二重懸垂定理

前提知識: ホモロジー球面, 結(位相), 錐(位相), 三角形分割可能な多様体

二重懸垂定理（double suspension theorem）とは、任意のホモロジー $n$ 球面 $H$（整数係数のホモロジー群が $S^n$ と同じ閉位相多様体）について、2 回懸垂した空間 $\Sigma^2H$ が球面 $S^{n+2}$ と同相であるという定理である。Edwards がまず多くの場合に証明し、Cannon が一般の場合を完成させた（Cannon–Edwards の定理）。
この定理の驚きは、$H$ が単連結でなくてもよいことにある。たとえば Poincaré ホモロジー球面 $P$ は基本群が位数 $120$ の群で、1 回懸垂した $\Sigma P$ は懸垂点で多様体にならない。ところがもう 1 回懸垂すると、懸垂の「継ぎ目」の特異性が消えて $S^5$ になる。その結果、$S^5$ に組合せ的でない三角形分割ができ、三角形分割された空間が位相多様体になるための条件が「リンクのホモロジーと頂点のリンクの単連結性」だけで述べられるようになった（三角形分割可能な多様体）。
この記事では、定理そのものは所在を示して引用する。そのうえで、$k$ 重懸垂 $\Sigma^kY$ の局所構造（懸垂の球面の点のまわりが開錐と Euclid 空間の積になること）、$\Sigma^kY$ が多様体になるには $Y$ がホモロジー球面であることが必要なこと、1 回の懸垂ではリンクの基本群が障害になるが 2 回目の懸垂でその障害が消えることを完全に証明する。帰結として、多様体でない開錐 $\mathring cP$ と $\mathbb R$ の積が $\mathbb R^5$ と同相であることを導く。

定義と主張

空間 $W$ の懸垂 $\Sigma W$ は、$W\times[-1,1]$ の $W\times\{1\}$ と $W\times\{-1\}$ をそれぞれ 1 点 $v_+$、$v_-$ につぶした空間であり、2 点空間 $S^0$ との結(位相) $S^0\ast W$ と同じものである（結(位相) の例「錐と懸垂」）。$\Sigma^1W:=\Sigma W$、$\Sigma^kW:=\Sigma(\Sigma^{k-1}W)$ とおき、$\Sigma^2W$ を二重懸垂という。$\Sigma S^m\cong S^{m+1}$ である（結(位相) の命題「球面のジョイン公式」）。
開錐 $\mathring cW$ を、$W\times[0,1)$ の $W\times\{0\}$ を 1 点 $v$（頂点）につぶした空間とする。$W$ がコンパクトなら、$W\times[0,t)$ の像 $C_t$（$0< t\le1$）は頂点の近傍の基本系であり（チューブ補題による）、$C_t\setminus\{v\}\cong W\times(0,t)$ である。$\mathring cW$ は頂点へ縮む写像 $([w,s],u)\mapsto[w,(1-u)s]$ により可縮空間である。$\Sigma W$ から $v_-$ を除いた空間は、$v_+$ を頂点とする開錐 $\mathring cW$ と同相である。
ホモロジー $n$ 球面は ホモロジー球面 の定義「ホモロジー球面」のとおり、整数係数のホモロジー群が $S^n$ と同じ連結な閉位相多様体とする。

この記事では証明しない。主張は Edw06 の序（p. v）の Double Suspension Theorem であり、同所によれば Edwards 自身は $n+k\ge6$（$k\ge2$）で $\Sigma^kH\cong S^{n+k}$ を示し、残る $\Sigma^2H^3\cong S^5$ は Cannon の一般的な定理（Annals of Mathematics 110 (1979), 83–112）の帰結として得られた（Edw06 の Abstract と序 p. v）。後半は $\Sigma S^m\cong S^{m+1}$ を繰り返し使えばよい。
証明の流れは次のとおりである（Edw80 §7–§8, pp. 117–119）。

• 任意の $l\ge2$ について、球面 $S^{n+l}$ から $\Sigma^lH$ への細胞的写像（cell-like map。各点の逆像が、どの近傍の中でも 1 点に縮められるコンパクト集合であるような写像）が作れる（p. 119）。
• Cannon は、空間 $X$ の disjoint disc property（2 つの 2 次元円板からの写像を、いくらでも近い、像の交わらない写像で近似できること）を導入した（p. 117）。Edwards の近似定理によれば、次元 $m\ge5$ の多様体から ANR $X$ への細胞的写像が同相写像で近似できることと、$X$ が disjoint disc property をもつことは同値である（p. 118）。
• $n\ge3$ なら $\Sigma^lH$（$l\ge2$）は disjoint disc property をもつ（p. 119）。このとき次元は $n+l\ge5$ なので、細胞的写像 $S^{n+l}\to\Sigma^lH$ は同相写像で近似され、$\Sigma^lH\cong S^{n+l}$ となる。$n\le2$ のホモロジー $n$ 球面は $S^n$ と同相なので、この場合は $\Sigma S^m\cong S^{m+1}$ から直ちに従う。
  Edw06 は、Mazur のホモロジー 3 球面の二重懸垂が $S^5$ であること（Part I）、可縮な多様体の境界になるホモロジー $n$ 球面の二重懸垂が球面であること（Part II。$n\ge4$ のすべてのホモロジー球面を含む）、任意のホモロジー 3 球面の二重懸垂が $S^5$ の細胞的な像であること（Part III）、任意のホモロジー 3 球面の三重懸垂が $S^6$ であること（Part IV）を示している（Abstract と序、pp. iv–v）。

懸垂の局所構造

$k\ge1$ とし、$Y$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間とする。$\Sigma^kY$ の中の懸垂の球面 $S_k$ を、$S_1:=\{v_+,v_-\}\subset\Sigma Y$、$S_k:=\Sigma S_{k-1}\subset\Sigma(\Sigma^{k-1}Y)$（部分空間の懸垂）で定める。$S_k\cong S^{k-1}$ である。

この命題は Edw06 の序（p. iv）が「$\Sigma^kH$ の特異点になりうる集合は懸垂の $(k-1)$ 球面で、そこで $\Sigma^kH$ は $\mathring cH\times\mathbb R^{k-1}$ と局所同相である」と述べていることの証明である。二重懸垂定理は、$\mathring cH\times\mathbb R$ が多様体であることと同値になる。

必要条件：ホモロジー球面であること

懸垂の球面の点の近くの局所ホモロジーを計算すると、$\Sigma^kY$ が多様体であるためには $Y$ がホモロジー球面でなければならないことが分かる。

Edw06 の序（p. iv）は同じ結論を、懸垂の $(k-1)$ 球面の補集合 $H\times\mathbb R^k$ に Alexander 双対を使って導いている。整数係数が必要なことに注意する。たとえば $\mathbb{RP}^3$ は有理数係数ではホモロジーが $S^3$ と同じだが、$H_1(\mathbb{RP}^3;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ なので、どの $k$ でも $\Sigma^k\mathbb{RP}^3$ は多様体でない。

リンクの基本群：1 回と 2 回の違い

局所ホモロジーの条件は、$Y$ がホモロジー球面なら $k=1$ でも満たされる。1 回の懸垂を多様体でなくしているのは基本群である。

これは 三角形分割可能な多様体 の命題「単連結でない多様体の懸垂は多様体でない」を、三角形分割を仮定しない形にしたものである（議論は同じ）。Edw80 §8（p. 118）も、Poincaré ホモロジー球面のように単連結でない $H$ では 1 回の懸垂が懸垂点で多様体になりえないことを述べている。

$k=1$ では $N\setminus\{x\}\simeq Y$ で基本群が残るが、$k\ge2$ では $N\setminus\{x\}\simeq\Sigma^{k-1}Y$ となり、懸垂が基本群を消してしまう。$Y$ がホモロジー球面なら、リンクにあたる $\Sigma^{k-1}Y$ は単連結なホモロジー球面になり、局所ホモロジーと局所基本群のどちらからも多様体であることを否定できない。二重懸垂定理は、実際に障害がないことを主張している。$\Sigma^{k-1}Y$ 自身が多様体である必要はない（$k=2$ の $\Sigma P$ は多様体でない）ことに注意する。

帰結

多様体でない空間 $X$ と $\mathbb R$ の積が多様体になりうる、という現象の最も簡単な例である。Edw80 §8（pp. 119–120）は、多様体からの細胞的写像の像である ANR $X$ について $X\times\mathbb R^2$ が常に多様体になることを、Daverman の議論による系として述べている。
組合せ的でない三角形分割。 $P$ の三角形分割 $K_P$ の二重懸垂 $\partial\Delta^2\ast K_P$ は、定理により $S^5$ の三角形分割であり、頂点のリンクに $\Sigma K_P$（多様体でない）が現れるので組合せ的でない（三角形分割可能な多様体 の系「5 次元球面の組合せ的でない三角形分割」、Man16 Example 2.2, p. 4）。Edw06 Theorem 1（p. 2）はさらに、$q\ge5$ のすべての次元で、三角形分割をもつが PL 多様体とホモトピー同値でない位相多様体 $Q^q=(M^4\cup c(\partial M^4))\times T^{q-4}$（$c(\partial M^4)$ は境界の上の閉じた錐）（$M^4$ は $E_8$ 形式の plumbing。E8多様体）を挙げ、その特異点集合の上で多様体であることを二重懸垂定理から導いている。
多面体が多様体であるための条件。 次元が $4$ でない単体複体 $K$ について、$K$ の多面体が境界のない位相多様体であることと、(1) 各単体 $\sigma$ のリンクのホモロジーが球面 $S^{\dim K-\dim\sigma-1}$ と同じで、(2) $\dim K>2$ なら各頂点のリンクが単連結であることは同値である（Edw80 §8, pp. 118–119 の条件 (1)(2) と Polyhedral-topological manifold characterization theorem。Ran96 §5, p. 21 も、次元 $5$ 以上の組合せ的ホモロジー多様体について同じ形の定理を Edwards の定理として述べている）。この記事では証明しない。二重懸垂定理はこの定理の特別な場合（$K$ がホモロジー球面の三角形分割の二重懸垂）であり、逆に定理の証明の要でもある。条件のうちリンクの単連結性が頂点だけに課されていることが、prop-ds-links の「2 回目の懸垂でリンクが単連結になる」現象に対応している。

反例

各行を確かめる。1 行目：$P$ は $n=3\ge2$ の連結な閉多様体で $\pi_1(P)\neq1$ なので、prop-ds-single により $\Sigma P$ は多様体でない。prop-ds-links の証明で $k\ge2$ を使ったのは、リンク $\Sigma^{k-1}Y$ が懸垂であることで、$k=1$ ではリンクが $P$ 自身になり基本群が残る。2 行目：$H_1(\mathbb{RP}^3;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\neq0$ なので prop-ds-necessary により、どの $k\ge1$ でも $\Sigma^k\mathbb{RP}^3$ は多様体でない。有理数係数のホモロジーは $S^3$ と同じなので、定理の仮定は整数係数でなければならない。3 行目：三角形分割可能な多様体 の系「5 次元球面の組合せ的でない三角形分割」による。位相的には球面でも、懸垂点のリンク $\Sigma K_P$ が多様体でないので PL の意味では球面でない。4 行目：cor-ds-manifold-factor による。

関連する結果

• 多重懸垂と次元。 $k\ge3$ の $\Sigma^kH$ は二重懸垂の懸垂なので、定理から直ちに球面である。歴史的には、Edwards の三重懸垂定理（任意のホモロジー 3 球面の三重懸垂は $S^6$）が先に得られた（Edw06 Part IV、序の p. vi と Prologue の p. 2）。
• 三角形分割予想。 Galewski–Stern と松本の結果により、5 次元以上のすべての位相多様体が三角形分割できるかどうかは、Rokhlin 不変量が $1$ で自分自身の向きを逆にしたものとホモロジー同境になるホモロジー 3 球面が存在するかどうかに帰着され、この帰着でも二重懸垂定理が使われる（Edw06 p. 3）。Manolescu はそのようなホモロジー 3 球面が存在しないことを示した（三角形分割予想）。
• 細胞的写像と多様体の認識。 二重懸垂定理の証明に使われた近似定理は、多様体の細胞的な像が多様体であるための条件（disjoint disc property）を与えるもので、分解空間論の中心的な結果である（Edw80 §7, pp. 117–118）。

関連項目

• 前提: ホモロジー球面, 結(位相), 錐(位相), 三角形分割可能な多様体
• 比較: Rokhlinの定理, E8多様体, 三角形分割予想, PL多様体
• 道具: Mayer–Vietoris完全列, Van Kampenの定理, 特異ホモロジーの切除定理