モノイダル閉圏
概要
モノイダル閉圏（monoidal closed category）とは、モノイダル圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ で、各対象 $Y$ について関手 $-\otimes Y$ が右随伴 $[Y,-]$ をもち、自然な全単射 $\mathcal V(X\otimes Y,Z)\cong\mathcal V(X,[Y,Z])$ が成り立つものであり、$[Y,Z]$ を内部Homという。内部Homは 2 変数の関手になり、$[I,Z]\cong Z$ と $[X\otimes Y,Z]\cong[X,[Y,Z]\!]$ が成り立ち、閉圏は自分自身の上の豊穣圏になる。対称性は仮定せず、$X\otimes-$ も右随伴をもつときを双閉といい、双加群や語の集合が例で、右閉でも左閉とは限らない。閉ならテンソル積は余極限を保ち、すべての上限をもつ薄いモノイダル圏では逆も成り立つ。
集合の写像 $f\colon X\times Y\to Z$ は、$x$ を固定するごとに写像 $f(x,-)\colon Y\to Z$ を与えるので、写像 $X\to Z^Y$ と同じ情報をもつ。この「2 変数の写像を 1 変数の写像の族とみる」操作（カリー化）を、直積とは限らないテンソル積 $\otimes$ に対して要請したものが モノイダル閉圏 である。要請するのは、各対象 $Y$ について関手 $-\otimes Y$ が右随伴 $[Y,-]$ をもつことで、$[Y,Z]$ を $Y$ から $Z$ への 内部Hom という。
テンソル積が対称なら、右から掛ける関手と左から掛ける関手の区別は要らない。この場合は 対称モノイダル閉圏 で扱う。本記事は対称性を仮定しない。双加群のテンソル積、語の連接、写像の合成のように、掛ける順序に意味があるテンソル積では、右から掛ける関手と左から掛ける関手で右随伴の有無が分かれることがあり、2 つの内部Hom は一般に異なる。
定義
モノイダル圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ は、双関手 $\otimes\colon\mathcal V\times\mathcal V\to\mathcal V$、単位対象 $I$、結合の自然同型 $a\colon(X\otimes Y)\otimes Z\cong X\otimes(Y\otimes Z)$ と単位の自然同型 $l\colon I\otimes X\cong X$、$r\colon X\otimes I\cong X$ からなり、五角形と三角形の整合条件を満たす（モノイダル圏）。$\mathcal V$ は局所小とする。
モノイダル圏 $\mathcal V$ が 閉（右閉）であるとは、各対象 $Y$ について関手 $-\otimes Y\colon\mathcal V\to\mathcal V$ が右随伴 $[Y,-]$ をもつこと、すなわち
$$
\mathcal V(X\otimes Y,Z)\cong\mathcal V(X,[Y,Z])
$$
という $X$ と $Z$ に自然な全単射があることをいう。右随伴とその全単射を指定したモノイダル圏を モノイダル閉圏（monoidal closed category）といい、$[Y,Z]$ を 内部Hom という。
同様に、各 $X$ について $X\otimes-$ が右随伴 $\langle X,-\rangle$ をもつとき 左閉 といい、$\mathcal V(X\otimes Y,Z)\cong\mathcal V(Y,\langle X,Z\rangle)$ が成り立つ。右閉かつ左閉であるとき 双閉（biclosed）という。
この定義は Kel82 §1.5（p. 13）による。Kelly はモノイダル圏を対称と限らずに「閉」を定義し、テンソル積が直積のときを Cartesian 閉と呼ぶ（Cartesian閉圏）。対称モノイダル圏では、交換の同型 $X\otimes Y\cong Y\otimes X$ により右閉と左閉は同値で、$\langle X,-\rangle\cong[X,-]$ となる（同 p. 14）。
全単射で $X\otimes Y\to Z$ に対応する射 $\tilde f\colon X\to[Y,Z]$ を $f$ の 転置（カリー化）という。$X=[Y,Z]$ として恒等射に対応する射を 評価 $\operatorname{ev}_{Y,Z}\colon[Y,Z]\otimes Y\to Z$ と書く。これは随伴の余単位である。
$$
\xymatrix{
[Y,Z]\otimes Y \ar[r]^-{\operatorname{ev}_{Y,Z}} & Z \\
X\otimes Y \ar[u]^{\tilde f\otimes\operatorname{id}_Y} \ar[ur]_{f} &
}
$$
図式が可換とは $f=\operatorname{ev}_{Y,Z}\circ(\tilde f\otimes\operatorname{id}_Y)$ ということで、$\tilde f$ はこの等式を満たすただ 1 つの射である。集合の圏で直積をテンソル積とすれば $\operatorname{ev}(h,y)=h(y)$、$\tilde f(x)=f(x,-)$ である。評価写像の存在と、単位対象から通常の射集合を回収する式 $\mathcal V(Y,Z)\cong\mathcal V(I,[Y,Z])$ の導き方は 内部Hom の命題「評価写像と通常の射集合」にある。
本記事の「右閉」は、右に掛ける $-\otimes Y$ が右随伴をもつことである。Rie16 Definition 4.4.7（p. 153）は、$X\otimes-$ の右随伴を左の閉包（left closure）、$-\otimes Y$ の右随伴を右の閉包（right closure）と呼び、本記事の右閉は右の閉包があることにあたる。「左」「右」はテンソル積のどちらの因子を固定するかの呼び名なので、読むときは、どちらの変数を固定した関手の右随伴かを確かめるとよい。
内部Hom の関手性
$[Y,Z]$ は $Z$ について関手であることが右随伴であることから従うが、$Y$ についても（反変に）関手になり、全単射は 3 つの変数すべてについて自然になる。
モノイダル閉圏 $\mathcal V$ の内部Hom は、ただ 1 通りに関手 $[-,-]\colon\mathcal V^{\mathrm{op}}\times\mathcal V\to\mathcal V$ に延び、全単射 $\mathcal V(X\otimes Y,Z)\cong\mathcal V(X,[Y,Z])$ は $X,Y,Z$ について自然になる。$u\colon Y'\to Y$ に対する $[u,Z]\colon[Y,Z]\to[Y',Z]$ は、合成
$$
[Y,Z]\otimes Y'\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes u}[Y,Z]\otimes Y\xrightarrow{\operatorname{ev}_{Y,Z}}Z
$$
の転置である（Rie16 Proposition 4.4.6 (ii), p. 152、Mac98 IV.7 Theorem 3, p. 102）。
$[u,Z]$ を上の転置で定める。$f\colon X\otimes Y\to Z$ について、$f\circ(\operatorname{id}_X\otimes u)$ の転置が $[u,Z]\circ\tilde f$ であることを示せば、$Y$ についての自然性が得られる。転置の一意性により、$[u,Z]\circ\tilde f$ を評価したものが $f\circ(\operatorname{id}_X\otimes u)$ になればよい。$\otimes$ が双関手であることを使うと
$$
\begin{aligned}
\operatorname{ev}_{Y',Z}\circ\bigl(([u,Z]\circ\tilde f)\otimes\operatorname{id}_{Y'}\bigr)
&=\operatorname{ev}_{Y',Z}\circ([u,Z]\otimes\operatorname{id}_{Y'})\circ(\tilde f\otimes\operatorname{id}_{Y'})\\
&=\operatorname{ev}_{Y,Z}\circ(\operatorname{id}\otimes u)\circ(\tilde f\otimes\operatorname{id}_{Y'})\\
&=\operatorname{ev}_{Y,Z}\circ(\tilde f\otimes\operatorname{id}_Y)\circ(\operatorname{id}_X\otimes u)
=f\circ(\operatorname{id}_X\otimes u)
\end{aligned}
$$
である。2 行目は $[u,Z]$ の定義、3 行目は $(\tilde f\otimes\operatorname{id})\circ(\operatorname{id}\otimes u)=(\operatorname{id}\otimes u)\circ(\tilde f\otimes\operatorname{id})$（どちらも $\tilde f\otimes u$）である。逆に $Y$ について自然な全単射を与える $[u,Z]$ は、$X=[Y,Z]$、$f=\operatorname{ev}_{Y,Z}$ の場合を見れば上の転置でなければならないので、一意である。$[\operatorname{id}_Y,Z]=\operatorname{id}$ と $[u\circ v,Z]=[v,Z]\circ[u,Z]$ は、両辺がともに同じ射の転置であることから、この一意性によって従う。$Z$ についての関手性と、2 変数を同時に動かしたときの両立も、同じく転置の一意性による。$\square$
内部Hom のカリー化
集合では $Z^{X\times Y}\cong(Z^Y)^X$ が成り立つ。モノイダル閉圏でも、内部Hom の間に同じ形の同型がある。証明は、任意の対象 $T$ からの射を数え、米田の補題で対象の同型に戻すという型の議論である。
モノイダル閉圏 $\mathcal V$ で、次の同型が対象について自然に成り立つ。
$$
[I,Z]\cong Z,\qquad [X\otimes Y,Z]\cong[X,[Y,Z]\!],\qquad \mathcal V(Y,Z)\cong\mathcal V(I,[Y,Z]).
$$
任意の対象 $T$ について、閉性の全単射と結合の同型 $a$ を順に使うと
$$
\begin{aligned}
\mathcal V(T,[X\otimes Y,Z])
&\cong\mathcal V(T\otimes(X\otimes Y),Z)
\cong\mathcal V((T\otimes X)\otimes Y,Z)\\
&\cong\mathcal V(T\otimes X,[Y,Z])
\cong\mathcal V(T,[X,[Y,Z]\!])
\end{aligned}
$$
となる。2 番目の全単射は $a_{T,X,Y}$ との合成で、$a$ が自然同型なので $T$ について自然である。ほかの全単射も閉性の自然性により $T$ について自然である。したがって表現可能関手 $\mathcal V(-,[X\otimes Y,Z])$ と $\mathcal V(-,[X,[Y,Z]\!])$ は自然同型であり、米田の補題により $[X\otimes Y,Z]\cong[X,[Y,Z]\!]$ である。全単射がどれも $X,Y,Z$ についても自然なので（prop-monoidal-closed-bifunctor）、この同型も自然である。
同様に $\mathcal V(T,[I,Z])\cong\mathcal V(T\otimes I,Z)\cong\mathcal V(T,Z)$（2 番目は $r_T$ との合成）から $[I,Z]\cong Z$ を得る。最後の式は閉性の全単射で $X=I$ とし、$l_Y\colon I\otimes Y\cong Y$ と合成すれば得られる。$\square$
この 3 つは Kel82 (1.25)–(1.27)（p. 14）にあたる。最後の式は、内部Hom $[Y,Z]$ の「単位対象からの射」が通常の射 $Y\to Z$ と同じであることを言っている。左閉なら、左の内部Hom について $\langle X\otimes Y,Z\rangle\cong\langle Y,\langle X,Z\rangle\rangle$ が同じ議論で成り立つ（変数の順序が逆になる）。
閉性の全単射を合成に使うと、内部Hom の間の合成 $[Y,Z]\otimes[X,Y]\to[X,Z]$ が、$([Y,Z]\otimes[X,Y])\otimes X\cong[Y,Z]\otimes([X,Y]\otimes X)\to[Y,Z]\otimes Y\to Z$ の転置として定まる。この合成は結合的で、$I\to[X,X]$（$l_X$ の転置）を単位とする（内部Hom の命題「内部合成の結合性」）。こうして $\mathcal V$ は、Hom 対象を $[X,Y]$ とする $\mathcal V$ 上の豊穣圏になる（Kel82 §1.6, p. 15 は対称な場合に述べているが、この合成の構成と結合性の確認には対称性を使わない）。豊穣圏の記事群でモノイダル閉圏を前提にするのは、この自己豊穣化と、$\mathcal V(I,[Y,Z])\cong\mathcal V(Y,Z)$ による台の圏への戻り方を使うためである。
閉性の必要条件と、薄い場合の判定
右閉なら $-\otimes Y$ は左随伴なので、余極限を保つ。これは閉でないことを示すための最も使いやすい道具である。
$\mathcal V$ が右閉なら、各 $Y$ について $-\otimes Y$ は $\mathcal V$ に存在するすべての余極限を保つ。とくに
(i) $\mathcal V$ が始対象 $0$ をもてば、$0\otimes Y$ は始対象である。
(ii) 余積 $X_1+X_2$ があれば、$(X_1+X_2)\otimes Y$ は $X_1\otimes Y$ と $X_2\otimes Y$ の余積である。
左閉なら $X\otimes-$ について同じことが成り立つ。
$-\otimes Y$ は $[Y,-]$ の左随伴なので、余極限(圏論) の命題「左随伴は余極限を保存する」により余極限を保つ。(i) は空の図式の余極限が始対象であること、(ii) は 2 対象の離散図式の余極限が余積であることに当てはめたものである。直接に確かめるなら、(i) は $\mathcal V(0\otimes Y,Z)\cong\mathcal V(0,[Y,Z])$ が 1 元集合であることから、(ii) は $\mathcal V((X_1+X_2)\otimes Y,Z)\cong\mathcal V(X_1+X_2,[Y,Z])\cong\mathcal V(X_1,[Y,Z])\times\mathcal V(X_2,[Y,Z])\cong\mathcal V(X_1\otimes Y,Z)\times\mathcal V(X_2\otimes Y,Z)$ が、入射との合成で与えられることから従う。$\square$
一般の圏では、この逆（余極限を保つなら右随伴をもつ）には追加の仮定が要る。しかし薄い圏では、薄い圏 の定理「薄い圏の随伴関手定理」により、逆が完備性だけで成り立つ。
薄い圏の上のモノイダル構造は、前順序集合 $(V,\lesssim)$ 上の 2 項演算 $\otimes$ で、各変数について単調、単位 $I$ をもち、結合律と単位律が $\sim$（互いに以下）を除いて成り立つものと同じである。整合条件は、薄い圏では図式がすべて可換なので自動的に満たされる。
$(V,\lesssim,\otimes,I)$ を薄いモノイダル圏とし、$V$ のすべての部分集合が上限をもつとする。このとき $V$ が右閉であることと、各 $y$ について $x\mapsto x\otimes y$ がすべての上限を保つこと、すなわち
$$
\Bigl(\bigvee_ix_i\Bigr)\otimes y\sim\bigvee_i(x_i\otimes y)\qquad(\text{空の族も含む})
$$
は同値である。このとき内部Hom は $[y,z]=\bigvee\{x\mid x\otimes y\lesssim z\}$ で与えられ、閉性の式は
$$
x\otimes y\lesssim z\iff x\lesssim[y,z]
$$
になる。左閉についても、$y\mapsto x\otimes y$ について同じことが成り立つ。
空の族の場合は、最小元 $\bot$ について $\bot\otimes y\sim\bot$ という条件で、thm-monoidal-closed-colimits の (i) にあたる。下の例の多くは、この判定で閉性を確かめる。
例
$[0,\infty]$ を、$a\ge b$ のときに限り射 $a\to b$ がある薄い圏とみなし、テンソル積を和 $a+b$、単位を $0$ とする（$\infty+a=\infty$）。この順序での上限は通常の下限であり、どの部分集合にもある。$z\ominus y:=\max(z-y,0)$（$y=\infty$ なら $0$、$z=\infty>y$ なら $\infty$）とおくと
$$
x+y\ge z\iff x\ge z\ominus y
$$
が成り立つので、$[y,z]=z\ominus y$ を内部Hom として閉である。$y,z$ が有限なら両辺とも $x\ge z-y$ かつ $x\ge0$ と同じである。$y=\infty$ なら両辺とも常に真、$z=\infty>y$ なら両辺とも $x=\infty$ と同値である。この圏の上の豊穣圏は、対象の組に $d(x,y)\in[0,\infty]$ を与え、単位が $d(x,x)\le0$、合成が三角不等式 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ となるもので、一般化された距離空間と呼ばれる（Kel82 §1.1–1.2, pp. 8–9）。対称律 $d(x,y)=d(y,x)$ や、$d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ は課されない。
有限集合 $\Sigma$ の元を並べた有限列（語）の全体を $\Sigma^*$ とし、連接 $uv$ を積、空の語 $\varepsilon$ を単位とする。$\Sigma^*$ の部分集合全体 $\mathcal P(\Sigma^*)$ を包含で順序づけ、$A\otimes B:=AB=\{uv\mid u\in A,\ v\in B\}$、単位 $\{\varepsilon\}$ とすると、薄いモノイダル圏になる。$\bigl(\bigcup_iA_i\bigr)B=\bigcup_i(A_iB)$（空の族では $\emptyset B=\emptyset$）なので、thm-monoidal-closed-thin により右閉で、左についても同様に左閉である。内部Hom は
$$
[B,C]=\{u\mid uB\subset C\},\qquad \langle A,C\rangle=\{v\mid Av\subset C\}
$$
で、たとえば $AB\subset C\iff A\subset[B,C]$ は「$A$ のどの語 $u$ についても $uB\subset C$」と同じことである。$\Sigma=\{a,b\}$、$B=\{a\}$、$C=\{ab\}$ とすると、$ua=ab$ となる語 $u$ はないので $[B,C]=\emptyset$、$av=ab$ となるのは $v=b$ なので $\langle B,C\rangle=\{b\}$ である。左右の内部Hom は一致しない。$\{a\}\{b\}=\{ab\}\ne\{ba\}=\{b\}\{a\}$ なので、この薄いモノイダル圏は対称ではない（薄く骨格的な圏では、交換の同型は等号になる）。
環 $R$（可換とは限らない）上の両側加群（左右から $R$ が作用し、2 つの作用が可換なアーベル群）と両側加群準同型の圏は、テンソル積 $\otimes_R$ と単位 $R$ でモノイダル圏になり、双閉である（Kel82 p. 8・p. 14、Rie16 Example 4.4.8, p. 153）。右閉の内部Hom は、右 $R$ 加群としての準同型の全体 $[N,P]=\operatorname{Hom}_{-R}(N,P)$ に $(r\cdot h\cdot s)(n):=r\,h(sn)$ で両側加群の構造を入れたものである。
右閉であることの確かめを開く
両側加群準同型 $f\colon M\otimes_RN\to P$ に対し $\tilde f(m):=f(m\otimes-)$ とおく。$f(m\otimes nr)=f(m\otimes n)r$ だから $\tilde f(m)$ は右 $R$ 線形である。$\tilde f(rms)(n)=f(rms\otimes n)=r\,f(m\otimes sn)=(r\cdot\tilde f(m)\cdot s)(n)$ なので $\tilde f$ は両側加群準同型である。逆に両側加群準同型 $g\colon M\to[N,P]$ があれば、$(m,n)\mapsto g(m)(n)$ は両変数について加法的で $g(ms)(n)=g(m)(sn)$ を満たすので、テンソル積の普遍性により $M\otimes_RN\to P$ を定め、それは $r(m\otimes n)s=rm\otimes ns\mapsto r\,g(m)(n)\,s$ を満たす両側加群準同型である。2 つの対応は純テンソル上で互いに逆であり、$M$ と $P$ の準同型との合成と両立する。左閉の内部Hom は、左 $R$ 加群としての準同型の全体に $(r\cdot k\cdot s)(m):=k(mr)\,s$ で構造を入れたもので、同様に確かめられる。
2 点の鎖 $\mathbf 2=\{0<1\}$ からそれ自身への単調写像は、定数 $0$ の写像 $\alpha$、恒等写像 $e$、定数 $1$ の写像 $\beta$ の 3 つで、各点の比較で $\alpha< e< \beta$ と全順序に並ぶ。合成 $x\otimes y:=x\circ y$ をテンソル積、$e$ を単位とする。具体的には、$x$ が定数写像 $\alpha,\beta$ なら $x\otimes y=x$、$x=e$ なら $x\otimes y=y$ である。合成は結合的で、各変数について単調である（$y\le y'$ なら $x\circ y\le x\circ y'$、$x\le x'$ なら各点で $x(y(t))\le x'(y(t))$）。
- 右閉である。$x\mapsto x\otimes y$ は $\alpha\mapsto\alpha$、$e\mapsto y$、$\beta\mapsto\beta$ で、最小元を最小元に送り、鎖の上の単調写像なので 2 元の上限（大きい方）も保つ。thm-monoidal-closed-thin により右閉で、$[y,z]$ は $\{x\mid x\otimes y\le z\}$ の最大元である。
- 左閉でない。$y\mapsto\beta\otimes y=\beta$ は定数で、最小元 $\alpha$ を $\beta$ に送る。thm-monoidal-closed-colimits の (i) により、$\beta\otimes-$ は右随伴をもたない。
最後の例は、対称でないモノイダル圏では右閉から左閉が従わないことを示す。対称なモノイダル圏では両者は同値なので、この例のテンソル積は対称でない。実際 $\alpha\otimes\beta=\alpha\ne\beta=\beta\otimes\alpha$ である。
反例の表
各行は 1 つの条件だけを外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $-\otimes Y$ が右随伴をもつ | 集合の圏に非交和 $\sqcup$ と単位 $\emptyset$ を入れたもの | 内部Hom $[U,\emptyset]$（$U\ne\emptyset$）の存在 |
| $-\otimes Y$ が右随伴をもつ | アーベル群の圏に直和 $\oplus$ と単位 $0$ を入れたもの | $0\otimes Y$ が始対象 |
| テンソル積の対称性 | ex-monoidal-closed-one-sided | 右閉なら左閉 |
| テンソル積の対称性 | ex-monoidal-closed-languages | 左右の内部Hom が一致する |
| 前順序の完備性 | $[0,\infty)$ に通常の順序と積 $xy$、単位 $1$ | 上限を保つなら右閉 |
1 行目は 内部Hom の例「閉でないモノイダル圏と第一変数の完全性」で確かめてある。2 行目は、$Y\ne0$ なら $0\oplus Y\cong Y$ が始対象 $0$ と同型でないので、thm-monoidal-closed-colimits の (i) に反する（対称モノイダル閉圏 の命題「直和モノイダル構造は閉でない」も参照）。
$[0,\infty)$ に通常の順序 $\le$、積 $x\otimes y=xy$、単位 $1$ を入れると、各変数について単調な薄いモノイダル圏になる。$y=0$ のとき $x\mapsto x\cdot0=0$ は定数で、存在するすべての上限を保つ（空でない族の上限は $0$ に、空の族の上限である最小元 $0$ も $0$ に移る）。しかし右随伴 $g$ があれば、$x\cdot0\le z\iff x\le g(z)$ の左辺は $z\ge0$ のとき常に真なので、$g(z)$ は最大元でなければならず、$[0,\infty)$ には最大元がない。よって右閉でない。破れているのは thm-monoidal-closed-thin の「すべての部分集合が上限をもつ」という仮定で、$[0,\infty)$ 全体が上限をもたない。
関連項目
参考文献
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