内部選択公理

引き戻しの普遍性と $1$ が終対象であることから、射 $1\to S_f$ は $f^Y\circ s=\ulcorner\mathrm{id}_Y\urcorner$ をみたす $s\colon1\to X^Y$ と 1 対 1 に対応する。$s$ の転置を $\tilde s=\mathrm{ev}\circ(s\times\mathrm{id}_Y)\colon1\times Y\to X$ とすると、$f^Y\circ s$ の転置は
$$ \mathrm{ev}\circ(f^Y\times\mathrm{id}_Y)\circ(s\times\mathrm{id}_Y)=f\circ\mathrm{ev}\circ(s\times\mathrm{id}_Y)=f\circ\tilde s $$
であり、$\ulcorner\mathrm{id}_Y\urcorner$ の転置は射影 $1\times Y\to Y$ である。転置は全単射なので、条件は $f\circ\tilde s$ が射影に等しいこと、すなわち $1\times Y\cong Y$ で $\tilde s$ を $Y\to X$ とみたものが $f$ の切断であることと同値である。$\square$

1：エピ射 $e$ が切断 $s$ をもてば、関手 $(-)^X$ を施して $e^X\circ s^X=(e\circ s)^X=\mathrm{id}$ となり、$e^X$ は切断をもつのでエピ射である。
2：選択公理からはすべての対象が射影的になるので、1 と合わせて必要性が出る。逆に内部選択公理と $1$ の射影性を仮定し、エピ射 $f\colon X\to Y$ をとる。$f^Y$ はエピ射で、$S_f\to1$ はその引き戻しなのでエピ射である。$1$ が射影的なので $\mathrm{id}_1$ は $S_f\to1$ に沿って持ち上がり、$S_f$ の大域元 $1\to S_f$ が得られる。lem-iac-sections によりこれは $f$ の切断を与える。
3：2 により、well-pointed なら $1$ が射影的であることを示せばよい。エピ射 $e\colon X\to Y$ と $y\colon1\to Y$ をとり、$e$ の $y$ に沿った引き戻しを $e'\colon X'\to1$（エピ射）とする。$X'$ の大域元 $x\colon1\to X'$ があれば、その $X$ への像が $y$ の持ち上げである。
まず $X'\not\cong0$ である。実際 $X'\cong0$ なら $0\to1$ がエピ射で、$\mathrm{true}$ と $\mathrm{false}$ は $0$ からの射として一致するから $\mathrm{true}=\mathrm{false}$ となり、それぞれが分類する $1$ と $0$ が $1$ の部分対象として一致して $0\cong1$ となり、仮定に反する。次に $\mathrm{true}\circ!_{X'}$ は $X'$ 全体を、$\mathrm{false}\circ!_{X'}$ は $0\rightarrowtail1$ の引き戻し $X'\times0$ を分類する。$X'\times0\to0$ があるので $X'\times0\cong0$ であり（MM92 IV.7 Proposition 4、p. 194：$0$ への射は同型）、$X'\not\cong0$ より $\mathrm{true}\circ!_{X'}\ne\mathrm{false}\circ!_{X'}$ である。$1$ は生成元なので、これらを区別する $x\colon1\to X'$ がある。$\square$

$m\colon Y\rightarrowtail X$ をモノ射とし、$m$ と $m$ の押し出しを $q_1,q_2\colon X\to Q$ とする。トポスでは、モノ射に沿った押し出しの四角形は引き戻しでもある（J77 Corollary 1.28、pp. 30–31）。すなわち $q_1\circ a=q_2\circ b$ なら、$a=m\circ y=b$ となる $y$ がある。$e=[q_1,q_2]\colon X+X\to Q$ は、押し出しの普遍性の一意性からエピ射であり、選択公理により切断 $s\colon Q\to X+X$（$e\circ s=\mathrm{id}_Q$）がある。余積の入射を $\iota_1,\iota_2\colon X\to X+X$ とする。
$i,k\in\{1,2\}$ について、$\iota_k$ の $s\circ q_i$ に沿った引き戻しを $T_{ik}\rightarrowtail X$ とする。トポスの余極限は引き戻しで保たれ（J77 Lemma 1.51、p. 40）、余積の入射は交わらない（同 Corollary 1.57、p. 43）ので、$X\cong T_{i1}+T_{i2}$ であり、$\operatorname{Sub}(X)$ で $T_{i1}\wedge T_{i2}=0$、$T_{i1}\vee T_{i2}=X$ である。
（a）$T_{12}\le Y$、$T_{21}\le Y$：$t\colon T_{12}\rightarrowtail X$ について $s\circ q_1\circ t=\iota_2\circ w$ となる $w$ がある。$e$ を施すと $q_1\circ t=e\circ\iota_2\circ w=q_2\circ w$ なので、$t$ は $m$ を経由する。$T_{21}$ も同様である。
（b）$Y\wedge T_{11}\le T_{21}$：$u\colon Y\wedge T_{11}\rightarrowtail X$ は $u=m\circ y$ と書け、$s\circ q_1\circ u=\iota_1\circ z$ となる $z$ がある。$q_1\circ m=q_2\circ m$ なので $s\circ q_2\circ u=s\circ q_1\circ u=\iota_1\circ z$ であり、$u$ は $T_{21}$ を経由する。
$\operatorname{Sub}(X)$ は Heyting 代数（MM92 IV.8 Theorem 1、p. 201）なので分配束であり、
$$ Y=(Y\wedge T_{11})\vee(Y\wedge T_{12})\le(T_{11}\wedge T_{21})\vee T_{12}\le Y $$
（最初の不等号は (b)、最後は (a)）から $Y=(T_{11}\wedge T_{21})\vee T_{12}$ である。分配束では、補元をもつ元の交わりと結びも補元をもつ（$a,b$ の補元を $a',b'$ とすると、$a\wedge b$ の補元は $a'\vee b'$、$a\vee b$ の補元は $a'\wedge b'$）。$T_{ik}$ はすべて補元をもつので、$Y$ も補元をもつ。$\square$

モノ射・エピ射：同変写像 $f\colon X\to Y$ が単射でなければ、$f(x)=f(x')$、$x\ne x'$ として、$g\mapsto gx$ と $g\mapsto gx'$ は $G$（左乗法）から $X$ への相異なる同変写像で、$f$ と合成すると一致するので、$f$ はモノ射でない。$f$ の像は不変部分集合なので、その指示関数と定数 $1$ は $Y$ から自明な作用の $\{0,1\}$ への同変写像であり、$f$ がエピ射ならこれらは等しく、$f$ は全射である。逆は集合の場合と同じである。よってモノ射・エピ射は単射・全射な同変写像であり、部分対象は不変部分集合である。
Boolean：不変部分集合の補集合は不変なので、補部分対象になる。
指数対象：$Z^Y$ を写像 $Y\to Z$ 全体に $(g\varphi)(y)=g\,\varphi(g^{-1}y)$ で作用させたものとし、$\mathrm{ev}(\varphi,y)=\varphi(y)$ とおくと、$Z^Y$ は $G\text{-}\mathbf{Set}$ の指数対象である。