Milnor超曲面

$q\colon S^a\times S^b\to M$、$q(u,v):=([u],[v])$ は 4 枚の被覆写像で、局所微分同相である（$\mathbb{RP}^n$ の滑らかな構造は $S^n\to\mathbb{RP}^n$ が局所微分同相になるように入る）。$f(u,v):=\langle u,\hat v\rangle$ とおくと、$\sigma,\tau\in\{\pm1\}$ について $f(\sigma u,\tau v)=\sigma\tau f(u,v)$ なので、$\tilde H:=f^{-1}(0)$ は $q^{-1}(H)$ に等しい。

$(u,v)\in\tilde H$ では $\hat v\perp u$ なので、$(\hat v,0)$ は $T_{(u,v)}(S^a\times S^b)=u^\perp\times v^\perp$ の元であり、$df(\hat v,0)=\langle\hat v,\hat v\rangle=|v|^2=1\ne0$ である。よって $0$ は $f$ の正則値で、正則値定理 により $\tilde H$ は $S^a\times S^b$ の $(a+b-1)$ 次元の閉じた滑らかな部分多様体である。

$p\in H$ と $(u,v)\in q^{-1}(p)$ をとり、$(u,v)$ の開近傍 $W$ を、$q|_W$ が開集合 $q(W)$ への微分同相になるようにとる。$q^{-1}(H)=\tilde H$ なので $H\cap q(W)=q(\tilde H\cap W)$ であり、これは部分多様体 $\tilde H\cap W$ の微分同相による像である。よって $H$ は $p$ の近くで $(a+b-1)$ 次元の部分多様体である。$H=q(\tilde H)$ はコンパクト集合の像なのでコンパクトである。$b< a$ なので $u=e_{b+1}$、$v=e_0$ がとれ、$([u],[v])\in H$ である。$\square$

$[v]\mapsto\mathbb{R}\hat v$ は自明束 $\mathbb{RP}^b\times\mathbb{R}^{a+1}$ の直線部分束 $\hat K$ を定め、$v\mapsto\hat v$ は束の同型 $K\cong\hat K$ を与える。その直交補束 $V:=\hat K^\perp$（ファイバー $\hat v^\perp$）は階数 $a$ の実ベクトル束であり（ベクトル束の計量）、$H$ は $V$ の各ファイバーの直線の全体 $P(V)$ と同じ集合である。開集合 $U\subset\mathbb{RP}^b$ の上の $V$ の局所自明化 $U\times\mathbb{R}^a\cong V|_U$ は、直線を直線に写して同相写像 $U\times\mathbb{RP}^{a-1}\cong\pi^{-1}(U)$ を与える（連続な全単射で、逆も局所自明化の逆から連続である）。よって $\pi$ はファイバー束である。

ファイバー $P(\hat v^\perp)$ の上で $\gamma_a$ はそのトートロジー直線束に制限され、$P(\hat v^\perp)\cong\mathbb{RP}^{a-1}$ なので、Stiefel–Whitney類 の補題「トートロジー直線束」と自然性から引き戻しは $\alpha_{a-1}$ に対応し、$0$ でない。

$\mathbb{RP}^b$ と $\mathbb{RP}^{a-1}$ は連結で、ファイバー束の射影は開写像である。$H=A\sqcup B$ を空でない開集合への分割とすると、連結な各ファイバーは $A$ か $B$ の一方に含まれるので、$\mathbb{RP}^b=\pi(A)\sqcup\pi(B)$ は空でない開集合への分割になり、矛盾する。$\square$

1：$p=q(u,v)\in H$ と $\xi\in T_pM$ について、$\tilde\xi:=(dq_{(u,v)})^{-1}\xi$ とし $D(\xi):=df_{(u,v)}(\tilde\xi)\,u\otimes v$ とおく。$g:=(\sigma,\tau)$ を $S^a\times S^b$ の微分同相 $(u,v)\mapsto(\sigma u,\tau v)$ とみると、$q\circ g=q$ なので別の持ち上げ $g(u,v)$ での持ち上げは $dg(\tilde\xi)$ であり、$f\circ g=\sigma\tau f$ から $df_{g(u,v)}(dg\,\tilde\xi)\,(\sigma u\otimes\tau v)=\sigma\tau\,df_{(u,v)}(\tilde\xi)\cdot\sigma\tau\,u\otimes v=D(\xi)$ となる。よって $D$ は持ち上げによらず定まり、局所的に $q$ の局所逆で書けるので連続な束写像である。prf-mh-smooth により各点で $df\ne0$ なので $D$ はファイバーごとに全射で、核は $dq(T\tilde H)=TH$ である。$TM|_H$ に計量をとり（ベクトル束の計量）、$TH$ の直交補束 $\nu$ をとると、$D|_\nu\colon\nu\to E|_H$ はファイバーごとに単射かつ全射なので束の同型で、$TM|_H=TH\oplus\nu\cong TH\oplus E|_H$ である。

2：積多様体の接束は $TM\cong\mathrm{pr}_1^*T\mathbb{RP}^a\oplus\mathrm{pr}_2^*T\mathbb{RP}^b$ であり、Stiefel–Whitney類 の補題「実射影空間の接束」（MS74 Theorem 4.5、p. 45）により $T\mathbb{RP}^n\oplus\varepsilon^1\cong(n+1)\gamma_n$ である。1 と合わせて $TH\oplus E|_H\oplus\varepsilon^2\cong TM|_H\oplus\varepsilon^2\cong(a+1)L|_H\oplus(b+1)K|_H$ である。

3：$H^1(M)$ は $x,y$ を基底とし、$x,y$ の $\mathbb{RP}^a\times\{[e_0]\}$ への制限は $\alpha_a,0$、$\{[e_0]\}\times\mathbb{RP}^b$ への制限は $0,\alpha_b$ である。$\mathbb{RP}^a\times\{[e_0]\}$ の上で $K$ は自明なので $E\cong L$ であり、$w_1(E)$ の制限は $\alpha_a$ である。同様にもう一方の制限は $\alpha_b$ なので $w_1(E)=x+y$ である。$E$ は直線束なので $w(E)=1+x+y$ である。2 に Whitney の和公式を当て、$w(L)=1+x$、$w(K)=1+y$ を $H$ に制限すれば $w(TH)$ の式を得る（$w(E|_H)$ は可逆である。Stiefel–Whitney類 の命題「基本性質」）。$\square$

1：prop-mh-fibration により $\bar x$ の各ファイバー $\mathbb{RP}^{a-1}$ への制限は生成元 $\alpha_{a-1}$ なので、$1,\bar x,\dots,\bar x^{a-1}$ の制限は $H^*(\mathbb{RP}^{a-1})$ の基底である。Leray–Hirschの定理 の定理「特異コホモロジーの Leray–Hirsch の定理」（体 $\mathbb{Z}/2$、ファイバーはコンパクトな滑らかな多様体 $\mathbb{RP}^{a-1}$）から 1 の前半が従う。$\mathrm{pr}_2\circ\iota=\pi$ なので $\bar y=\pi^*\alpha_b$ である。

2：$H$ の点 $([u],[v])$ では $u\perp\hat v$ なので、自明束 $\varepsilon^{a+1}=H\times\mathbb{R}^{a+1}$ の中で直線部分束 $L|_H$（ファイバー $\mathbb{R}u$）と $\hat K|_H$（ファイバー $\mathbb{R}\hat v$、prf-mh-fibration の記号）は直交する。その和の直交補束を $Q$（階数 $a-1$）とすると $\varepsilon^{a+1}\cong L|_H\oplus K|_H\oplus Q$ であり、Whitney の和公式から $1=(1+\bar x)(1+\bar y)\,w(Q)$、すなわち$$w(Q)=(1+\bar x)^{-1}(1+\bar y)^{-1}=\sum_{i,k\ge0}\bar x^{\,i}\bar y^{\,k}$$である（係数が $\mathbb{Z}/2$ なので符号は要らない）。$Q$ の階数は $a-1$ なので $w_a(Q)=0$ であり、次数 $a$ の部分が 2 の式である。

3：1 により次数 $d$ の元は $\sum_{l=0}^{a-1}\pi^*(c_l)\,\bar x^{\,l}$（$c_l\in H^{d-l}(\mathbb{RP}^b)$）と一意に書ける。$H^{d-l}(\mathbb{RP}^b)\ne0$ となるのは $d-l\le b$、すなわち $l\ge a-1$ のときだけなので、$H^d(H)=\pi^*H^b(\mathbb{RP}^b)\,\bar x^{\,a-1}$ は $\bar y^{\,b}\bar x^{\,a-1}\ne0$ で生成される 1 次元の空間である。$H$ は連結な $d$ 次元の閉多様体なので $H_d(H)=\mathbb{Z}/2\cdot[H]$ であり（Hat02 Theorem 3.26、p. 236）、普遍係数定理により $\langle\cdot,[H]\rangle\colon H^d(H)\to\mathbb{Z}/2$ は同型である。よって $0$ でない元 $\bar x^{\,a-1}\bar y^{\,b}$ の値は $1$ である。$\square$

両辺は $\beta$ について線形である。$H^d(M)$ の基底は、$r+s=d$、$r\le a$、$s\le b$ をみたす $x^ry^s$、すなわち $x^{a-1}y^b$ と $x^ay^{b-1}$ である。

$\beta=x^{a-1}y^b$：prop-mh-cohomology の 3 により左辺は $\langle\bar x^{\,a-1}\bar y^{\,b},[H]\rangle=1$ である。右辺は $x^ay^b+x^{a-1}y^{b+1}=x^ay^b$ なので $1$ である。

$\beta=x^ay^{b-1}$：prop-mh-cohomology の 2 により $\bar x^{\,a}=\sum_{i=0}^{a-1}\bar x^{\,i}\bar y^{\,a-i}$ である。$y^{b+1}=0$ なので $\bar y^{\,k}=0$（$k>b$）であり、$$\bar x^{\,a}\bar y^{\,b-1}=\sum_{i=0}^{a-1}\bar x^{\,i}\bar y^{\,a-i+b-1}=\bar x^{\,a-1}\bar y^{\,b}$$（$a-i\ge1$ なので $i=a-1$ の項だけが残る）。よって左辺は $1$ である。右辺は $x^{a+1}y^{b-1}+x^ay^b=x^ay^b$ なので $1$ である。$\square$

1 は Stiefel–Whitney 類の自然性と、$g^*$ が環準同型であることから従う。2：Whitney の和公式 $w_T(F\oplus F')=w_T(F)\,w_T(F')$ と、可換環上の定数項 $1$ の冪級数 $P,P_1$ についての等式 $(PP_1)'/(PP_1)=P'/P+P_1'/P_1$（積の微分の規則）から従う。3：$w_T(\ell)=1+w_1(\ell)T$ なので $T w_1(\ell)/(1+w_1(\ell)T)=\sum_{n\ge1}w_1(\ell)^nT^n$ である（係数が $\mathbb{Z}/2$ なので符号は要らない）。自明束では $w_T=1$ なので $s_n=0$ である。$\square$

1：$H^n(N\sqcup N')=H^n(N)\oplus H^n(N')$ で、$T(N\sqcup N')$ の各成分への制限は $TN,TN'$、基本類は $[N]+[N']$（の包含による像）である。

2：$s_n(TN)$ は $w_k(TN)$ の単項式で次数の和が $n$ のものの和なので、$s_n[N]$ は Stiefel–Whitney 数の和である。Stiefel–Whitney類 の定理「境界の Stiefel–Whitney 数（Pontryagin）」により、それらはすべて $0$ である。

3：$T(P\times Q)\cong\mathrm{pr}_P^*TP\oplus\mathrm{pr}_Q^*TQ$ なので、lem-mh-s-props の 1・2 により $s_n(T(P\times Q))=\mathrm{pr}_P^*s_n(TP)+\mathrm{pr}_Q^*s_n(TQ)$ である。$n>\dim P$ なので $H_n(P)=0$（Hat02 Theorem 3.26 (c)）、普遍係数定理から $H^n(P)=0$ で $s_n(TP)=0$ である。$Q$ も同様である。

$N_0$ と $N_1$ が同境なら $N_0\sqcup N_1$ は境界なので、1・2 から $s_n[N_0]=s_n[N_1]$ である。よって写像は代表によらず、1 から準同型であり、1・3 から $\mathfrak{D}_n$ の上で $0$ である。$\square$

$A:=\mathfrak{N}_*=\mathbb{Z}/2[z_i]$ とする。生成元の次数は $2$ 以上で、各次数の生成元は 1 つなので、各 $A_n$ は次数 $n$ の単項式を基底とする有限次元の空間である。正の次数の 2 元の積は長さ $2$ 以上の単項式の和であり、逆も成り立つので、$\mathfrak{D}_n$ は長さ $2$ 以上の単項式で張られ、$A_i=\mathfrak{D}_i\oplus\mathbb{Z}/2\cdot z_i$ である。$s_i(u_i)=1$ で $s_i$ は $\mathfrak{D}_i$ の上で $0$ なので（prop-mh-s-hom）、$u_i\notin\mathfrak{D}_i$、すなわち $u_i=z_i+e_i$（$e_i\in\mathfrak{D}_i$）である。$e_i$ は次数が $i$ より小さい $z_k$ の多項式である。

多項式環 $\mathbb{Z}/2[Z_i]$（$\deg Z_i=i$）から $A$ への環準同型 $\varphi$ を $Z_i\mapsto u_i$ で定める。$i$ についての帰納法で $z_i=u_i+e_i$ は $\varphi$ の像に入るので、$\varphi$ は全射である。両辺は各次数で同じ有限の次元をもつ（同じ次数の変数の多項式環）ので、$\varphi$ は同型である。

偶数 $i$ では、Stiefel–Whitney類 の補題「実射影空間の接束」と lem-mh-s-props から $s_i(T\mathbb{RP}^i)=(i+1)\alpha_i^{\,i}=\alpha_i^{\,i}$ であり、$\mathbb{RP}^i$ は連結なので $s_i[\mathbb{RP}^i]=1$ である。奇数 $i$ は cor-mh-indecomposable による。$\square$

$U_j:=\{\ell\in\mathbb{CP}^{k-1}\mid\ell\not\subset\{z_j=0\}\}$ とし、$\ell\in U_j$ について $\sigma_j(\ell)$ を $\ell$ の単位ベクトルで第 $j$ 成分が正の実数のものとする。$\ell=\mathbb{C}z$ なら $\sigma_j(\ell)=\frac{\bar z_j}{|z_j|}\frac{z}{|z|}$ なので $\sigma_j$ は $U_j$ 上で滑らかである。$U_j\times\mathbb{C}\to(\lambda\otimes\lambda)|_{U_j}$、$(\ell,c)\mapsto c\,\sigma_j(\ell)\otimes\sigma_j(\ell)$ は局所自明化で、$|c\,\sigma_j\otimes\sigma_j|=|c|$ である。$U_j\cap U_l$ の上では $\sigma_l=\theta_{lj}\sigma_j$（$|\theta_{lj}|=1$、滑らか）なので座標変換は $c\mapsto\theta_{lj}^{-2}c$ であり、$|c|$ を保つ。よって $W$ は局所的に $U_j\times\{|c|\le1\}$ と微分同相な $2k$ 次元のコンパクトな境界付き多様体で（底空間の実次元は $2k-2$）、境界は $\partial W=\{|w|=1\}$ である。

$\phi\colon S^{2k-1}\to\partial W$、$\phi(v):=v\otimes v\in\lambda_{\mathbb{C}v}\otimes\lambda_{\mathbb{C}v}$ とおく。$v_j\ne0$ となる $v$ は $v=\theta\,\sigma_j(\mathbb{C}v)$（$\theta:=v_j/|v_j|$）と書け、$v\mapsto(\mathbb{C}v,\theta)$ は $\{v\in S^{2k-1}\mid v_j\ne0\}$ から $U_j\times S^1$ への微分同相（逆は $(\ell,\theta)\mapsto\theta\,\sigma_j(\ell)$）である。この座標と上の局所自明化で $\phi$ は $(\ell,\theta)\mapsto(\ell,\theta^2)$ と書けるので、$\phi$ は全射な局所微分同相である。$\phi(v)=\phi(v')$ なら $\mathbb{C}v=\mathbb{C}v'$、$v'=\mu v$（$|\mu|=1$）で $\mu^2=1$、すなわち $v'=\pm v$ である。よって $\phi$ は $S^{2k-1}/\{\pm1\}=\mathbb{RP}^{2k-1}$ から $\partial W$ への全単射な局所微分同相、すなわち微分同相を誘導する。$\square$