このとき $\pi'_j\bar\alpha=\alpha_j\pi_j$ で定まる $\bar\alpha\colon L\to L'$ もモノ射である。
$\bar\alpha u=\bar\alpha v$ とする。各 $j$ で $\alpha_j\pi_ju=\pi'_j\bar\alpha u=\pi'_j\bar\alpha v=\alpha_j\pi_jv$ であり、$\alpha_j$ はモノ射なので $\pi_ju=\pi_jv$ である。prop-limit-category-ordinary-jointly-monic により $u=v$ である。$\square$
余極限では同じことが言えない。アーベル群の圏で、平行射の図式 $D=(0\rightrightarrows\mathbb Z)$（二本とも零写像）と $D'=(\mathbb Z\rightrightarrows\mathbb Z)$（$2$ 倍と零写像）を考え、成分が $0\to\mathbb Z$ と $\operatorname{id}_{\mathbb Z}$ の自然変換をとる。成分はどちらも単射だが、余等化子は $\mathbb Z$ と $\mathbb Z/2\mathbb Z$ で、誘導される射 $\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ は単射でない。
完備性
小さい図式の極限をすべてもつ圏を完備という。集合の圏、位相空間の圏、小さい圏の圏は完備である（Rie16 Theorem 3.2.4, p. 94、Propositions 3.6.2, 3.6.6, pp. 116–117）。集合の圏での作り方は次の例のとおりで、prop-limit-category-ordinary-construction の構成を具体的に書いたものである。
小さい図式 $D\colon\mathcal J\to\mathbf{Set}$ の極限は
$$
\lim D=\Bigl\{(x_j)_j\in\prod_{j}D(j)\ \Bigm|\ \text{すべての }\alpha\colon j\to k\text{ で }D(\alpha)(x_j)=x_k\Bigr\}
$$
に射影を制限したものである（Rie16 Theorem 3.2.11, p. 95）。これは直積から、各射に一つずつ課した等式の等化子をとったものにほかならない。たとえば $\mathbb Z/p^{n+1}\mathbb Z\to\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ の列の極限は $p$ 進整数環 $\mathbb Z_p$ である（Rie16 Example 3.1.22, p. 88。詳しくは 射影極限）。
小さい半順序集合 $P$ を圏とみるとき、$P$ が完備であることと、$P$ のすべての部分集合が下限（最大下界）をもつことは同値である。
順序圏では同じ始域・終域の射は高々一本なので、図式はすべて可換で、錐の条件は「頂点が図式の値すべて以下」だけになる。したがって図式 $D$ の極限は、値の集合 $\{D(j)\}$ の下限と同じものである。完備なら、部分集合 $S$ を離散圏上の図式とみてその極限が $S$ の下限になる。逆にすべての部分集合が下限をもてば、任意の小さい図式の極限は値の集合の下限として存在する。$\square$
双対を合わせると、小さい半順序集合が完備かつ余完備であることは完備束であることと同値である（Rie16 Proposition 3.6.10, p. 119）。完備でない例として、$(0,1]$ の部分集合 $\{1/n\mid n\ge1\}$ は下限をもたない。
小さい圏 $\mathcal C$ が小さい積をすべてもつなら、$\mathcal C$ は前順序である。すなわち、どの二対象の間にも射は高々一本しかない。
$\mathcal C$ の射全体の集合を $M$ とし、その濃度を $\kappa$ とする。異なる射 $f\neq g\colon A\to B$ があったと仮定する。$M$ で添字づけた $B$ の積 $B^M=\prod_{m\in M}B$ をとると、積の普遍性により射 $A\to B^M$ は成分の族 $(h_m)_{m\in M}$（各 $h_m\colon A\to B$）と一対一に対応する。各成分を $f$ か $g$ から選べば異なる射が $2^{\kappa}$ 個得られるので、$\operatorname{Hom}(A,B^M)$ の濃度は $2^{\kappa}$ 以上である。一方 $\operatorname{Hom}(A,B^M)\subset M$ なので濃度は $\kappa$ 以下であり、Cantor の定理 $2^{\kappa}>\kappa$ に反する。$\square$
これは Mac98 Chapter V §2, Proposition 3（p. 114）、Rie16 Proposition 3.7.3（p. 124）である。集合の圏は完備だが前順序でない。これは集合の圏が小さくないからで、集合全体の圏のような大きい圏では、極限の大きさを「小さい」図式に制限することに意味がある。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 因子化の一意性 | 二元集合から一点集合二つへの射 | 錐が極限になる |
| 最大元がある | 正の整数の順序圏の空図式 | 極限が存在する |
| 下限が存在する | $(0,1]$ の $\{1/n\}$ | 半順序集合が完備 |
| 極限（余極限でなく） | アーベル群の余等化子 $\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ | 成分がモノ射なら誘導射もモノ射 |
| 圏が小さい | 集合の圏 | 小さい積をもつ圏が前順序 |
| 推移写像の像が安定する | 射影極限 の反例「空でない集合の射影極限が空になる例」 | 空でない集合の極限が空でない |
1・2 行目は rem-limit-category-ordinary-nonuniversal で確かめた。
補足
豊穣圏での極限
Hom がモノイダル圏 $\mathcal V$ の対象である豊穣圏では、普遍性を Hom 集合の全単射ではなく Hom 対象の同型として要求する。通常の形の錐を使う場合も、単なる台圏の極限と豊穣極限は区別が必要である。さらに、図式への対応の仕方を重みとして指定する重み付き極限が基本になる。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ の定値一点の重みでは、本記事の錐と唯一の因子化を回復する。詳説は 極限(豊穣圏) で扱う。Kel82 §§3.1, 3.4, 3.8
∞圏での極限
準圏モデルの $(\infty,1)$-圏では、図式 $p\colon K\to\mathcal C$ は単体的集合の写像であり、錐は左に頂点を加えた $\Delta^0\star K\to\mathcal C$ への延長である。錐の準圏 $\mathcal C_{/p}$ の終対象を極限と定義する。この終対象条件は、他の錐からの射の空間が可縮、すなわちホモトピー的に一点と同じであることを意味する。HTT09 §§1.2.12–1.2.13
普通の一意性を、因子化とそのすべての高次の整合性を含む可縮性へ置き換えるのである。通常の圏の図式を脈体で移した場合には錐の圏も脈体になり、その離散的な射の空間の可縮性は「射がただ一つ」に戻る。詳説は 極限(∞圏) で扱う。
関連項目
参考文献
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