局所同相写像

1 ⇒ 2：$x\in X$ の同相近傍 $U$ をとる。$p|_U$ は単射である。$p$ が連続であることを示す。$Y$ の開集合 $W$ について、$p^{-1}(W)\cap U=(p|_U)^{-1}(W\cap p(U))$ は $U$ の相対開集合、したがって $X$ の開集合である。$p^{-1}(W)$ は、同相近傍 $U$ をすべて動かしたときのこれらの和なので開集合である。$p$ が開写像であることを示す。$X$ の開集合 $V$ と同相近傍 $U$ について、$V\cap U$ は $U$ の開集合で、$p(V\cap U)=p|_U(V\cap U)$ は $p(U)$ の相対開集合、したがって $Y$ の開集合である。同相近傍全体は $X$ を覆うので、$p(V)$ はこれらの和として開集合である。
2 ⇒ 1：$x\in X$ と、$p|_U$ が単射な開近傍 $U$ をとる。$p$ は開写像なので $p(U)$ は開集合で、$p|_U\colon U\to p(U)$ は連続な全単射である。$U$ の開集合は $X$ の開集合なので、その像は $Y$ の開集合、したがって $p(U)$ の相対開集合である。よって $p|_U$ は開写像でもあり、同相写像 の命題「連続全単射に対する開写像・閉写像・同相の同値」により同相写像である。$\square$

1：$x\in p^{-1}(y)$ の同相近傍 $U$ では $p$ は単射なので、$U\cap p^{-1}(y)=\{x\}$ であり、$\{x\}$ はファイバーの相対開集合である。
2：prop-lh-criterion により $p$ は連続な開写像なので、開写像 の命題「単射な連続開写像」による。
3：$z\in Z$ で $s(z)=t(z)=:x$ とし、$x$ の同相近傍 $U$ をとる。$N:=s^{-1}(U)\cap t^{-1}(U)$ は $z$ の開近傍で、$z'\in N$ では $s(z'),t(z')\in U$ かつ $p(s(z'))=p(t(z'))$ なので、$p|_U$ の単射性から $s(z')=t(z')$ である。$\square$

1：$p\colon X\to Y$、$q\colon Y\to Z$ を局所同相写像とし、$x\in X$ の同相近傍 $U$ と $p(x)$ の同相近傍 $V$ をとる。$U':=U\cap p^{-1}(V)$ は $x$ の同相近傍（$U$ の開部分集合）で、$p(U')\subset V$ は $V$ の開集合である。よって $q(p(U'))$ は開集合で、$q\circ p|_{U'}$ は同相写像 $p(U')\to q(p(U'))$ と $U'\to p(U')$ の合成なので同相写像である。
2：前半は、$V$ の点の同相近傍を $V$ と交わらせれば $V$ の開集合の同相近傍が得られることによる。後半は、$x\in p^{-1}(W)$ の同相近傍 $U$ を $U\cap p^{-1}(W)$ に取り替えればよい。
3：$x_i$ の同相近傍 $U_i$ の直積 $U_1\times\dots\times U_n$ は、像 $p_1(U_1)\times\dots\times p_n(U_n)$ が開集合で、同相写像の直積は同相写像なので、同相近傍である。
4：$(y',x)\in X'$ とし、$x$ の同相近傍 $U$ をとる。$s\colon p(U)\to U$ を $p|_U$ の逆写像とする。$N:=X'\cap(g^{-1}(p(U))\times U)$ は $(y',x)$ の $X'$ での開近傍であり、$p'(N)=g^{-1}(p(U))$ は $Y'$ の開集合である（$y''\in g^{-1}(p(U))$ なら $(y'',s(g(y'')))\in N$）。$N$ の点 $(y'',x'')$ では $x''\in U$、$p(x'')=g(y'')$ なので $x''=s(g(y''))$ である。よって $p'|_N$ は全単射で、逆写像 $y''\mapsto(y'',s(g(y'')))$ は連続である。$p'|_N$ も連続なので同相写像である。$\square$

各点 $x\in X$ の同相近傍 $U$ は $Y$ の開集合 $p(U)$ と同相であり、$p(U)$ は開部分空間として $\mathsf P$ をもつので、$U$ も $\mathsf P$ をもつ。仮定から $X$ は $\mathsf P$ をもつ。挙げた 4 つの性質がこの 2 条件をみたすことは、どれも点ごとの近傍の条件で定義されていることから直ちにわかる。$\square$

1 ⇒ 3。 $y\in Y$ とし、$p^{-1}(y)=\{x_1,\dots,x_r\}$ とする。$X$ は Hausdorff なので、互いに交わらない開集合 $U_1,\dots,U_r$ で $x_j\in U_j$ となるものがとれ（2 点ずつ分離する開集合の有限個の共通部分をとる）、同相近傍の中に縮めて、各 $U_j$ を同相近傍としてよい。$C:=X\setminus(U_1\cup\dots\cup U_r)$ は閉集合なので $p(C)$ は閉集合で、$y\notin p(C)$ である。
$$ W:=\bigl(Y\setminus p(C)\bigr)\cap p(U_1)\cap\dots\cap p(U_r) $$
（$r=0$ なら $W=Y\setminus p(X)$）は $y$ の開近傍である。$p^{-1}(W)$ は $C$ と交わらないので $U_1\cup\dots\cup U_r$ に含まれ、$V_j:=U_j\cap p^{-1}(W)$ とおけば $p^{-1}(W)=V_1\sqcup\dots\sqcup V_r$ である。$W\subset p(U_j)$ なので、同相写像 $p|_{U_j}\colon U_j\to p(U_j)$ を $W$ の逆像に制限した $p|_{V_j}\colon V_j\to W$ は同相写像である。
3 ⇒ 2。 3 の $W$ の各点のファイバーは、各 $V_j$ からちょうど 1 点ずつとった $r$ 点からなる。
2 ⇒ 3。 $y\in Y$、$p^{-1}(y)=\{x_1,\dots,x_r\}$ とし、1 ⇒ 3 と同じく互いに交わらない同相近傍 $U_j\ni x_j$ をとる。$N$ を、ファイバーの点の個数が $r$ である $y$ の開近傍とし、$W:=N\cap p(U_1)\cap\dots\cap p(U_r)$ とおく。$w\in W$ について、各 $U_j$ は $p^{-1}(w)$ の点をちょうど 1 つ含み（$w\in p(U_j)$ と $p|_{U_j}$ の単射性）、$U_j$ は互いに交わらないので、これで $r$ 個の点が得られる。$\#p^{-1}(w)=r$ なので、$p^{-1}(w)\subset U_1\cup\dots\cup U_r$ である。よって $p^{-1}(W)=\bigsqcup_j(U_j\cap p^{-1}(W))$ であり、1 ⇒ 3 の最後と同じく各成分は $W$ の上へ同相に写る。
3 ⇒ 1。 ファイバーが有限集合であることは 3 ⇒ 2 で見た。$F\subset X$ を閉集合、$y\notin p(F)$ とし、$y$ の開近傍 $W$ と $V_1,\dots,V_r$ を 3 のとおりにとる。$s_j\colon W\to V_j$ を $p|_{V_j}$ の逆写像とすると、$s_j$ は $X$ への連続写像で、$y\notin p(F)$ から $s_j(y)\notin F$ である。
$$ W':=W\cap\bigcap_{j=1}^rs_j^{-1}(X\setminus F) $$
は $y$ の開近傍である（$r=0$ なら $W'=W$）。$w\in W'\cap p(F)$ があったとすると、$w=p(x)$、$x\in F$ と書け、$x\in p^{-1}(W)$ はある $V_j$ に属するので $x=s_j(w)\notin F$ となり、矛盾する。よって $W'$ は $p(F)$ と交わらず、$Y\setminus p(F)$ は開集合である。
1 ⇔ 4（$Y$ が局所コンパクト空間のとき）。 完全写像 の命題「固有写像との関係」により、$p$ が固有であることと、$p$ が閉写像で各ファイバーがコンパクトであることは同値である。1 が成り立てば、有限集合はコンパクトなので $p$ は固有である。逆に $p$ が固有なら、$p$ は閉写像で、各ファイバーはコンパクトかつ離散（prop-lh-basic の 1）なので、一点集合による開被覆の有限部分被覆をとって有限集合である。$\square$

$y\mapsto\#p^{-1}(y)$ は局所的に一定なので、値ごとの逆像は開集合で、$Y$ はそれらの交わらない和である。$Y$ は連結なので値は一定の $n$ であり、$X\ne\emptyset$ から $n\ge1$、したがって $p$ は全射である。条件 3 の $W$ は $n$ 枚のシートをもつ均一被覆近傍である。後半：$X$ がコンパクトで $Y$ が Hausdorff なら、$p$ は閉写像である（閉写像 の定理「コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は閉写像」）。ファイバーは一点集合の逆像としてコンパクト $X$ の閉集合なのでコンパクトであり、離散なので有限集合である。よって条件 1 が成り立つ。$\square$