表現可能関手(∞圏)
概要
表現可能関手(∞圏)（representable functor of infinity-categories）とは、空間値前層 $P$ であって、ある対象 $a$ の写像空間関手 $\operatorname{Map}_{\mathcal{C}}(-,a)$ と関手∞圏の中で自然に同値になるものであり、値ごとに同値を選ぶだけでは足りない。米田の補題により表現は $P(a)$ の点である普遍元で与えられ、表現対象は同値を除いて一意で、表現可能性は自然同値で保たれる。表現可能な前層の始対象での値は可縮で、一点∞圏の上ではちょうど可縮空間が表現可能になる。$\Delta^0$ 上の $BG$ のように連結成分だけが表現可能な前層や、値がすべて可縮でも表現対象をもたない前層があるので、$\pi_0$ や値ごとの比較では判定できない。
定義
$\mathcal C$ を準圏で表示した小さい $(\infty,1)$-圏、$\mathcal S$ を空間の∞圏とする。空間はKan複体で表示できる。$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ は、射とその高次ホモトピーを保持する写像空間（写像空間(∞圏)）である。
前層（前層(∞圏)）は関手(∞圏) $P:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal S$ である。射 $x\to y$ に沿う輸送は $P(y)\to P(x)$ となり、合成に関するすべての高次整合性を含む。前層全体は関手∞圏 $\mathcal P(\mathcal C)=\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal S)$ をなす。
前層 $P$ が表現可能であるとは、対象 $a\in\mathcal C$ と自然な同値
$$\phi:\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,a)\simeq P$$
が存在することをいう。自然な同値は、関手∞圏（関手圏(∞圏)）$\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal S)$ の同値射であり、単に各対象で同値を別々に選ぶことではない。$a$ を表現対象という。
共変関手 $Q:\mathcal C\to\mathcal S$ の場合は、$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(a,-)\simeq Q$ で表現可能性を定義する。
$y(a)=\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,a)$ が $\mathcal P(\mathcal C)$ の対象として定まることは米田の補題(∞圏)の定義「米田前層と米田埋め込み」による。米田埋め込みは HTT09 §5.1.3 に従い、その像の前層を表現可能と定義する。$\pi_0P(x)$ だけをHom集合で表せることは、空間値関手全体の表現可能性より弱い。
直感
表現可能性は、ある対象 $a$ の「他の対象からの観測」が前層 $P$ と一致することである。∞圏では、観測結果には射の集合だけでなく、射の変形や高次の自己対称性も含まれる。
従って、普通の表現可能関手の式でHomを写像空間に替える際は、自然な全単射を自然な同値へ替えるだけでなく、その高次の整合性を定義に含める必要がある。表現可能な前層は、∞圏の外から見た「一般化された対象」のうち、実際に $\mathcal C$ の対象として実現されるものである。
例
空間 $A$ に対する $X\mapsto\operatorname{Map}_{\mathcal S}(X,A)$ は、宇宙を適切に選んだ空間の∞圏上で $A$ により表現される。連結成分を取るとホモトピー類 $[X,A]$ を得るが、元の前層はその集合以上の情報を持つ。位相的な分類問題を空間値へ高める際の基本形である。
$\mathcal C=\Delta^1$ では前層は空間の写像 $P(1)\to P(0)$ であり、表現可能前層は $y(0)=(\emptyset\to*)$ と $y(1)=(*\to*)$ だけである（前層(∞圏)の例「矢印の上の前層」）。例えば $(S^0\to S^0)$ は、$0$ での値 $S^0$（二点）が可縮でないので表現可能でない。この判定は下の命題「始対象での値は可縮である」の特別な場合である。
性質
自然な同値
$$
\operatorname{Map}_{\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal S)}
(\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,a),P)\simeq P(a)
$$
がある。従って $u\in P(a)$ は自然変換(∞圏) $\theta:y(a)\to P$ を、整合的な選択の可縮な曖昧さを除いて指定する。$\theta$ が自然同値となることが、この $u$ が表現を与える条件である。
普遍元 $u\in P(a)$ から作る自然変換 $\theta$ の成分は $\theta_x:\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,a)\to P(x)$ であり、$x\to a$ に沿って $u$ を輸送することに対応する。点集合の全単射ではなく空間の同値を確認する。自然変換が自然同値であるかは成分ごとに判定できる（自然変換(∞圏)の節「自然同値の判定」、HTT09 Proposition 3.1.2.1）ので、$u$ が表現を与える条件は「すべての $x$ で $\theta_x$ が空間の同値」と書ける。
前層 $P$ が $a$ でも $b$ でも表現されるなら、$a$ と $b$ は $\mathcal C$ で同値である。
自然同値 $y(a)\simeq P$ と $y(b)\simeq P$ があるとする。関手∞圏 $\mathcal P(\mathcal C)$ のホモトピー圏で、前者と後者の逆の類を合成すると $y(a)$ から $y(b)$ への同型の類が得られるので、$y(a)\simeq y(b)$ である。米田の補題(∞圏)の系「対象の同値の検出」により $a\simeq b$ である。$\square$
より強く、表現対象と同値 $y(a)\simeq P$ を組にした表現全体の空間は、空でなければ可縮である。これは米田埋め込みの充満忠実性（米田の補題(∞圏)の系「米田埋め込みの充満忠実性」）から従う。具体的には、対象とその間の同値だけを残したKan複体上で米田埋め込みは充満忠実であり、$P$ の上のホモトピーファイバーは、$P$ がその像にあるとき一点のホモトピー型を持つ。このファイバーの点が組 $(a,\phi:y(a)\simeq P)$ である。充満忠実性の外部根拠は HTT09 Proposition 5.1.3.1 であり、表現対象だけでなく表現の同値も固定して比較することが可縮性に必要である。同値 $\phi$ を忘れて「表現対象の自己同値はただ一つ」と述べるのは誤りである。
表現可能性は、前層を同値なものに取り替えても変わらない。
前層 $P,P'$ の間に自然同値 $\psi:P\simeq P'$ があり、$P$ が $a$ で表現されるなら、$P'$ も $a$ で表現される。
$\phi:y(a)\simeq P$ とする。関手∞圏 $\mathcal P(\mathcal C)$ は準圏なので、辺 $\phi,\psi$ が作る内部ホーン $\Lambda^2_1$ を2単体に延長でき、その長辺 $\chi:y(a)\to P'$ のホモトピー類は $[\psi]\circ[\phi]$ である（∞圏のホモトピー圏の命題「合成は代表と2単体の選び方によらない」）。同型の合成は同型なので、$\chi$ は $\mathcal P(\mathcal C)$ の同値射であり、$P'$ は $a$ で表現される。$\square$
表現可能前層の値は、∞圏の普遍的な対象の上で強く制限される。
$\mathcal C$ が始対象 $s$ を持つとする。表現可能な前層 $P$ について、$P(s)$ は可縮である。
自然同値 $\phi:y(a)\simeq P$ を取る。$s$ での評価 $\operatorname{ev}_s:\mathcal P(\mathcal C)\to\mathcal S$ は関手なので同値射を同値射へ送り（自然変換(∞圏)の命題「自然同値の成分は同値射」）、$\phi_s:\operatorname{Map}_{\mathcal C}(s,a)\to P(s)$ は $\mathcal S$ の同値である。$s$ は始対象なので $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(s,a)$ は可縮である（始対象(∞圏)の定義「始対象の定義」）。$\mathcal S$ の同値はKan複体のホモトピー同値であり（空間の∞圏の命題「一点からの写像空間とホモトピー圏」）、可縮なKan複体とホモトピー同値なKan複体は可縮である。よって $P(s)$ は可縮である。$\square$
これは「表現可能前層は余極限を極限へ送る」という一般的な性質の、空図式の場合である。実際、余極限の頂点 $Q$ について $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(Q,a)\simeq\lim_k\operatorname{Map}_{\mathcal C}(p(k),a)$ となることが余極限の判定そのものであり（余極限(∞圏)の命題「写像空間による判定」）、空図式の余極限は始対象、空図式の極限は一点である。
最も小さい∞圏の上では、表現可能性は空間の可縮性そのものになる。
$\mathcal C=\Delta^0$ とする。前層 $P:\Delta^0\to\mathcal S$、すなわち空間 $X=P(*)$ が表現可能であることと、$X$ が可縮であることは同値である。
$(\Delta^0)^{\mathrm{op}}=\Delta^0$ であり、$\Delta^0\times\Delta^n=\Delta^n$ なので $\operatorname{Fun}(\Delta^0,\mathcal S)_n=\operatorname{Hom}(\Delta^n,\mathcal S)=\mathcal S_n$、すなわち $\mathcal P(\Delta^0)\cong\mathcal S$ であり、この同型のもとで前層は値 $X$ に対応する。$\Delta^0$ の対象は $*$ だけで、写像空間 $\operatorname{Map}_{\Delta^0}(*,*)$ の $n$-単体は写像 $\Delta^n\times\Delta^1\to\Delta^0$ でただ一つだから、$\operatorname{Map}_{\Delta^0}(*,*)=\Delta^0$ である。よって唯一の表現可能前層 $y(*)$ は一点空間に対応する。
従って $P$ が表現可能であることは、$\mathcal S$ で $X\simeq\Delta^0$ となることと同値である。$\mathcal S$ の同値はKan複体のホモトピー同値であり（空間の∞圏の命題「一点からの写像空間とホモトピー圏」）、一点とホモトピー同値なことが可縮の意味である。$\square$
反例
$\mathcal C$ を二点 $a,b$ の離散∞圏とし、定値前層 $*$（両方の値が一点）を考える。値はどの点でも可縮である。しかし $y(a)=(*,\emptyset)$、$y(b)=(\emptyset,*)$ であり（$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(b,a)$ は空）、どちらとも同値でないので、$*$ は表現可能でない（前層(∞圏)の注意「反例：終対象がなければ終前層は表現可能とは限らない」）。これは、各対象での値が可縮であるという条件だけでは表現可能性を導けないことを示す。この離散二点の圏には始対象がないので、始対象を仮定した命題「始対象での値は可縮である」の逆への反例とは呼ばない。
$G=\mathbb Z/2$ とし、$\mathcal C=N(BG)$（一対象の群の脈体）を考える。唯一の表現可能前層 $y(*)$ は、二点集合 $G$ に右からの積で $G$ が作用するもの（離散空間値）である（前層(∞圏)の例「群の上の前層」）。一方、二点集合 $G$ に自明に作用させた前層 $P$ も離散空間値で、唯一の対象での値は $y(*)$ の値と同じ二点である。
離散空間値の前層のなす充満部分∞圏は通常の前層圏の脈体、すなわち $G$ 集合の圏の脈体と同値である（前層(∞圏)の命題「通常の前層との一致」）。従って $P\simeq y(*)$ なら $G$ 集合として同型でなければならない。しかし $y(*)$ では非単位元が二点を入れ替え、$P$ では固定するので、同型でない。よって $P$ は表現可能でない。値を点ごとに比べるだけでは、射に沿った輸送（ここでは群作用）の違いが見えない。
条件を外したときに崩れることを表にまとめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 値の空間構造（$\pi_0$ で判定する） | $\Delta^0$ 上の $BG$ | $\pi_0P$ が表現可能なら $P$ も表現可能 |
| 表現対象の存在（値の可縮性だけにする） | 離散二点上の定値前層 $*$ | 値がすべて可縮なら表現可能 |
| 自然性（値ごとの同値だけにする） | $B(\mathbb Z/2)$ 上の、自明作用の二点集合 | 各対象での値が表現前層の値と同値なら表現可能 |
逆向きの判定として、命題「始対象での値は可縮である」は表現可能性の必要条件に使える。例えば $\Delta^1$ 上の $(S^0\to S^0)$ は、始対象 $0$ での値が可縮でないので表現可能でない。
豊穣表示と通常版への帰着
通常の圏の脈体と離散空間値の前層に特殊化すると、定義は通常の自然な全単射による表現可能性に一致する。実際、$\mathcal C=N(A)$ なら $y(a)$ の値は離散空間 $\operatorname{Hom}_A(-,a)$ であり、離散空間値の前層のなす充満部分∞圏は通常の前層圏の脈体と同値である（前層(∞圏)の命題「通常の前層との一致」）。その脈体の同値射は通常の前層の同型なので、離散空間値の前層 $P$ が∞圏の意味で表現可能であることは、対応する集合値の前層が通常の意味で表現可能であることと同値になる。単に∞圏のホモトピー圏を取った前層が表現可能であることから、元の前層の表現可能性が従うとは限らない。上の $BG$ の反例がその典型である。
単体的豊穣圏では、Hom前層と厳密に同型な前層を扱う豊穣表現可能性と、適切な局所化の後で同値になる導来表現可能性を区別する。局所Kanな表示、モデル圏のバイファイブラント表示、単体的局所化表示を通して正しい写像空間を使う（HTT09 §§2.2, 5.1）。
安定∞圏では、写像空間の背後に写像スペクトルが現れる。古典的なコホモロジーの表現可能性やBrown表現可能性への接続では、ホモトピー類の集合、写像空間、写像スペクトルを区別し、存在定理の仮定を別途確認する。
関連項目
- 前提: ∞圏, 関手(∞圏), 自然変換(∞圏), 写像空間(∞圏)
- 発展: 米田の補題(∞圏), 重み付き極限(∞圏), 随伴関手(∞圏), Brown表現可能性
- 比較: 表現可能関手, 表現可能関手(豊穣圏), 普遍要素
参考文献
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