分解定理

各次数 $n$ で、$B^n:=\operatorname{im}(d^{n-1})\subseteq Z^n:=\ker(d^n)\subseteq V^n$ とおく。$k$ は体だから、$V^n$ の部分空間 $Z^n$ には補空間 $C^n$（$V^n=Z^n\oplus C^n$）が存在し、$Z^n$ の部分空間 $B^n$ には補空間 $H'^n$（$Z^n=B^n\oplus H'^n$）が存在する。$H'^n$ は射影 $Z^n\to Z^n/B^n=H^n(V^\bullet)$ の制限として $H^n(V^\bullet)$ と同型である。
このとき $V^n=H'^n\oplus B^n\oplus C^n$ であり、微分 $d^n\colon V^n\to V^{n+1}$ は：$H'^n$ 上では $0$（$H'^n\subseteq Z^n=\ker d^n$）、$B^n$ 上では $0$（同様に $B^n\subseteq Z^n$）、$C^n$ 上では単射で像は $d^n(C^n)=d^n(V^n)=B^{n+1}$ に一致する（$C^n$ は $Z^n$ の補空間だから $d^n|_{C^n}$ は単射、像は定義から $B^{n+1}$）。
したがって $V^\bullet$ は複体としての直和 $V^\bullet=H'^\bullet\oplus A^\bullet$ に分解する。ここで $H'^\bullet$ は各次数 $H'^n$（微分は恒等的に $0$）からなる部分複体であり、$H'^n\cong H^n(V^\bullet)$ なのでこれは $\bigoplus_iH^i(V^\bullet)[-i]$ に他ならない。$A^\bullet:=\bigoplus_n(B^n\oplus C^n)$ は、次数 $n$ で $\ker(d^n|_{A^n})=B^n$、次数 $n$ での像 $\operatorname{im}(d^{n-1}|_{A^{n-1}})=B^n$（$C^{n-1}\xrightarrow{\cong}B^n$ が全射なため）となるから $H^n(A^\bullet)=B^n/B^n=0$（すべての $n$）、すなわち $A^\bullet$ は非輪状（acyclic）である。
ゆえに包含 $H'^\bullet\hookrightarrow V^\bullet=H'^\bullet\oplus A^\bullet$ は、コホモロジーの加法性 $H^n(V^\bullet)=H^n(H'^\bullet)\oplus H^n(A^\bullet)=H'^n\oplus0$ により擬同型であり、導来圏において $V^\bullet\cong H'^\bullet=\bigoplus_iH^i(V^\bullet)[-i]$ が成り立つ。$\blacksquare$

分解定理を使わずに示す。$K:=Rf_*\mathbb{Q}_{\widetilde X}[2]$ とおく。
コホモロジー層。$f$ は固有なので、固有底変換定理の記事の定理「位相空間の固有基底変換（導来圏）」により $(R^qf_*\mathbb{Q}_{\widetilde X})_y\cong H^q(f^{-1}(y);\mathbb Q)$ である。$y\ne p$ ではファイバーは 1 点なので $q=0$ で $\mathbb Q$、ほかで $0$ である。$y=p$ ではファイバーは $\mathbb P^1\cong S^2$ なので $q=0,2$ で $\mathbb Q$、ほかで $0$ である。よって $R^qf_*\mathbb{Q}_{\widetilde X}=0$（$q\ne0,2$）である。$R^2f_*\mathbb{Q}_{\widetilde X}$ は $p$ の外で $0$ で $p$ での茎が $\mathbb Q$ なので $i_*\mathbb Q$ に同型である（$p$ の外で $0$ の層 $G$ は、六演算の記事の命題「開集合と閉集合の完全三角形」の 1 つ目の三角形で $j^*G=0$ となるので $G\cong i_*i^*G$）。$f_*\mathbb{Q}_{\widetilde X}$ については、単位 $\mathbb{Q}_X\to f_*f^*\mathbb{Q}_X=f_*\mathbb{Q}_{\widetilde X}$ が各点の茎で定数関数の包含 $\mathbb Q\to H^0(f^{-1}(y);\mathbb Q)$ となり、ファイバーは連結なので同型である。したがって $\mathcal H^{-2}(K)\cong\mathbb{Q}_X$、$\mathcal H^0(K)\cong i_*\mathbb Q$ で、ほかの $\mathcal H^q(K)$ は $0$ である。
分解。標準 t 構造の切り捨ての完全三角形 $\tau_{\le-2}K\to K\to\tau_{\ge-1}K\xrightarrow{\ \delta\ }(\tau_{\le-2}K)[1]$ において、上のことから $\tau_{\le-2}K\cong\mathbb{Q}_X[2]$、$\tau_{\ge-1}K\cong i_*\mathbb Q$ であり、$\delta\in\operatorname{Hom}(i_*\mathbb Q,\mathbb{Q}_X[3])$ である。$i_*$ は $i^!$ の左随伴なので
$$ \operatorname{Hom}(i_*\mathbb Q,\mathbb{Q}_X[3])\cong\operatorname{Hom}_{D(\{p\})}(\mathbb Q,i^!\mathbb{Q}_X[3]) $$
である。$X$ は実 4 次元の向き付けられた多様体なので双対化複体は $\omega_X\cong\mathbb{Q}_X[4]$ であり（MS21 Example 2.7 (3)、p. 8）、六演算の記事の注意「双対化複体からの確認」と同じ議論で $i^!\omega_X\cong\mathbb Q$、したがって $i^!\mathbb{Q}_X\cong\mathbb Q[-4]$ である。よって上の群は $\operatorname{Hom}_{D(\{p\})}(\mathbb Q,\mathbb Q[-1])=0$ であり、$\delta=0$ である。完全三角形の第 3 の射が $0$ なら三角形は分裂するので（Stacks Tag 05QT）、$K\cong\mathbb{Q}_X[2]\oplus i_*\mathbb Q$ である。
単純性。$\mathbb{Q}_X[2]$ は滑らかな連結曲面の定数層を $[2]$ ずらしたもので $IC_X$ に一致し、$i_*\mathbb Q$ は点に台をもつ 1 次元の偏屈層である。どちらも $\operatorname{Perv}(X)$ の単純対象である（MS21 Theorem 2.45 (b)、p. 20）。$\square$

$Rj_*\mathbb{Q}_U[1]$ が偏屈層であること、および $\operatorname{Perv}(\mathbb C)$ の短完全列
$$ 0\to\mathbb{Q}_{\mathbb C}[1]\to Rj_*\mathbb{Q}_U[1]\xrightarrow{\ q\ }i_*\mathbb Q\to0 $$
があることは、偏屈層の記事の命題「複素平面の上の偏屈層の例」と命題「偏屈層の短完全列」で示した。$i_*\mathbb Q$ は 1 点に台をもつ 1 次元の偏屈層なので単純対象である（MS21 Theorem 2.45 (b)、p. 20）。
$Rj_*\mathbb{Q}_U[1]\cong S_1\oplus\cdots\oplus S_m$（$S_k$ は単純対象）と仮定する。全射 $q$ の各成分 $q|_{S_k}\colon S_k\to i_*\mathbb Q$ のうち少なくとも 1 つは $0$ でない。単純対象の間の $0$ でない射は同型なので（核と像がそれぞれ $0$ か全体であることから）、ある $k$ で $q|_{S_k}$ は同型であり、$s:=(q|_{S_k})^{-1}$ を $S_k$ の包含と合成すると $q$ の右逆 $i_*\mathbb Q\to Rj_*\mathbb{Q}_U[1]$ が得られる。よって $i_*\mathbb Q$ は $Rj_*\mathbb{Q}_U[1]$ の直和因子である。
ここで例外的逆像 $i^!$ を施す。$i^!$ は加法的なので直和因子を直和因子に送り、$i^!i_*\mathbb Q=\mathbb Q$ は $i^!Rj_*\mathbb{Q}_U[1]$ の直和因子になる。ところが $i^!Rj_*=0$ である（六演算の記事の命題「開集合と閉集合の完全三角形」）。$\mathbb Q\ne0$ が $0$ の直和因子になることはないので矛盾する。$\square$