組合せ的モデル圏
概要
組合せ的モデル圏（combinatorial model category）とは、下の圏が局所表示可能で、コファイブレーションと自明コファイブレーションがそれぞれ射の集合から弱飽和なクラスとして生成されるモデル圏である。単体的集合の Kan–Quillen モデル構造や単体的前層の射影・入射モデル構造が例で、位相空間の圏は局所表示可能でないので、その Quillen モデル構造は例にならない。小さい圏 $\mathcal C$ 上の単体的前層の射影モデル構造 $U\mathcal C$ は普遍モデル圏で、$\mathcal C$ からモデル圏への関手は余単体的分解を選ぶと弱同値を除いて左 Quillen 関手に延びる。Dugger の表示定理により、組合せ的モデル圏はどれも、ある $U\mathcal C$ の射の集合による左 Bousfield 局所化と Quillen 同値である。
前提知識: モデル圏, Quillen随伴, 単体的前層, Kan–Quillenモデル構造, 正則基数
組合せ的モデル圏（combinatorial model category）とは、下にある圏が局所表示可能で、コファイブレーションと自明コファイブレーションがそれぞれ射の 集合 から生成されるモデル圏である。J. Smith が導入した概念で、単体的集合や単体的前層のモデル構造をはじめ、多くのモデル圏がこれに入る。どの対象も「小さい」対象のフィルター的余極限として書け、モデル構造が集合の大きさの生成元で決まるので、左固有性などの仮定を加えると、Bousfield局所化 の存在定理などの一般論がこの枠組みで成り立つ。
この記事の中心は D. Dugger による二つの結果である。小さい圏 $\mathcal C$ の上の単体的前層の圏に射影モデル構造を入れたものを 普遍モデル圏 $U\mathcal C$ と呼ぶ。$\mathcal C$ からモデル圏への関手は、余単体的分解を一つ選ぶと、弱同値を除いて左 Quillen 関手 $U\mathcal C\to\mathcal M$ に延びる（thm-cmc-universal）。そして Dugger の表示定理（thm-cmc-dugger）は、どの組合せ的モデル圏も、ある $U\mathcal C$ を射の集合 $S$ で左 Bousfield 局所化したものと Quillen 同値であることを主張する。アーベル群を生成元と関係式で表示するのと同じく、組合せ的モデル圏は「生成元の圏 $\mathcal C$」と「関係の集合 $S$」で表示できる。
局所表示可能圏
以下、$\lambda$ は正則基数とする。小さい圏 $I$ が $\lambda$ フィルター的 であるとは、射の個数が $\lambda$ 未満の $I$ の部分圏がどれも $I$ の中に余錐をもつことをいう。たとえば、要素の個数が $\lambda$ 未満の部分集合がどれも上界をもつ順序集合は $\lambda$ フィルター的であり、$\lambda$ 自身（$\lambda$ 未満の順序数の全体）はこの条件をみたす。$\lambda$ が正則なので、$\lambda$ 個未満の $\lambda$ 未満の順序数の上限は $\lambda$ 未満だからである。
圏 $\mathcal K$ の対象 $A$ が $\lambda$ 表示可能（$\lambda$-presentable）であるとは、$\lambda$ フィルター的な小さい圏 $I$ の上の図式 $D\colon I\to\mathcal K$ で余極限をもつものすべてについて、自然な写像
$$
\operatorname*{colim}_{i\in I}\operatorname{Hom}_{\mathcal K}(A,D_i)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathcal K}\Bigl(A,\operatorname*{colim}_{i\in I}D_i\Bigr)
$$
が全単射であることをいう。圏 $\mathcal K$ が 局所表示可能（locally presentable）であるとは、小さい余極限をすべてもち、ある正則基数 $\lambda$ と $\lambda$ 表示可能な対象の集合 $\mathcal A$ があって、$\mathcal K$ のどの対象も、$\mathcal A$ の対象を値にとる $\lambda$ フィルター的な図式の余極限になることをいう。
これは Dug00b Definition 2.2（p. 3）の定義で、Dugger は $\lambda$ 表示可能を「$\lambda$ 小さい」と呼んでいる。左辺の元は、ある $i$ と射 $A\to D_i$ の組の類であり、写像はそれを余極限への標準射と合成する。$\lambda=\aleph_0$ の場合を 有限表示可能・局所有限表示可能 という。
集合の圏では有限集合が有限表示可能で、どの集合もその有限部分集合の有向な余極限である。より一般に、小さい圏 $\mathcal A$ について関手圏 $\operatorname{Fun}(\mathcal A,\mathbf{Set})$ は局所有限表示可能である（AR94 Example 1.12、p. 18）。単体的集合の圏 $\mathbf{sSet}$ は $\Delta^{\mathrm{op}}$ 上の、単体的前層 の圏 $\mathrm{sPre}(\mathcal C)$ は $F\mapsto\bigl((a,[n])\mapsto F(a)_n\bigr)$ によって $(\mathcal C\times\Delta)^{\mathrm{op}}$ 上の集合値の関手の圏とみなせるので、どちらも局所表示可能である。これに対して、位相空間の圏はこの性質をもたない。
位相空間と連続写像の圏 $\mathbf{Top}$ で $\lambda$ 表示可能な空間は離散空間に限る。したがって $\mathbf{Top}$ は局所表示可能でない。
要点：離散でない空間 $A$ について、開集合の族が少しずつ減って最後は密着位相になる $\lambda$ 個の位相の列を作ると、包含写像 $A\to T$ は余極限へは連続だが、列のどの段へも連続でない。
詳しい証明を開く
$A$ を離散でない空間とし、開集合でない部分集合 $M\subseteq A$ をとる。$M\neq A$ である。集合 $T:=A\sqcup\lambda$ をとり、$i<\lambda$ について、$V\cap A=M$、$V\cap\lambda\subseteq[i,\lambda)$ をみたし、ある $\beta<\lambda$ で $V\cap\lambda\supseteq[\beta,\lambda)$ となる $V\subseteq T$ の全体を $E_i$ とする。$\tau_i:=\{\emptyset,T\}\cup E_i$ は $T$ の位相である：$E_i$ の元の和集合は $E_i$ に入り（$[\beta,\lambda)$ を含む元が一つあればよい）、二つの元の共通部分も $E_i$ に入る（$\beta$ は大きいほうをとる）。$\emptyset$・$T$ との和・共通部分は明らかである。$i\le j$ なら $E_j\subseteq E_i$、すなわち $\tau_j\subseteq\tau_i$ なので、恒等写像 $(T,\tau_i)\to(T,\tau_j)$ は連続であり、$\lambda$ フィルター的な順序集合 $\lambda$ の上の図式 $D_i:=(T,\tau_i)$ が得られる。
終位相 の定理「位相空間の余極限」により、$\operatorname{colim}D$ は集合 $T$ に、すべての $\tau_i$ で開である集合を開集合とする位相を入れたものである。$V$ がすべての $E_i$ に入るなら $V\cap\lambda\subseteq\bigcap_i[i,\lambda)=\emptyset$ となり、$V\cap\lambda\supseteq[\beta,\lambda)\neq\emptyset$ に反する。よって $\operatorname{colim}D$ は密着位相をもち、包含写像 $\iota\colon A\to\operatorname{colim}D$ は連続である。$\iota$ がある $\operatorname{Hom}(A,D_i)$ の元 $g$ から来るなら、余極限への標準射は集合としては恒等写像なので $g=\iota$ である。ところが $V:=M\cup[i,\lambda)$ は $E_i$ に入り、$\iota^{-1}(V)=M$ は開集合でない。よって定義の写像は全射でなく、$A$ は $\lambda$ 表示可能でない。
$\mathbf{Top}$ が局所表示可能だとすると、定義の $\mathcal A$ の対象はすべて離散空間である。離散空間の族からの写像の族による終位相では、どの部分集合の逆像も開集合なので、離散空間を値にとる図式の余極限は離散空間である。すると、すべての空間が離散になり、二点の Sierpinski空間 が離散でないことに反する。$\square$
定義
弱飽和なクラスは モデル圏 の定義「弱飽和なクラス」の意味とする。押し出し・超限合成・レトラクトで閉じた射のクラスのことである。
モデル圏 $\mathcal M$ が 組合せ的 であるとは、次の 3 条件をみたすことをいう。
- 圏 $\mathcal M$ は局所表示可能である。
- 射の集合 $I$ があって、コファイブレーションの全体は $I$ を含む最小の弱飽和なクラスである。
- 射の集合 $J$ があって、自明コファイブレーションの全体は $J$ を含む最小の弱飽和なクラスである。
これは HTT09 Definition A.2.6.1（p. 818）の形である。$I$・$J$ を 生成コファイブレーション・生成自明コファイブレーション の集合という。モデル圏 の命題「二つのクラスが決めるモデル構造」により、モデル構造は $I$ と $J$ で決まる。Dug00b Definition 2.1（p. 3）は、条件 2・3 を Hov99 Definition 2.1.17 の「コファイブラント生成」の言葉で述べている。
例
- 単体的集合の Kan–Quillenモデル構造 は、$I=\{\partial\Delta^n\subset\Delta^n\}_{n\ge0}$、$J=\{\Lambda^n_k\subset\Delta^n\}_{n\ge1,\,0\le k\le n}$ を生成集合とする組合せ的モデル圏で（Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」と系「単射とアノダイン拡大の特徴づけ」）、左固有かつ右固有である（HTT09 §A.2.7、pp. 828–829）。
- $\mathcal M$ が組合せ的で $\mathcal C$ が小さい圏なら、関手圏 $\operatorname{Fun}(\mathcal C,\mathcal M)$ に、弱同値とファイブレーションを対象ごとに定める 射影モデル構造 と、弱同値とコファイブレーションを対象ごとに定める 入射モデル構造 があり、どちらも組合せ的である（HTT09 Proposition A.2.8.2、p. 830）。$\mathcal M$ が左固有なら、どちらも左固有である（同 Remark A.2.8.4、p. 832）。
- 2 を $\mathbf{sSet}$ と $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ に当てると、$\mathrm{sPre}(\mathcal C)$ の射影・入射モデル構造が得られる。射影モデル構造の生成集合として
$$ I_{\mathcal C}=\{h_a\times\partial\Delta^n\to h_a\times\Delta^n\},\qquad J_{\mathcal C}=\{h_a\times\Lambda^n_k\to h_a\times\Delta^n\} $$
（$a\in\mathcal C$。$h_a$ は表現可能前層）がとれる（同 Proposition A.2.8.2 の証明、p. 830）。米田の補題により、射 $h_a\times K\to F$ は単体的写像 $K\to F(a)$ と自然に一対一に対応するので、$J_{\mathcal C}$ に対して右持ち上げ性質をもつ射は、対象ごとに Kan ファイブレーションである射にほかならない。
$\mathbf{Top}$ に、弱ホモトピー同値を弱同値、Serre ファイブレーションをファイブレーションとするモデル構造がある。これは $\{S^{n-1}\to D^n\}$ と $\{D^n\to D^n\times[0,1]\}$ を生成集合とするコファイブラント生成なモデル圏である（Hov99 Definition 2.4.3・Theorem 2.4.19）。しかし prop-cmc-top により $\mathbf{Top}$ は局所表示可能でないので、def-cmc-main の条件 1 をみたさず、組合せ的でない。
普遍モデル圏
小さい圏 $\mathcal C$ について、$\mathrm{sPre}(\mathcal C)$ に射影モデル構造を入れたモデル圏を $U\mathcal C$ と書き、$\mathcal C$ 上の普遍モデル圏 と呼ぶ（Dug00a §2、p. 6）。表現可能前層 $h_a$ を離散な単体的前層とみなす米田埋め込みを $r\colon\mathcal C\to U\mathcal C$、$r(a)=h_a$ と書く。ex-cmc-examples により $U\mathcal C$ は組合せ的で左固有であり、単体的モデル圏でもある（Dug00a p. 6）。$h_a\times\partial\Delta^0=\emptyset$ なので $\emptyset\to h_a$ は $I_{\mathcal C}$ の射であり、$h_a$ はコファイブラントである。
余単体的対象の圏を $c\mathcal M:=\operatorname{Fun}(\Delta,\mathcal M)$ とし、$A\in c\mathcal M$ の $[n]$ での値を $A^n$、対象 $X$ を値とする定数余単体的対象を $\underline X$ と書く。$A\in c\mathcal M$ と $X\in\mathcal M$ について、$n$ 単体の集合が $\operatorname{Hom}_{\mathcal M}(A^n,X)$ で、面・退化写像が $A$ の余面・余退化写像から決まる単体的集合を $\operatorname{map}(A,X)$ と書く（Hir03 Notation 16.4.1）。
$\mathcal M$ をモデル圏、$\gamma\colon\mathcal C\to\mathcal M$ を関手とする。$\gamma$ の 余単体的分解 とは、関手 $\Gamma\colon\mathcal C\to c\mathcal M$ と自然変換 $\epsilon\colon\Gamma(-)\to\underline{\gamma(-)}$ の組で、各 $\Gamma(a)$ が $c\mathcal M$ の Reedy モデル構造でコファイブラントであり、各 $\epsilon^n_a\colon\Gamma(a)^n\to\gamma(a)$ が弱同値であるものをいう。
これは Dug00a Definition 3.2（p. 9）の定義で、一つの対象については Hir03 Definition 16.1.2 の余単体的分解にあたる。$\Gamma(a)^1$ は $\Gamma(a)^0$ のシリンダー対象になり（Hir03 Proposition 16.1.6）、$\Gamma(a)^n$ は「$\gamma(a)$ と $n$ 単体の積」の役をする。$\mathcal M$ が単体的モデル圏で $\gamma$ の値がコファイブラントなら、$\Gamma(a)^n:=\gamma(a)\otimes\Delta^n$ が余単体的分解を与える（Hir03 Proposition 16.1.3）。
$\mathcal M$ をモデル圏、$\mathcal C$ を小さい圏、$(\Gamma,\epsilon)$ を関手 $\gamma\colon\mathcal C\to\mathcal M$ の余単体的分解とし、$\operatorname{Sing}_\Gamma\colon\mathcal M\to U\mathcal C$ を $\operatorname{Sing}_\Gamma(X)(a):=\operatorname{map}(\Gamma(a),X)$ で定める。
- $\operatorname{Sing}_\Gamma$ は左随伴 $\operatorname{Re}_\Gamma$ をもち、$\operatorname{Re}_\Gamma\dashv\operatorname{Sing}_\Gamma$ は Quillen 随伴である。
- $a\in\mathcal C$、$n\ge0$ について、$(a,[n])$ について自然な同型 $\operatorname{Re}_\Gamma(h_a\times\Delta^n)\cong\Gamma(a)^n$ がある。とくに、合成 $\operatorname{Re}_\Gamma(r(a))\cong\Gamma(a)^0\xrightarrow{\epsilon^0_a}\gamma(a)$ は $a$ について自然な弱同値である。
$\Phi\colon\mathcal C\times\Delta\to\mathcal M$ を $\Phi(a,[n]):=\Gamma(a)^n$ で定め、射 $(u,\theta)\colon(a,[m])\to(b,[n])$ を $\Gamma(b)(\theta)\circ\Gamma(u)^m=\Gamma(u)^n\circ\Gamma(a)(\theta)$ に写す。$\Gamma(u)$ は余単体的対象の射なので両辺は等しく、$\Phi$ は関手である。$U\mathcal C$ を $(\mathcal C\times\Delta)^{\mathrm{op}}$ 上の前層の圏とみると、$(a,[n])$ の表現可能前層は
$$
(b,[m])\longmapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(b,a)\times\operatorname{Hom}_\Delta([m],[n])=(h_a\times\Delta^n)(b)_m
$$
だから $h_a\times\Delta^n$ である。また $\operatorname{Hom}_{\mathcal M}(\Phi(a,[n]),X)=\operatorname{map}(\Gamma(a),X)_n$ なので、$\operatorname{Sing}_\Gamma(X)$ は 米田埋め込み の定理「自由余完備化」の $N_\Phi(X)$ にほかならない。$\mathcal M$ は小さい余極限をもつので、同定理の (R1) により左随伴 $\operatorname{Re}_\Gamma:=L_\Phi$ があり、(R2) により $\operatorname{Re}_\Gamma(h_a\times\Delta^n)\cong\Phi(a,[n])=\Gamma(a)^n$ が $(a,[n])$ について自然に成り立つ。これが 2 の前半である。
射影モデル構造のファイブレーション・自明ファイブレーションは、対象ごとに Kan ファイブレーション・自明 Kan ファイブレーションである射である。$p\colon X\to Y$ を $\mathcal M$ のファイブレーションとすると、$\Gamma(a)$ は余単体的分解なので、$\operatorname{map}(\Gamma(a),X)\to\operatorname{map}(\Gamma(a),Y)$ は Kan ファイブレーションであり、$p$ が自明ファイブレーションなら自明 Kan ファイブレーションである（Hir03 Corollary 16.5.4 の (2)）。よって $\operatorname{Sing}_\Gamma$ はファイブレーションと自明ファイブレーションを保ち、Quillen随伴 の定理「Quillen 随伴の判定」により $\operatorname{Re}_\Gamma\dashv\operatorname{Sing}_\Gamma$ は Quillen 随伴である。これが 1 である。
最後に、$\epsilon^0_a$ は分解の定義により弱同値で、$a$ について自然である。2 の前半の同型と合成すれば 2 の後半を得る。$\square$
$h_a$ はコファイブラントで、左 Quillen 関手はコファイブレーションと始対象を保つので、$\operatorname{Re}_\Gamma(h_a)$ はつねにコファイブラントである。したがって $\gamma(a)$ がコファイブラントでないとき、$\operatorname{Re}_\Gamma\circ r$ と $\gamma$ は同型になりえず、弱同値 $\epsilon^0$ で結ぶほかない。
逆に、左 Quillen 関手 $L\colon U\mathcal C\to\mathcal M$ と自然な弱同値 $L(h_a)\to\gamma(a)$ が与えられると、$a\mapsto L(h_a\times\Delta^\bullet)$ は $\gamma$ の余単体的分解になる。この二つの対応は、$\gamma$ の $U\mathcal C$ を通る分解（左 Quillen 関手と自然な弱同値の組）の圏と、余単体的分解の圏の間の圏同値を与える（Dug00a Proposition 3.4、p. 10）。さらに、余単体的分解はつねに存在し、分解の圏は可縮である（Dug00a Proposition 2.3、p. 6 と、その p. 10 の証明）。この記事では証明しない。この意味で $U\mathcal C$ は、$\mathcal C$ に「ホモトピー余極限を自由に付け加えた」モデル圏であり、米田埋め込み の定理「自由余完備化」のホモトピー論版である。
- 一点の圏 $\mathrm{pt}$ では $U(\mathrm{pt})=\mathbf{sSet}$ で、射影モデル構造は Kan–Quillen モデル構造そのものである（Dug00a Example 2.4、p. 7）。$\gamma(\mathrm{pt})$ の余単体的分解 $A$ について $\operatorname{Re}(\Delta^n)\cong A^n$ である。
- $\mathcal C=\Delta$、$\mathcal M=\mathbf{sSet}$、$\gamma([n])=\Delta^n$ とし、$\Gamma([n])^k:=\Delta^n\times\Delta^k$、$\epsilon$ を第 1 成分への射影とする（Hir03 Proposition 16.1.3）。$\operatorname{Re}_\Gamma(h_{[n]})\cong\Delta^n$ であるが、$\operatorname{Re}_\Gamma\dashv\operatorname{Sing}_\Gamma$ は Quillen 同値 でない。
要点：$h_{[1]}\to h_{[0]}$ は弱同値でないが、$\Delta^1\to\Delta^0$ に写る。
詳しい証明を開く
$h_{[1]}$ と $h_{[0]}$ の $[0]$ での値は 2 点と 1 点の離散な単体的集合なので、唯一の射 $f\colon h_{[1]}\to h_{[0]}$ は対象ごとの弱同値でない。$f$ の両端はコファイブラントで、左 Quillen 関手はコファイブラント対象の間の弱同値を保つ（Quillen随伴 の命題「左 Quillen 関手が保つもの」）ので、左導来関手 $\mathbf L\operatorname{Re}_\Gamma$ は $f$ を $\operatorname{Re}_\Gamma(f)$ の類、すなわち thm-cmc-universal の 2 の同型の自然性により $\Delta^1\to\Delta^0$ の類に写す。これは弱同値である。Quillen 同値なら $\mathbf L\operatorname{Re}_\Gamma$ は圏同値（Quillen随伴 の定理「Quillen 同値の判定」）で同型射を反映するので、$f$ の類は $\operatorname{Ho}(U\Delta)$ の同型射となり、モデル圏のホモトピー圏 の系「弱同値の飽和」により $f$ は弱同値となって矛盾する。$\square$
この例は、生成元の圏 $\mathcal C$ だけでは足りず、$h_{[1]}\to h_{[0]}$ のような射を弱同値に加える「関係」が要ることを示している。
Dugger の表示定理
モデル圏 $\mathcal M$ の 小さい表示 とは、小さい圏 $\mathcal C$、Quillen 随伴 $\operatorname{Re}\colon U\mathcal C\rightleftarrows\mathcal M\colon\operatorname{Sing}$、$U\mathcal C$ の射の集合 $S$ の組で、次をみたすものをいう。
- $\operatorname{Re}$ の左導来関手は $S$ の射を同型射に写す。
- $\operatorname{Re}\colon L_SU\mathcal C\rightleftarrows\mathcal M\colon\operatorname{Sing}$ は Quillen 同値である。
これは Dug00a Definition 6.1（p. 15）の定義である。$L_SU\mathcal C$ は $U\mathcal C$ の $S$ による左 Bousfield 局所化で、Dugger は $U\mathcal C/S$ と書く。$S$ の射はコファイブラント置換をとってコファイブラント対象の間の射に取り替えておく。$U\mathcal C$ は左固有で組合せ的な単体的モデル圏なので、$L_SU\mathcal C$ は Bousfield局所化 の定理「左 Bousfield 局所化の存在」と注意「存在定理の所在と仮定」により存在する。1 のもとで $\operatorname{Re}$ は $L_SU\mathcal C$ からの左 Quillen 関手でもある（Hir03 Proposition 3.3.18 の (1)）ので、2 は意味をもつ。
組合せ的モデル圏はどれも小さい表示をもつ。
組合せ的モデル圏は、左固有で組合せ的な単体的モデル圏と Quillen 同値である。
thm-cmc-dugger の小さい表示をとると、$\mathcal M$ は $L_SU\mathcal C$ と Quillen 同値である。$U\mathcal C$ は左固有で組合せ的な単体的モデル圏なので、Bousfield局所化 の定理「左 Bousfield 局所化の存在」の 1・2 により、$L_SU\mathcal C$ も左固有で組合せ的な単体的モデル圏である。$\square$
さらに、単体的で左固有、すべての対象がコファイブラントなモデル圏とも、二つの Quillen 同値のジグザグで結べる（Dug00b Corollary 1.2、p. 1 と、その p. 6 の証明）。
証明の筋
Quillen 随伴 $L\colon\mathcal M\rightleftarrows\mathcal N\colon R$ が 全射 であるとは、$\mathcal N$ のファイブラントな対象 $X$ と、$RX$ のどのコファイブラント置換 $Q(RX)\to RX$ についても、随伴で対応する $L(Q(RX))\to X$ が弱同値であることをいう。これは導来随伴の余単位が同型であることと同値である（Dug00b Definition 3.1、p. 5）。証明は次の二段からなる。
- 全射から表示へ（Dug00b Proposition 3.2、p. 5）：$\mathcal M$・$\mathcal N$ が組合せ的で $\mathcal M$ が左固有、$L$ が全射なら、$\mathcal M$ の射の集合 $S$ があって $L\colon L_S\mathcal M\rightleftarrows\mathcal N\colon R$ は Quillen 同値になる。まず、一つの正則基数 $\lambda$ で次が同時に成り立つものをとる：(i) $\mathcal M$ のどの対象も $\lambda$ 表示可能な対象の $\lambda$ フィルター的余極限である、(ii) $\mathcal M$ の弱同値は $\lambda$ フィルター的余極限で閉じる、(iii) $\mathcal M$ のコファイブラント置換関手 $Q$、$\mathcal N$ のファイブラント置換関手 $F$、右随伴 $R$ が $\lambda$ フィルター的余極限と交換する。このような $\lambda$ がとれることは同 Proposition 2.3（p. 3）と p. 5 の議論による。$\lambda$ 表示可能な対象の同型類の代表の集合 $\mathcal M_\lambda$ について、$S$ を $A\in\mathcal M_\lambda$ ごとの自然な射 $s_A\colon QA\to R(F(LQA))$ の集合とする。導来余単位が同型なので、三角等式により導来単位の左導来関手による像は同型であり、$s_A$ は左導来関手で同型射に写る。任意の対象 $X$ は $\mathcal M_\lambda$ の対象の $\lambda$ フィルター的余極限で、(iii) により $s_X$ は $s_{A_i}$ の余極限になる。(ii) から $L_S\mathcal M$ の弱同値も $\lambda$ フィルター的余極限で閉じることが導かれ、$s_X$ は $L_S\mathcal M$ の弱同値となる。導来単位と導来余単位がともに同型なので、Quillen随伴 の定理「Quillen 同値の判定」により Quillen 同値である。
- 全射の構成（Dug00b Proposition 3.3、p. 5）：組合せ的な $\mathcal M$ には、小さい圏 $\mathcal C$ と全射な左 Quillen 関手 $U\mathcal C\to\mathcal M$ がある。$\mathcal M$ が単体的なら、適当な正則基数 $\lambda$ をとり、コファイブラントな $\lambda$ 表示可能対象の代表のなす充満部分圏を $\mathcal C$、$\Gamma(A):=A\otimes\Delta^\bullet$ とする。全射であることは、ファイブラントな $X$ と、$X$ への $\mathcal C$ の対象の高次のホモトピーをすべて集めて作る「標準的なホモトピー余極限」との比較が弱同値であることに言い換えられ（同 Corollary 4.4、p. 8）、これは局所表示可能圏の対象が $\lambda$ 表示可能な対象の標準的な余極限になること（稠密性）のホモトピー版として示される（同 Proposition 4.7、p. 9 と §5、pp. 9–10）。単体的でない場合は $\mathcal C$ を $c\mathcal M$ の中にとる（同 §6）。
$U\mathcal C$ は左固有で組合せ的なので、2 の全射に 1 を当てると thm-cmc-dugger を得る。Dugger はこの定理を、局所表示可能圏が前層の圏の反射的な充満部分圏と同値であるという圏論の結果のホモトピー論版と位置づけている（Dug00b §2.4、p. 4）。$L_SU\mathcal C$ のファイブラント置換が、その反射の役をする。
∞圏との関係
∞圏 $\mathcal C$ について、次の二条件は同値である（HTT09 Proposition A.3.7.6、p. 911。この記事では証明しない）。
- $\mathcal C$ は表示可能 ∞圏である。
- 組合せ的な単体的モデル圏 $\mathcal A$ があって、$\mathcal C$ は $\mathcal A$ のコファイブラントかつファイブラントな対象のなす単体的圏の（ホモトピー整合的）脈体 $N(\mathcal A^\circ)$ と同値である。
2 から 1 を導く部分には、Dugger の表示定理とその証明の単体的な版が使われる（同 p. 912）。組合せ的モデル圏は、表示可能 ∞圏をモデル圏で表すための標準的な枠組みである。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 下の圏が局所表示可能（def-cmc-main の 1） | $\mathbf{Top}$ の Quillen モデル構造 | 組合せ的であること（生成集合 $I,J$ はある） |
| $\Gamma(a)$ が Reedy コファイブラント（def-cmc-resolution） | $\mathcal C=\mathrm{pt}$、$\mathcal M=\mathbf{sSet}$、$\Gamma=\underline{\Delta^0}$、$\epsilon=\mathrm{id}$ | $\operatorname{Re}_\Gamma\dashv\operatorname{Sing}_\Gamma$ が Quillen 随伴であること |
| 関係の集合 $S$ による局所化 | ex-cmc-point-delta の 2 | $\operatorname{Re}_\Gamma$ が Quillen 同値であること |
各行の確かめを開く
- ex-cmc-top による。
- $\epsilon=\mathrm{id}$ は各次数で弱同値である。$\underline{\Delta^0}$ の次数 1 の latching 写像は二つの余面写像が与える $\Delta^0\sqcup\Delta^0\to\Delta^0$ で、単射でないので Reedy コファイブラントでない。$\operatorname{Re}_\Gamma$ は thm-cmc-universal の証明の前半と同じく存在する。$\operatorname{Sing}_\Gamma(X)=\operatorname{map}(\underline{\Delta^0},X)$ は $X_0$ を各次数に置き、面・退化写像が恒等写像である離散な単体的集合である。$E_n:=\{0,1\}^{n+1}$ とし、面・退化写像を成分の削除・重複で定める単体的集合 $E$ をとる。単体的写像 $K\to E$ は写像 $K_0\to\{0,1\}$ と一対一に対応し、$n\ge1$ なら $\partial\Delta^n$ は $\Delta^n$ の頂点をすべて含み、$E$ は空でないので、$E\to\Delta^0$ はすべての $\partial\Delta^n\subset\Delta^n$ に対して右持ち上げ性質をもつ自明 Kan ファイブレーションである。これは 2 点から 1 点への離散な単体的集合の写像に写り、弱同値でない。よって $\operatorname{Sing}_\Gamma$ は自明ファイブレーションを保たず、Quillen随伴 の定理「Quillen 随伴の判定」により Quillen 随伴でない。
- prf-cmc-point-delta による。
関連項目
- 前提: モデル圏, モデル圏のホモトピー圏, Quillen随伴, 単体的前層, Kan–Quillenモデル構造, 正則基数, 米田埋め込み, 終位相
- 比較: 単体的モデル圏
- 例: Sierpinski空間
- 発展: Bousfield局所化, ∞圏
参考文献
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