相対ホモトピー群

1：$A=\{x_0\}$ なら写像の条件はどちらも $f(\partial I^n)=\{x_0\}$ であり、ホモトピーの条件も各時刻で境界を $x_0$ に写すことになる。これはホモトピー群の記事の定義「ホモトピー群の演算（$n\geq1$）」で述べた立方体による $\pi_n(X,x_0)$ の表示そのものである。2：この形の写像やホモトピーに $\varphi$ を合成すると、$(Y,B,y_0)$ についての同じ形の写像やホモトピーになる。関手性は写像の合成の結合律による。$\square$

要点：絶対ホモトピー群の群の公理を確かめるホモトピーは、第 1 座標だけを動かし、$0,1$ を $0,1$ に写すので、底面と $J^{n-1}$ の条件をそのまま保つ。可換性は第 1・第 2 座標の二つの貼り合わせによる Eckmann–Hilton の議論で、これには底面の座標と異なる座標が二つ要る。

$m:=(\tfrac12,\dots,\tfrac12)\in I^n$、$\rho(s):=\max_i\lvert 2s_i-1\rvert$ とおく。$\rho$ は連続で値は $[0,1]$ にあり、$\rho(s)=1$ と $s\in\partial I^n$ は同値である。$\lambda(s):=1/\max(\rho(s),\tfrac12)$ は連続で $1\le\lambda\le2$ を満たす。
$$ R(s):=\bigl(m+\lambda(s)(s-m),\ \lambda(s)-1\bigr) $$
とおくと、$R(s)$ は $T:=\partial I^n\times I\cup I^n\times\{1\}$ に属する。実際、$\rho(m+\lambda(s-m))=\lambda(s)\rho(s)$ であり、$\rho(s)\ge\tfrac12$ なら $\lambda\rho=1$ なので第 1 成分は $\partial I^n$ にあって第 2 成分は $[0,1]$ にあり、$\rho(s)\le\tfrac12$ なら $\lambda=2$ なので第 2 成分は $1$ で第 1 成分は $I^n$ にある。$s\in\partial I^n$ なら $\lambda(s)=1$ で $R(s)=(s,0)$ である。
$E(s,u):=(1-u)(s,0)+uR(s)$ とおくと、$I^n\times I$ は凸なので $E\colon I^n\times I\to I^n\times I$ は連続で、$E(s,0)=(s,0)$、$E(s,1)=R(s)$、$s\in\partial I^n$ なら全時刻で $E(s,u)=(s,0)$ である。よって $H:=M\circ E$ は $H(\cdot,0)=f$ を満たし、$\partial I^n$ の上で動かず、$H(s,1)=M(R(s))\in M(T)\subset A$ である。$\square$

必要性：$[f]=0$ とし、$F\colon I^n\times I\to X$ を $f$ から定値写像 $x_0$ へのこの記事の意味のホモトピーとする。各時刻で $\partial I^n$ は $A$ に写るので $F(\partial I^n\times I)\subset A$ であり、$F(I^n\times\{1\})=\{x_0\}\subset A$ である。lem-rhg-cylinder を $M=F$ に使えばよい。
十分性：$G$ を $f$ から $g$ への $\partial I^n$ の上で動かないホモトピーとし、$g(I^n)\subset A$ とする。$G$ は $\partial I^n$ の上で $f$ と同じ値をとるので、各時刻で $\partial I^n$ を $A$ に、$J^{n-1}$ を $x_0$ に写し、$[f]=[g]$ である。次に、$s=(s',s_n)$（$s'\in I^{n-1}$）と書いて
$$ K(s,u):=g\bigl(s',\ s_n+u(1-s_n)\bigr) $$
とおく。値はすべて $g(I^n)\subset A$ にある。$s\in J^{n-1}$ なら、$s_n=1$ のときは点が動かず、ある $i< n$ で $s_i\in\{0,1\}$ のときは点が $J^{n-1}$ の中を動くので、$K(s,u)=x_0$ である。よって $K$ はこの記事の意味のホモトピーで、$K(\cdot,0)=g$、$K(s,1)=g(s',1)=x_0$ である。したがって $[g]=0$ であり、$[f]=0$ である。$\square$

$n\ge1$ について、三つの項での完全性を順に示す。$s=(s',s_n)$、$s'\in I^{n-1}$ と書く（$n=1$ では $s'$ は空）。
$\pi_n(X,x_0)$ での完全性：$g\colon I^n\to A$ が境界を $x_0$ に写すなら、$j(i_*[g])$ の代表 $g$ は像が $A$ に含まれるので、thm-rhg-compression の十分性により $0$ である。逆に $j[f]=0$ なら、同じ定理の必要性により、$f$ は $\partial I^n$ の上で動かないホモトピーで像が $A$ に含まれる写像 $g$ に変形できる。このホモトピーは境界を $x_0$ に止めたままなので、$[f]=i_*[g]$ である。
$\pi_n(X,A,x_0)$ での完全性：境界を $x_0$ に写す写像の底面への制限は定値写像なので、$\partial\circ j$ は基点に写る。逆に $\partial[f]$ が基点であるとする。$n\ge2$ なら $A$ の中のホモトピー $F\colon I^{n-1}\times I\to A$ で、$\partial I^{n-1}$ の上で値が $x_0$、$F(s',0)=f(s',0)$、$F(s',1)=x_0$ となるものがあり、$n=1$ なら $A$ の中の $f(0)$ から $x_0$ への道 $F$ がある。$v\in I$ について
$$ P_v(s',s_n):=\begin{cases}F\bigl(s',\ v-2s_n\bigr)&(0\le s_n\le v/2),\\ f\Bigl(s',\ \dfrac{s_n-v/2}{1-v/2}\Bigr)&(v/2\le s_n\le1)\end{cases} $$
とおく。$F$ の第 2 成分は $[0,v]$ にあり、分母は $\tfrac12$ 以上で、継ぎ目 $s_n=v/2$ では $F(s',0)=f(s',0)$ により値が一致するので、$(s,v)\mapsto P_v(s)$ は連続である。底面 $s_n=0$ の値 $F(s',v)$ は $A$ にあり、上面の値は $f(s',1)=x_0$、側面（$s'\in\partial I^{n-1}$）の値は $x_0$ である。よって $P$ はこの記事の意味のホモトピーで、$P_0=f$ であり、$P_1$ は底面でも $F(s',1)=x_0$ をとるので境界を $x_0$ に写す。したがって $[f]=j[P_1]$ である。
$\pi_{n-1}(A,x_0)$ での完全性：$f$ を $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(X,A,x_0)$ の写像とすると、$(s',t)\mapsto f(s',t)$ は $X$ の中で底面 $f(\cdot,0)$ を定値写像 $f(\cdot,1)=x_0$ へ変形し、$\partial I^{n-1}$ の上では値が $x_0$ のままである（$n=1$ では $f$ が $f(0)$ と $x_0$ を結ぶ道である）。よって $i_*\circ\partial$ は基点に写る。逆に、$g$ が $\pi_{n-1}(A,x_0)$ の元を表し、$i_*[g]$ が基点であるとする。$n\ge2$ なら、$X$ の中のホモトピー $G\colon I^{n-1}\times I\to X$ で、$\partial I^{n-1}$ の上で値が $x_0$、$G(\cdot,0)=g$、$G(\cdot,1)=x_0$ となるものがある。$f(s',s_n):=G(s',s_n)$ は底面を $g(I^{n-1})\subset A$ に、$J^{n-1}$ を $x_0$ に写すので $(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(X,A,x_0)$ の写像であり、$\partial[f]=[g]$ である。$n=1$ なら、$g$ は $A$ の点で、$X$ の中で $x_0$ と道 $G$ で結ばれるので、$G$ は $\pi_1(X,A,x_0)$ の元で $\partial[G]=[g]$ である。$\square$

2 ⇒ 3 は明らかである。3 ⇒ 2：3 のホモトピーを $M$ とすると $M(\partial I^n\times I)\subset A$、$M(I^n\times\{1\})\subset A$ なので、lem-rhg-cylinder を使えばよい。2 ⇒ 1：$\pi_n(X,A,x)$ の元の代表 $f$ は 2 の $g$ の条件を満たすので、thm-rhg-compression の十分性により $[f]=0$ である。
1 ⇒ 3：要点は、$g$ を各時刻で $\partial I^n$ を $A$ に写すホモトピーで動かし、$J^{n-1}$ を一点 $x\in A$ に写す写像 $g_1$ に取り替えることである。$g_1$ は $\pi_n(X,A,x)=0$ の元を表すので、thm-rhg-compression の必要性により像が $A$ に含まれる写像に変形でき、二つのホモトピーをつなげば 3 になる。

要点：基点 $a\in A$ での長完全列（thm-rhg-exact）で、$\pi_n(X,A,a)$ の両隣の写像の単射性・全射性と、$\pi_n(X,A,a)$ の消滅とを行き来する。$\pi_0$ の単射性だけは、$A$ の二点を結ぶ $X$ の道を $\pi_1(X,A,a)$ の元とみて thm-rhg-compression を使う。