Euclid幾何学

直線 $\{P+tv\}$ は、$v$ に垂直な $n\ne0$ を使って $\{x\mid\langle n,x\rangle=\langle n,P\rangle\}$ とも書ける（2 次元なので $v$ に垂直なベクトルは $n$ の定数倍に限る）。単位ベクトル $u=(u_1,u_2)$ について $u^\perp=(-u_2,u_1)$ とおくと、$u$、$u^\perp$ は正規直交基底で、どの単位ベクトル $w$ も、$(\langle w,u\rangle,\langle w,u^\perp\rangle)$ が単位円の点であることから、ただ 1 つの $\varphi\in(-\pi,\pi]$ で $w=\cos\varphi\,u+\sin\varphi\,u^\perp$ と書ける。
段 1（(A1)）。相異なる 2 点 $P$、$Q$ は直線 $\{P+t(Q-P)\}$ の上にある。直線 $\{R+tw\}$ が $P$、$Q$ を通れば、$Q-P$ は $w$ の 0 でない定数倍なので、この直線は $\{P+t(Q-P)\}$ に等しい。直線には無数の点があり、$(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$ は 1 本の直線の上にない。
段 2（(A2)）。直線 $\{P+tv\}$ の点を媒介変数 $t$ で表すと、$B=(1-s)A+sC$ は $t_B=(1-s)t_A+st_C$ と同じことなので、「$B$ が $A$ と $C$ の間にある」は「$t_B$ が $t_A$ と $t_C$ の間にある」と同値である。相異なる 3 つの実数のうち、ほかの 2 つの間にあるものはちょうど 1 つである。次に、直線 $\ell=\{x\mid f(x)=0\}$、$f(x)=\langle n,x\rangle-c$ について、$\ell$ の側を $\{f>0\}$ と $\{f< 0\}$ とする。$f\bigl((1-s)A+sC\bigr)=(1-s)f(A)+sf(C)$ は $s$ の 1 次式なので、$f(A)$ と $f(C)$ が同符号なら $0\le s\le1$ で $0$ にならず、異符号ならちょうど 1 つの $0< s< 1$ で $0$ になる。よって同じ側の 2 点を結ぶ線分は $\ell$ と交わらず、反対側の 2 点を結ぶ線分は $\ell$ と交わる。
段 3（(A3)）。長さ $|B-A|$ は正である。$X\ne V$ のとき $u=\dfrac{X-V}{|X-V|}$ とおくと、直線 $VX$ の点 $V+su$ のうち、$V$ が $V+su$ と $X$ の間にないのは $s\ge0$ のときなので、半直線 $VX$ は $\{V+su\mid s\ge0\}$ である。その上で $V$ からの長さが $x>0$ の点は $V+xu$ だけである。$B=(1-s)A+sC$ なら $|B-A|=s|C-A|$、$|C-B|=(1-s)|C-A|$ で、和は $|C-A|$ である。
段 4（(A4) の角の作図と和）。半直線 $VX$ の向きを $u$ とし、直線 $VX$ の与えられた側が $\{P\mid\langle n,P-V\rangle>0\}$ となるように $n=\pm u^\perp$ を選ぶ。$P\ne V$ について $P-V=r(\cos\varphi\,u+\sin\varphi\,n)$（$r>0$、$-\pi<\varphi\le\pi$）と書くと、$P$ がその側にあることと $0<\varphi<\pi$ は同値で、そのとき $\cos\angle XVP=\cos\varphi$ から $\angle XVP=\varphi$ である。よって大きさ $\theta$ の角を作る半直線は $\{V+s(\cos\theta\,u+\sin\theta\,n)\mid s\ge0\}$ ただ 1 本である。
角の和を示すため、与えられた側として $Y$ のある側をとり、半直線 $VZ$ が角 $\angle XVY$ の内側にあるとする。$Z$ もこの側にある。$\angle XVY=\beta$、$\angle XVZ=\gamma$ とおく。直線 $VY$ は $m=-\sin\beta\,u+\cos\beta\,n$ を法線とし、
$$ \langle m,X-V\rangle=-|X-V|\sin\beta< 0,\qquad\langle m,Z-V\rangle=|Z-V|\sin(\gamma-\beta) $$
である。$Z$ は直線 $VY$ について $X$ と同じ側にあるので $\sin(\gamma-\beta)< 0$、$-\pi<\gamma-\beta<\pi$ から $\gamma<\beta$ である。このとき $\cos\angle ZVY=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma=\cos(\beta-\gamma)$ で $0<\beta-\gamma<\pi$ なので $\angle ZVY=\beta-\gamma$、つまり $\angle XVZ+\angle ZVY=\angle XVY$ である。$V$ が $Y$ と $Y'$ の間にあれば $Y'-V$ は $Y-V$ の負の定数倍なので、$\cos\angle XVY'=-\cos\beta$ から $\angle XVY'=\pi-\beta$ で、一直線をなす 2 つの角の和は $\pi$ である。
段 5（(A4) の最後の文）。$Y$ がこの側にあり $\angle XVY=\beta$、$Z$ が反対側にあり $\angle XVZ=\gamma$、$\beta+\gamma<\pi$ とする。段 4 の議論を $-n$ に使うと $Z-V=|Z-V|(\cos\gamma\,u-\sin\gamma\,n)$ である。直線 $VY$ の法線 $m_Y=-\sin\beta\,u+\cos\beta\,n$ と直線 $VZ$ の法線 $m_Z=\sin\gamma\,u+\cos\gamma\,n$ について
$$ \langle m_Y,u\rangle=-\sin\beta,\quad\langle m_Y,Z-V\rangle=-|Z-V|\sin(\beta+\gamma),\quad\langle m_Z,u\rangle=\sin\gamma,\quad\langle m_Z,Y-V\rangle=|Y-V|\sin(\beta+\gamma) $$
で、$0<\beta+\gamma<\pi$ から $\sin(\beta+\gamma)>0$ である。よって $X$ は直線 $VY$ について $Z$ と同じ側に、直線 $VZ$ について $Y$ と同じ側にあり、半直線 $VX$ は角 $\angle YVZ$ の内側にある（$\beta+\gamma\ne\pi$ なので $Y$、$V$、$Z$ は 1 本の直線の上にない）。
段 6（(A5)）。三角形 $ABC$ で $b=B-A$、$c=C-A$ とおくと
$$ |B-C|^2=|b|^2+|c|^2-2\langle b,c\rangle=AB^2+AC^2-2\,AB\cdot AC\cos\angle A $$
なので、2 辺とその間の角から残りの辺が決まる。さらに $\cos\angle B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\,AB\cdot BC}$ のように、各角の余弦は 3 辺の長さで決まる。よって 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい 2 つの三角形は、残りの辺と角もそれぞれ等しい。
段 7（平行線公準）。直線 $\ell=\{\langle n,x\rangle=c\}$ と $\ell$ の上にない点 $P$ をとる。$P$ を通る直線は $\{\langle n',x\rangle=\langle n',P\rangle\}$（$n'\ne0$）の形である。$n'$ が $n$ の定数倍でなければ、$\langle n,x\rangle=c$、$\langle n',x\rangle=\langle n',P\rangle$ は係数行列が正則な連立 1 次方程式なので解があり、2 直線は交わる。$n'$ が $n$ の定数倍なら直線は $\{\langle n,x\rangle=\langle n,P\rangle\}$ で、$\langle n,P\rangle\ne c$ なので $\ell$ と交わらない。よって $P$ を通る $\ell$ の平行線はただ 1 本である。$\square$

$M$ を線分 $AC$ の中点、$p$ を垂直二等分線とする。
段 1（$p$ の点は等距離）。$M$ は $MA=MC$ を満たす。$O\in p$、$O\ne M$ なら、$O$ は直線 $AC$ の上にない（$p$ と直線 $AC$ の共有点は $M$ だけ）。三角形 $OMA$ と $OMC$ で、$OM$ は共通、$MA=MC$、$\angle OMA=\angle OMC=90^\circ$ なので、(A5) により $OA=OC$ である。
段 2（等距離の点は $p$ の上）。$OA=OC$ とする。$O$ が直線 $AC$ の上にあれば、$O$ は $A$ と $C$ の間にある。実際、$O=A$ なら $OA=0< AC=OC$、$O=C$ なら $OC=0< AC=OA$ で仮定に反する。また、$A$ が $O$ と $C$ の間にあれば (A3) により $OC=OA+AC>OA$、$C$ が $A$ と $O$ の間にあれば $OA>OC$ となって、どちらも仮定に反する。よって $OA+OC=AC$、$OA=\frac12AC$ で、$O$ は半直線 $AC$ の上で $A$ からの長さが $\frac12AC$ の点、つまり $M$ である。$O$ が直線 $AC$ の上になければ、三角形 $OMA$ と $OMC$ は 3 辺がそれぞれ等しいので、SSS により $\angle OMA=\angle OMC$ である。2 つの角は一直線をなすので和は $180^\circ$ で、どちらも $90^\circ$ である。よって直線 $OM$ は $M$ で直線 $AC$ に垂直で、$p$ に一致し、$O\in p$ である。$\square$

段 1（1 ⇒ 2）。三角形 $ABC$ の辺 $AB$、$BC$ の垂直二等分線を $p$、$q$ とし、中点を $M$、$N$ とする。$p$ と $q$ が点 $O$ を共有すれば、lem-eg-bisector により $OA=OB=OC$ で、中心 $O$、半径 $OA$ の円が外接円である。
$p$ と $q$ が共有点をもたないとして矛盾を導く。直線 $AB$ が $q$ と交わらないとすると、$M$ を通り $q$ に平行な直線が $p$ と直線 $AB$ の 2 本あることになり（$p$ は $AB$ に垂直なので $p\ne AB$）、平行線公準に反する。よって直線 $AB$ は $q$ と点 $X$ で交わる。$p$ と $q$ は平行で、直線 $AB$ はその両方と交わる横断線であり、$M$ で $p$ と直角に交わる。平行線の錯角は等しい（平行線公準（高校数学） の系「平行線の錯角は等しい」）ので、直線 $AB$ は $X$ で $q$ に垂直である。一方、直線 $BC$ も $N$ で $q$ に垂直である。$B$ は $q$ の上にない（lem-eg-bisector により $q$ の点は $B$ と $C$ から等距離だが、$BB=0\ne BC$）。$B$ から $q$ に下ろす垂線はただ 1 本なので、直線 $AB$ と直線 $BC$ は一致し、$A$、$B$、$C$ が 1 本の直線の上にあることになって矛盾する。
段 2（一意性）。外接円の中心 $O$ は $OA=OB=OC$ を満たすので、lem-eg-bisector により $p$ と $q$ の両方の上にある。段 1 と同じ議論で $p\ne q$（$p=q$ なら直線 $AB$ と $BC$ はどちらも $B$ を通り $p$ に垂直になる）なので、共有点は高々 1 つである。半径は $OA$ で決まる。
段 3（2 ⇒ 1）。直線 $\ell$ と $\ell$ の上にない点 $P$ をとる。$P$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $Q$、$P$ を通り直線 $PQ$ に垂直な直線を $m$ とする。$m$ と $\ell$ はどちらも直線 $PQ$ に垂直で錯角が等しいので、$m$ は $\ell$ に平行である。$P$ を通る $m$ 以外の直線 $n$ が $\ell$ と交わることを示せばよい。$n$ が直線 $PQ$ なら $Q$ で交わるので、$n\ne PQ$ とする。
線分 $PQ$ の中点を $A$ とする。$A$ は $\ell$ の上にも $n$ の上にもない（直線 $PQ$ と $\ell$ の共有点は $Q$、$n$ との共有点は $P$ だけ）。$A$ の $\ell$ に関する鏡映を $B$、$n$ に関する鏡映を $C$ とする。直線 $AQ=PQ$ は $\ell$ に垂直なので、$B$ は直線 $PQ$ の上にあり、$\ell$ は線分 $AB$ の垂直二等分線である。$n$ は線分 $AC$ の垂直二等分線である。
$A$、$B$、$C$ は 1 本の直線の上にない。実際、$C$ が直線 $PQ$ の上にあれば、直線 $AC$ は直線 $PQ$ で、$n$ は $P$ で直線 $PQ$ に垂直になるが、$P$ で直線 $PQ$ に垂直な直線は $m$ だけなので $n=m$ となり、仮定に反する。
仮定 2 により三角形 $ABC$ に外接円があり、その中心 $O$ は $OA=OB=OC$ を満たす。lem-eg-bisector により、$OA=OB$ から $O\in\ell$、$OA=OC$ から $O\in n$ である。よって $n$ は $\ell$ と $O$ で交わる。$P$ を通る $\ell$ の平行線は $m$ だけである。$\square$