Čechコホモロジーと層コホモロジーの比較(パラコンパクト空間)

要点：$(hdc)$ を展開すると、$\lambda$ から $\mu$ へ切り替わる位置の 2 つの項が望遠鏡和になり、残りの項は $-(dhc)$ を与える。

短完全列の直積は短完全列なので、$0\to\check C^p(\mathfrak U,\mathcal P')\to\check C^p(\mathfrak U,\mathcal P)\to\check C^p(\mathfrak U,\mathcal P'')\to0$ は完全で、写像は $d$ と可換である。複体の短完全列のコホモロジーの長完全列（長完全列）が求める列である。細分の写像 $\lambda^*$ は 3 つの複体の短完全列の射を与えるので、連結準同型を含めて長完全列の射を与える。開被覆は細分について有向であり、有向系の帰納極限は完全列を保つ（帰納極限 の定理「帰納極限の完全性」）。$\square$

$X$ は正則である（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）。同記事の補題「閉包を制御する細分」により、局所有限な開被覆 $(W_k)_{k\in K}$ と写像 $\nu\colon K\to I$ で $\overline{W_k}\subset U_{\nu(k)}$ となるものがある。閉包の族 $(\overline{W_k})$ も局所有限である（開被覆 の命題「局所有限な族の閉包」）。
点 $x$ ごとに、有限集合 $K_x:=\{k\mid x\in\overline{W_k}\}$ と、$x\in W_{\kappa(x)}$ となる $\kappa(x)\in K$ を選ぶ。$(k_0,\dots,k_p)\in K_x^{p+1}$ について $T=(\nu(k_0),\dots,\nu(k_p))$ とおくと、$x\in\overline{W_{k_l}}\subset U_{\nu(k_l)}$ なので $x\in U_T$ であり、$c_T$ の芽は $0$ だから、$x$ の開近傍 $O_T\subset U_T$ で $c_T|_{O_T}=0$ となるものがある。そこで $x$ の開近傍 $V_x$ を次をみたすようにとる。

1. $V_x\subset W_{\kappa(x)}$。
2. $k\notin K_x$ なら $V_x\cap\overline{W_k}=\emptyset$。（$x$ の近傍で有限個の $\overline{W_k}$ としか交わらないものから、$x$ を含まない有限個の閉集合 $\overline{W_k}$ を除けばよい。）
3. すべての $(k_0,\dots,k_p)\in K_x^{p+1}$ について $V_x\subset O_T$。（有限個の条件である。）
   $\mathfrak V:=(V_x)_{x\in X}$ と $\lambda(x):=\nu(\kappa(x))$ は 1 により細分である。$x_0,\dots,x_p$ について $V:=V_{x_0\cdots x_p}\ne\emptyset$ とする。各 $l$ について $V_{x_0}$ は $V_{x_l}\subset W_{\kappa(x_l)}$ と交わるので、2 により $\kappa(x_l)\in K_{x_0}$ である。よって $(\kappa(x_0),\dots,\kappa(x_p))\in K_{x_0}^{p+1}$ で、3 から $(\lambda^*c)_{x_0\cdots x_p}=c_{\lambda(x_0)\cdots\lambda(x_p)}|_V=0$ である。$V=\emptyset$ なら成分は $\mathcal Q(\emptyset)=0$ の元である。よって $\lambda^*c=0$ である。
   $\check H^p(X,\mathcal Q)$ の元はある被覆の余輪体 $c$ で代表され、その像は細分 $\mathfrak V$ で $0$ になるので、帰納極限で $0$ である。$\square$

$\mathcal P(U):=\mathcal F(U)/\mathcal F'(U)$ で前層 $\mathcal P$ を定める（層の単射は各開集合で単射）。$0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal P\to0$ は各開集合で完全なので、lem-cps-presheaf-les により $\mathcal F',\mathcal F,\mathcal P$ の長完全列がある。
$\mathcal F\to\mathcal F''$ は前層の射 $\mathcal P\to\mathcal F''$ を誘導し、これは各開集合で単射である。$\mathcal F(U)\to\mathcal F''(U)$ の核は $\mathcal F'(U)$ だからである（層コホモロジー の命題「大域切断関手の左完全性」を $U$ に当てはめる）。余核の前層 $\mathcal Q(U):=\mathcal F''(U)/\operatorname{im}\mathcal P(U)$ は、茎で $\mathcal F_x\to\mathcal F''_x$ が全射なので、すべての茎が $0$ である。$0\to\mathcal P\to\mathcal F''\to\mathcal Q\to0$ は各開集合で完全なので、再び lem-cps-presheaf-les と lem-cps-zero-germ により $\check H^p(X,\mathcal P)\to\check H^p(X,\mathcal F'')$ はすべての $p$ で同型である。1 つ目の長完全列の $\check H^\bullet(X,\mathcal P)$ をこの同型で置き換えればよい。すべての構成は短完全列の射について自然である。$\square$

$0\to\mathcal F\to\mathcal C^0\to\mathcal C^1\to\cdots$ を Godement の標準分解とする（Godementの標準分解 の定理「Godement の標準分解の基本性質」。各 $\mathcal C^i$ は脆弱層で、分解は $\mathcal F$ について関手的である）。$\mathcal Z^0:=\mathcal F$、$\mathcal Z^{i+1}:=\operatorname{coker}(\mathcal Z^i\to\mathcal C^i)=\ker(\mathcal C^{i+1}\to\mathcal C^{i+2})$ とおくと、層の短完全列 $0\to\mathcal Z^i\to\mathcal C^i\to\mathcal Z^{i+1}\to0$ が得られる。
脆弱層の Čech コホモロジーはどの被覆についても正の次数で消える（Lerayの定理(非輪状被覆) の補題「脆弱層の Čech コホモロジー」）ので、$\check H^j(X,\mathcal C^i)=0$（$j\ge1$）である。また層 $\mathcal G$ について $\check H^0(X,\mathcal G)=\mathcal G(X)$ である。prop-cps-les を上の短完全列に当てはめると、$j\ge1$ で $\check H^{j}(X,\mathcal Z^{i+1})\cong\check H^{j+1}(X,\mathcal Z^i)$ であり、低い次数は完全列
$$ 0\to\mathcal Z^i(X)\to\mathcal C^i(X)\to\mathcal Z^{i+1}(X)\to\check H^1(X,\mathcal Z^i)\to0 $$
になる。したがって $n\ge1$ について
$$ \check H^n(X,\mathcal F)\cong\check H^{n-1}(X,\mathcal Z^1)\cong\cdots\cong\check H^1(X,\mathcal Z^{n-1})\cong\operatorname{coker}\bigl(\mathcal C^{n-1}(X)\to\mathcal Z^n(X)\bigr) $$
である。$\mathcal Z^n(X)=\ker(\mathcal C^n(X)\to\mathcal C^{n+1}(X))$（大域切断の左完全性）なので、右辺は $H^n(\Gamma(X,\mathcal C^\bullet))$ である。一方、層コホモロジーについて同じ議論（層コホモロジー の命題「非輪状分解による計算」と定理「脆弱層の非輪状性」）から $H^n(X,\mathcal F)\cong H^n(\Gamma(X,\mathcal C^\bullet))$ である。$n=0$ では両辺とも $\mathcal F(X)$ である。分解は関手的で、連結準同型は短完全列の射について自然なので、合成した同型は $\mathcal F$ について自然である。$\square$

1 は thm-cps-main と 層コホモロジー の定理「de Rham の定理と特異コホモロジーとの比較」の 2、2 は同定理の 1 による（多様体はパラコンパクト Hausdorff である。パラコンパクト空間 の命題「連結な局所 Euclid 空間」を各連結成分に当てはめる）。$\square$

$X$ の開被覆 $\mathfrak U=(U_i)_{i\in I}$ について $\mathfrak U|_Y:=(U_i\cap Y)_{i\in I}$ は $Y$ の開被覆であり、$(i_*\mathcal P)(U_{i_0\cdots i_p})=\mathcal P(U_{i_0\cdots i_p}\cap Y)$ なので、Čech 複体は文字どおり一致する：$\check C^\bullet(\mathfrak U,i_*\mathcal P)=\check C^\bullet(\mathfrak U|_Y,\mathcal P)$。細分の写像も同じものが使えるので、$\mathfrak U\mapsto\mathfrak U|_Y$ は写像 $\Phi\colon\check H^p(X,i_*\mathcal P)\to\check H^p(Y,\mathcal P)$ を与える。
構成．$Y$ の開被覆 $\mathfrak W=(W_j)_{j\in J}$ と、$\mathfrak W$ が細分している $\mathfrak U|_Y$（細分の写像 $\lambda$）が与えられたとする。$X$ の開集合 $O'_j$ で $O'_j\cap Y=W_j$ となるものをとり、$O_j:=O'_j\cap U_{\lambda(j)}$ とおく。$Y$ は閉なので
$$ \mathfrak U':=(O_j)_{j\in J}\sqcup\bigl(U_i\setminus Y\bigr)_{i\in I} $$
は $X$ の開被覆で、$\mathfrak U$ の細分である。$\mathfrak U'|_Y$ は $\mathfrak W$ に空集合の成員を付け加えたもので、空集合を含む交わりの成分は $\mathcal P(\emptyset)=0$ なので、$\check C^\bullet(\mathfrak U'|_Y,\mathcal P)=\check C^\bullet(\mathfrak W,\mathcal P)$ である（添字の包含 $J\subset J\sqcup I$ による）。
全射．$\check H^p(Y,\mathcal P)$ の元が $\mathfrak W$ の余輪体 $c$ で代表されるとき、$\mathfrak U:=\{X\}$（$\mathfrak U|_Y=\{Y\}$ は $\mathfrak W$ に細分される）に構成を当てはめると、$c$ は $\mathfrak U'$ の上の $i_*\mathcal P$ の余輪体とみなせ、$\Phi$ でもとの元に移る。
単射．$\mathfrak U$ の余輪体 $c$ の類が $\Phi$ で $0$ になるなら、$\mathfrak U|_Y$ のある細分 $\mathfrak W$ の上で $\lambda^*c$ は余境界である。構成の $\mathfrak U'$ をとり、$\mathfrak U'$ から $\mathfrak U$ への細分の写像を $O_j\mapsto\lambda(j)$、$U_i\setminus Y\mapsto i$ で定めると、$\mathfrak U'$ の上の $c$ の引き戻しは、空集合を含む成分を除いて $\lambda^*c$ と一致し、余境界である。よって $c$ の類は $\check H^p(X,i_*\mathcal P)$ で $0$ である。$\square$