Weylの不等式(固有値)

$x=\sum_lc_lu_l$ と書くと、正規直交性から $x^*x=\sum_l|c_l|^2$、$x^*Ax=\sum_l\lambda_l(A)|c_l|^2$ である。1 では $l< k$ で $c_l=0$ なので $\lambda_k(A)\,x^*x-x^*Ax=\sum_{l\ge k}(\lambda_k(A)-\lambda_l(A))|c_l|^2\ge0$ である。2 では $l>k$ で $c_l=0$ なので $x^*Ax-\lambda_k(A)\,x^*x=\sum_{l\le k}(\lambda_l(A)-\lambda_k(A))|c_l|^2\ge0$ である。$\square$

次元公式 $\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim(U+V)$ と $\dim(U+V)\le n$ から $\dim(U\cap V)\ge\dim U+\dim V-n$ である。これを $U\cap V$ と $W$ にもう一度使うと $\dim(U\cap V\cap W)\ge\dim(U\cap V)+\dim W-n\ge\dim U+\dim V+\dim W-2n$ となる。$\square$

1．$A$、$B$、$C:=A+B$ の固有基底をそれぞれ $u_1,\dots,u_n$、$v_1,\dots,v_n$、$w_1,\dots,w_n$ とし、$k:=i+j-1$ とおく。部分空間
$$ U:=\langle u_i,\dots,u_n\rangle,\qquad V:=\langle v_j,\dots,v_n\rangle,\qquad W:=\langle w_1,\dots,w_k\rangle $$
の次元はそれぞれ $n-i+1$、$n-j+1$、$k$ なので、lem-wi-dimension により
$$ \dim(U\cap V\cap W)\ \ge\ (n-i+1)+(n-j+1)+(i+j-1)-2n=1 $$
であり、$U\cap V\cap W$ は $0$ でないベクトル $x$ を含む。lem-wi-rayleigh の 1 を $A$ と $B$ に、2 を $C$ に使うと
$$ \lambda_k(C)\ \le\ R_C(x)=R_A(x)+R_B(x)\ \le\ \lambda_i(A)+\lambda_j(B) $$
である。ここで $x^*Cx=x^*Ax+x^*Bx$ から $R_C=R_A+R_B$ を使った。
2．1 を $-A$、$-B$ と番号 $i':=n-i+1$、$j':=n-j+1$ に使う。$i'+j'-1=2n-i-j+1\le n$ は $i+j-n\ge1$ と同値である。$\lambda_k(-X)=-\lambda_{n-k+1}(X)$ により、1 の不等式は
$$ -\lambda_{n-(i'+j'-1)+1}(A+B)\ \le\ -\lambda_i(A)-\lambda_j(B) $$
となり、$n-(i'+j'-1)+1=i+j-n$ なので、符号を変えて 2 を得る。$\square$

上からの評価は thm-wi-main の 1 で $i=k$、$j=1$ とした場合、下からの評価は 2 で $i=k$、$j=n$ とした場合である。これから $|\lambda_k(A+E)-\lambda_k(A)|\le\max\{|\lambda_1(E)|,|\lambda_n(E)|\}$ が出る。最後の等号を示す。$E$ の固有基底で $x=\sum_lc_lv_l$ と書くと $\|Ex\|^2=\sum_l\lambda_l(E)^2|c_l|^2\le\mu^2\|x\|^2$（$\mu:=\max_l|\lambda_l(E)|$）であり、$|\lambda_l(E)|=\mu$ となる $l$ で $x=v_l$ とすると等号が成り立つ。固有値は大きい順に並んでいるので $\mu=\max\{|\lambda_1(E)|,|\lambda_n(E)|\}$ である。$\square$

半正定値な Hermite 行列の固有値は $0$ 以上である（$Bv=\lambda v$、$v\neq0$ なら $0\le v^*Bv=\lambda\|v\|^2$）。1 は cor-wi-perturbation の下からの評価と $\lambda_n(B)\ge0$ による。2：$B$ は対角化できるので、$0$ でない固有値の個数（重複度を込める）は階数 $r$ に等しい。固有値は $0$ 以上なので $\lambda_{r+1}(B)=\dots=\lambda_n(B)=0$ である。$r=n$ なら主張は空なので $r< n$ とし、thm-wi-main の 1 を $i=k$、$j=r+1$ に使うと、$k+r\le n$ のとき $\lambda_{k+r}(A+B)\le\lambda_k(A)+\lambda_{r+1}(B)=\lambda_k(A)$ である。$\square$

$H(A)^*=H(A)$ は共役転置の定義から明らかである。$A=U\Sigma V^*$ を特異値分解とし、$U,V$ の列を $u_l,v_l$ とすると、$Av_l=\sigma_lu_l$、$A^*u_l=\sigma_lv_l$ である（$AV=U\Sigma$、$A^*U=V\Sigma^{\mathsf T}$ の第 $l$ 列）。よって
$$ H(A)\begin{pmatrix}u_l\\v_l\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}Av_l\\A^*u_l\end{pmatrix}=\sigma_l\begin{pmatrix}u_l\\v_l\end{pmatrix},\qquad H(A)\begin{pmatrix}u_l\\-v_l\end{pmatrix}=-\sigma_l\begin{pmatrix}u_l\\-v_l\end{pmatrix} $$
である。この $2n$ 本のベクトルは、内積を計算すると $u_l^*u_{l'}\pm v_l^*v_{l'}$ の形になり、互いに直交する $0$ でないベクトルなので、$\mathbb C^{2n}$ の固有ベクトルの基底をなす。したがって固有値は $\pm\sigma_l$ ですべてであり、$\sigma_l\ge0\ge-\sigma_{l'}$ なので大きい順の最初の $n$ 個は $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ である。$\square$

$H(A+B)=H(A)+H(B)$ なので、thm-wi-main の 1 を $2n$ 次の Hermite 行列 $H(A)$、$H(B)$ に使い、$i+j-1\le n\le2n$ と lem-wi-dilation により $\lambda_{i+j-1}(H(A+B))=\sigma_{i+j-1}(A+B)$、$\lambda_i(H(A))=\sigma_i(A)$、$\lambda_j(H(B))=\sigma_j(B)$ とすればよい。後半は $j=1$ の不等式を $(A,E)$ と $(A+E,-E)$ に使い、$\sigma_1(-E)=\sigma_1(E)$ と、特異値分解 の定理「特異値とノルム・行列式・固有値」の $\|E\|_2=\sigma_1(E)$ による。$\square$

$\mu$ が $A$ の固有値なら明らかなので、そうでないとする。$(A+E)y=\mu y$、$y\neq0$ とすると $(\mu I-A)y=Ey$ で、$\mu I-A$ は正則だから $y=(\mu I-A)^{-1}Ey$ である。正規行列 の定理「正規行列のユニタリ対角化」により $A=QDQ^*$（$Q$ はユニタリ、$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$）と書け、$(\mu I-A)^{-1}=Q(\mu I-D)^{-1}Q^*$ である。ユニタリ行列は長さを変えないので、$\|(\mu I-A)^{-1}\|=\max_l|\mu-\lambda_l|^{-1}=(\min_l|\mu-\lambda_l|)^{-1}$ である。よって
$$ \|y\|\ \le\ \frac{\|E\|\,\|y\|}{\min_l|\mu-\lambda_l|} $$
で、$\|y\|>0$ で割ると $\min_l|\mu-\lambda_l|\le\|E\|$ を得る。$\square$